1、2005 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 9 页，共150 分。考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷（选择题共 40 分）注意事项：1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。一、本大题共 8 小题每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
2、.（1）设全集 U=R，集合 M=x| x1，P=x| x 21，则下列关系中正确的是（A）M P （B）P M （C）M P （ D）UP（2） “m= ”是“直线(m+2)x +3my+1=0 与直线(m2)x+( m+2)y3=0 相互垂直”的（A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件（3）若 ，且 ，则向量 与 的夹角为|1,|2,abcabcab（A）30 （B）60 （C）120 （D ）150（4）从原点向圆 x2y 212y 27=0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（A） （B）2 （C）4 （D ）6（5）对任意的
3、锐角 ，下列不等关系中正确的是（A）sin(+)sin+sin （B）sin(+)cos+cos（C）cos(+)0； .12()ffx1212()(xfxff当 f(x)=lgx 时，上述结论中正确结论的序号是 .（14）已知 n 次多项式 ,101()nn nPxaxax如果在一种算法中，计算 （k2，3，4，n）的值需要 k1 次乘法，计算 的值共需要30()Px9 次运算（6 次乘法，3 次加法） ，那么计算 的值共需要 次运算0()Px下面给出一种减少运算次数的算法： （k0， 11,()()kkaxPa1，2，n1） 利用该算法，计算 的值共需要 6 次运算，计算 的30()x)n
4、x值共需要 次运算三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15） （本小题共 13 分）已知函数 f(x)=x 33x 29xa, （I）求 f(x)的单调递减区间；（II）若 f(x)在区间 2，2上的最大值为 20， 求它在该区间上的最小值（16） （本小题共 14 分）如图, 在直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，ABAD2，DC2 ，AA 1 ，ADDC，ACBD, 3垂足未 E，（I）求证：BDA 1C；（II）求二面角 A 1BD C 1 的大小；（III）求异面直线 AD 与 BC 1 所成角的大小（17） （本小题共 13
5、 分）甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率 ，2132（I）记甲击中目标的次数为 ，求 的概率分布及数学期望 E；（II）求乙至多击中目标 2 次的概率；（III）求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率（18） （本小题共 14 分）如图，直线 l1：y kx（ k0）与直线 l2：ykx 之间的阴影区域（不含边界）记为 W，其左半部分记为 W1，右半部分记为W2（I）分别用不等式组表示 W1 和 W2；（II）若区域 W 中的动点 P(x，y)到 l1，l 2 的距离之积等于 d2，求点 P 的轨迹 C 的方程；（III）设不过原点 O 的直线 l 与（
6、II）中的曲线 C 相交于 M1，M 2 两点，且与 l1，l 2 分别交于 M3，M 4 两点求证OM 1M2 的重心与 OM 3M4 的重心重合（19） （本小题共 12 分）设数列a n的首项 a1=a ，且 , 4124nna记 ，nl，2 ，3，21nb（I）求 a2，a 3；（II）判断数列b n是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求 123lim()nb（20） （本小题共 14 分）设 f(x)是定义在0, 1上的函数，若存在 x*(0 ，1)，使得 f(x)在0, x*上单调递增，在 x*，1上单调递减，则称 f(x)为0, 1上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为
7、含峰区间对任意的0，l上的单峰函数 f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法（I）证明：对任意的 x1，x 2(0，1) ，x 1x 2，若 f(x1)f(x 2)，则(0 ，x 2)为含峰区间；若 f(x1)f (x2)，则(x*，1)为含峰区间；（II）对给定的 r（0r0.5） ，证明：存在 x1，x 2(0， 1)，满足 x2x 12r，使得由（I ）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5r；（III）选取 x1，x 2(0, 1)，x 1x 2，由（I ）可确定含峰区间为(0，x 2)或( x1，1)，在所得的含峰区间内选取 x3，由 x3 与 x1 或 x3 与 x2 类似地可确定
8、一个新的含峰区间在第一次确定的含峰区间为(0，x 2)的情况下，试确定 x1，x 2，x 3 的值，满足两两之差的绝对值不小于 0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到 0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）2005 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类） （北京卷）参考答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1） C （2）B （3 ）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） （10） ； （11）15 （12）(1, e) ；e 871（13） （14） n(n
