1、1.1.2瞬时变化率-导数教案（一）来源#:%zzste&曲线上一点处的切线一、教学目标1.理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念2掌握用割线逼近切线的方法3会求曲线在一点处的切线的斜 率与切线方程，二、教学重点、难点来源:中#&教*网重点：理解曲线在一点处的切线和切线的斜率的定义，掌握曲线在一点处切线斜率的求法；来 *源&#:中教网难点：理解曲线在一点处的切线的定义，特别是对“无限逼近”、 “局部以直代曲”的理解三、教学过程【问题情景】导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题
2、.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作.但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执.其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分.方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异.牛顿在 1687 年以前没有公开发表，莱布尼兹在 1684 年和 1686 年分别发表了微分学和积分学. 所以，就发明时间而言，牛顿最于莱布尼兹，就
3、发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿.关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论.而我 们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的.而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析的主流 奎 屯王 新 敞新 疆【学生活动，建构数学】来%源#*:中教& 网（一）点 附近的曲线P1平均变化率： 函数 在区间 上的平均变化率为 来# 源: 中教&网()fx12x，即曲线上两点的连线（割线）的斜率。显然平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势。来源:zzstep%.c#o*&m2如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点 附近的曲线的研究）来#源:中国%&教育出版网P（
4、从直线上某点的变化趋势的研究谈起，结合“天圆地方”的故事带来“宏观上 曲，微观上直” ， “曲绝对，直相对”的初步感受，后提出“放大图形”的朴素方法 ）C1www.zz&s te%p.#comC2来%源#:&中教网（1）观察“点 附近的曲线” ，随着图形放大，你看到了怎样的现象？曲线有点像直P线来源:zzs%tep#&.com（2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了直 线 来 源: 中 教*& 网这种思维方式就叫做“逼近思想” 。从上面的学习过程 来看：1） 曲线在点 附近看上去几乎成了直线来*源:zzstep.&#comP2） 继续放大，曲线在点 附近将逼近一条确定的直线
5、，这条直线是过点 的所有直线中最l逼近曲线的一条直线3） 点 附近可以用这条直线 代替曲线Pl放大P再放大PP放大P再放大PP2468121416PDEmQl这样，我们就可以用直线 的斜率来刻画曲线经过 点时的变化趋势l P练习：见课本（文 P62，理 P10）第 3 题： ； 。3.怎样找到经过曲线上一点 P 处最逼近曲线的直线 呢？如图l（ 1）试判断哪条直线在点 附近更加逼近曲线？ （2）在点 附近能作出比 更加逼近曲线的直线 么？ mn， l（3）在点 附近能作出比 ， 更加逼近曲线的直线 么？ ， l说明：随着点 沿曲线向点 运动，直线 在点 附近越来越逼近曲线来源:*zzstep.
6、co&mQPQP（二）圆的切线与曲线的切线直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。问题：能不能把圆的切线推广为一般曲线的切线呢？（请学生说出推广的结果后，教师引导学生加以剖析） 。1 曲线的切线观察图形得出：相切可能不止一个交点，有惟一交点的也不一定是相切。所以对于一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义。来源&:zzs#tep.c*om（三）曲线上点 P 处的切线及其斜率1割线逼近切线来源:Zxxk.Com为曲线上不同于点 的一点，这时，直线 称为曲线的割线；QPPQ随着点 沿曲线向点 运动，割线 在点 附近越来越逼近曲线，当点 无限逼近Q点 时，
7、直线 最终成为点 处最逼近曲线的直线 ，这条直线 也称为曲线在点 处PllP的切线2割线斜率逼近切线斜率来%源:中国教#育出版网()yfxOxQM()yfxOxQM切线的概念提供了求切线斜率的方法问题：对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型，在这里平均变化率表示为什么？又用怎样数学模型来刻画曲线上 点处的变化趋势呢？w&ww.zzstep.c%omP为了更好地反映点 沿曲线向点 运动，我们选择了一个变量 中&国教育出%版网QPx不妨设 ， 点的横坐标为 ，则 点的纵坐标为 ，()Pxf， xQ则割线 的斜率为 = ，当点 沿PQk Q着曲线向点 无限靠近时，割线 的斜率
8、就会无限逼近点 处切线斜率，即当 无限Px趋近于 0 时， 无限趋近点 处切线斜率（即为 取 0 时()(fxfx()xf，的值） PQk【数学运用】来源:学科网例 1 试求 f (x)=x2 在点(2,4)处的切线斜率。分析：设 24,()QPfx（ ， ） ， （ ） ，则割线 PQ 的斜 率为24.QPkx当 Q 沿曲线逼近点 P 时，割线 PQ 逼近点 P 处的切线，从而割线斜率逼近切线斜率；当 Q 点横坐标无限趋近于 P 点横坐标时，即 无限趋近于 2 时， 无限趋近于常QxPQk数 4；来源:学_科_网2()44.fx从 而 曲 线 在 点 （ ， ） 处 的 切 线 斜 率 为2
9、4,QPx解 ： 设 （ ， ） ， （ ） ，.PQk则 割 线 的 斜 率 为 224()44.QQx fx当 无 限 趋 近 于 时 ， 无 限 趋 近 于 常 数 ， 从 而 曲 线 在 点 （ ， ） 处 的 切 线斜 率 为练习：试求 f (x)=x2+1 在 x=1 处的切线斜率解：由题意，设 ，则割线 PQ 的斜率21,)(,1)Px22(1).PQxxk x当 无限趋近于 0 时， 无限趋近于常数 2，从而曲线 在点 的PQk 2()1fxx切线斜率为 2.www.z&zste % *总结 ： 求曲线 y=f(x)上一点 P(x0,f(x0)处切线斜率的一般步骤 :1.设曲线
10、上另一点 Q(x0 +x，f (x0 + x)；2.求出割线 PQ 的斜率 ，并化简；0)(Pfk3. 令 x 趋向于 0,若上式中的割线斜率 “逼近”一个常数，则其即为所求切线斜率。 来&源:z*zstep.co%m变 1：已知 ，求曲线 在 处的切线斜率和切线方程2()f ()yfx1变 2：已知 ，求曲线 在 处的切线斜率和切线方程1()fx()yfx1中国教育 #出&%版网变 3：已知 ，求曲线 在 处的切线斜率是多少？2()1fx()yfx12例 2 已知曲线 y=2x2 上一点 A(1，2)，求(1) 点 A 处的切线的斜率.(2) 点 A 处的切线方程.来源:学科网 ZXXK【课
11、堂练习】2.已知 ，求曲线 在 处的切线斜率是多少？()fx()yfx12【课堂总结】1.曲线上一点 P 处的切线是过点 P 的所有直线中最接近 P 点附近曲线的直线，则 P 点处的变化趋势可以由该点处的切线反映。(局部以直代曲) 来*源:中国教育出& 版 网2.根据定义, 利用割线逼近切线的方法, 可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。www%.zzst*#【课后作 业】1曲线的方程为 y=x2+1，那么求此曲线在点 P(1，2) 处的切线的斜率，以及切线的方程.2求曲线 f(x)=x3+2x+1 在点(1，4)处的切线方程.3求曲线 f(x)= x3x 2+5 在 x=1 处的切线的倾斜角 .1中%国教*育出版网4 y=x3 在点 P 处的切线斜率为 3，求点 P 的坐标.5求下列曲线在指定点处的切线斜率.(1)y= +2, x 处 奎 屯王 新 敞新 疆 （）y ，x处3 1来源:学科网 ZXXK6求曲线 y=x2+1 在点 P(2，5) 处的切线方程.来源#&:中国教育出版*网