9、3) ；2n三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）（15） （共 13 分）解：（I） f (x)3x 26x9令 f (x)3，所以函数 f(x)的单调递减区间为（，1） ， （3， ） （II）因为 f(2)812 18a=2a，f (2)81218a22a，所以 f(2)f(2) 因为在（1，3）上 f (x)0，所以 f(x)在1, 2上单调递增，又由于 f(x)在2，1 上单调递减，因此 f(2)和 f(1) 分别是 f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故 f(x)=x 33x 29x2，因此 f(1)13927，即函数 f(x)在区间2，
10、2 上的最小值为7（16） （共 14 分）（I）在直四棱柱 ABCDAB 1C1D1 中，AA 1底面 ABCD AC 是 A1C 在平面ABCD 上的射影 BDAC BDA 1C；（II）连结 A1E，C 1E，A 1 C1与（I）同理可证 BDA 1E，BDC 1E， A 1EC1 为二面角 A1BDC 1 的平面角 ADDC， A 1D1C1=ADC90，又 A1D1=AD2，D 1C1= DC2 ，AA 1= 且 ACBD，3 A 1C14，AE1，EC3， A 1E2，C 1E2 ，3在A 1EC1 中，A 1C12A 1E2C 1E2， A 1EC190，即二面角 A1BDC 1
11、 的大小为 90（III）过 B 作 BF/AD 交 AC 于 F，连结 FC1，则C 1BF 就是 AD 与 BC1 所成的角 ABAD2， BDAC，AE1， BF=2，EF1，FC2，BCDC， FC 1= ，BC 1 ，75在BFC 1 中， , C 1BF=154cos2CBF 5arcos即异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小为 5arcos（17） （共 13 分）解：（I）P (0) ，P (1) ，P(2) ，031()28C13()28C231()8CP(3) ，31()28C 的概率分布如下表：E , （或 E=3 =1.5） ；13102.58821（II）乙至多击
12、中目标 2 次的概率为 1 = ；3()C97（III）设甲恰比乙多击中目标 2 次为事件 A，甲恰击中目标 2 次且乙恰击中目标 0 次为事件 B1，甲恰击中目标 3 次且乙恰击中目标 1 次为事件 B2，则 AB 1B 2，B1，B 2 为互斥事件 123()()8794PA所以，甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为 .1（18） （共 14 分）解：（I）W 1=(x, y)| kx0，（II）直线 l1：kx y 0 ，直线 l2：kxy 0，由题意得, 即 ，222|d2|1d由 P(x, y)W，知 k2x2y 20，所以 ，即 ,21d22()0kd所以动点 P 的轨迹 C 的方
13、程为 ；221xy（III）当直线 l 与 x 轴垂直时，可设直线 l 的方程为 x a（a0） 由于直线 l，曲线 C 关于 x 轴对称，且 l1 与 l2 关于 x 轴对称，于是 M1M2，M 3M4 的中点坐标都为（a，0） ，所以OM 1M2，OM 3M4 的重心坐标都为（ a，0） ，即它们的重心重合，3当直线 l1 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y=mx+n（n0） 由 ，得22()0kykdmn2222() 0kmxkd由直线 l 与曲线 C 有两个不同交点，可知 k2m 20 且 0 1 2 3P 8381= 0222()4()()mnknkd设 M1，M 2 的坐
14、标分别为( x1, y1)，(x 2, y2)，则 , , 2xkmn设 M3，M 4 的坐标分别为( x3, y3)，(x 4, y4)， 由 得ykmxnn 4,xkm从而 ，34122xk所以 y3+y4=m(x3+x4)+2nm(x 1+x2)+2ny 1+y2,于是OM 1M2 的重心与 OM 3M4 的重心也重合（19） （共 12 分）解：（I）a 2a 1+ =a+ ，a 3= a2= a+ ；418（II） a 4=a3+ = a+ , 所以 a5= a4= a+ ,136所以 b1=a1 =a , b2=a3 = (a ), b3=a5 = (a ),41猜想：b n是公比
15、为 的等比数列证明如下：因为 bn+1a 2n+1 = a2n = (a2n1 )= bn, (nN*)414所以b n是首项为 a , 公比为 的等比数列（III ） .1112()2lim()lim2()4nnn bbba（20） （共 14 分）（I）证明：设 x*为 f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f (x)在0, x*上单调递增，在x*, 1上单调递减当 f(x1)f(x 2)时，假设 x* (0, x2)，则 x1f(x1)，这与 f(x1)f(x 2)矛盾，所以 x*(0, x 2)，即(0, x2)是含峰区间.当 f(x1)f(x 2)时，假设 x* ( x2, 1)，
16、则 x*f(x2)，这与 f(x1)f(x 2)矛盾，所以 x*(x 1, 1)，即( x1, 1)是含峰区间.（II）证明：由（I）的结论可知：当 f(x1)f(x 2)时，含峰区间的长度为 l1x 2；当 f(x1)f(x 2)时，含峰区间的长度为 l2=1x 1；对于上述两种情况，由题意得210.5rx 由得 1x 2x 11+2r，即 x1x 12r.又因为 x2x 12r，所以 x2x 1=2r, 将代入得x10.5r, x 20.5r， 由和解得 x10.5r， x20.5r所以这时含峰区间的长度 l1l 10.5r，即存在 x1，x 2 使得所确定的含峰区间的长度不大于 0.5r（III）解：对先选择的 x1；x 2，x 1x3 时，含峰区间的长度为 x1由条件 x1x 30.02，得 x1(1 2x 1)0.02，从而 x10.34因此，为了将含峰区间的长度缩短到 0.34，只要取x10.34，x 20.66，x 3=0.32
