1、2.1.1 数 列( 二)自主学习知识梳理1数列可以看作是一个定义域为_( 或它的有限子集1,2,3 ，n)的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列_2一般地，一个数列a n，如果从_起，每一项都大于它的前一项，即_，那么这个数列叫做递增数列如果从_起，每一项都小于它的前一项，即_，那么这个数列叫做递减数列如果数列a n的各项_，那么这个数列叫做常数列3数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项an，n 的值可通过不等式组_来确定；若求最小项 an，n 的值可通过解不等式组_来确定自主探究已知数列a n中，a 11，a 22，a n2 a n1 a n
2、，试写出 a3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发现数列a n具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第 2 011 项是多少？对点讲练知识点一 利用函数的性质判断数列的单调性例 1 已知数列a n的通项公式为 an .n2n2 1求证：数列a n为递增数列总结 数列是一种特殊的函数，因此可用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性变式训练 1 在数列a n中，a nn 3an，若数列a n为递增数列，试确定实数 a 的取值范围知识点二 求数列的最大项例 2 已知 an (nN *)，试问数列a n中有没有最大项？如果有，求出这个9nn 110n最大项；如果没有，说明理由总结 先考虑a n
3、的单调性，再利用单调性求其最值变式训练 2 已知数列a n的通项公式为 ann 25n4，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n有最小值？并求出最小值知识点三 由递推公式求通项公式例 3 已知数列a n满足 a11，a na n1 (n 2)，写出该数列的前五项及它1nn 1的一个通项公式总结 已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由 a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想 an的方法，以及累加：a n(a na n1 )(a n1 a n2 )( a2a 1)a 1；累乘：a n a1等方法anan 1an 1an 2 a2a1变式训练 3 已知数列a n满足
4、a1 ，a nan1 a n1 a n，求数列a n的通项公式12函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型) ，由于它的定义域是 N*或它的子集1,2，n，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即 anan1 )，则图象呈上升趋势，即数列递增，即a n递增a n1 an对任意的 n (n N*)
5、都成立类似地，有a n递减a n1 0 的 n 的最小值为32n 11( )A10 B11 C12 D135已知数列a n满足 an1 Error!若 a1 ，67则 a2 010 的值为( )A. B. C. D.67 57 37 17二、填空题6已知数列a n满足：a 1a 21，a n2 a n1 a n，(nN *)，则使 an100 的 n 的最小值是_7设 ann 210n11，则数列a n从首项到第 m 项的和最大，则 m 的值是_8已知数列a n满足 a10，a n1 a nn，则 a2 009_.三、解答题9已知函数 f(x)2 x2 x ，数列a n满足 f(log2an)
6、2n.(1)求数列a n的通项公式；(2)证明：数列a n是递减数列10在数列a n中，a 1 ，a n1 (n2，nN *)12 1an 1(1)求证：a n3 a n； (2) 求 a2 010.21.1 数 列( 二)知识梳理1正整数集 N* 函数值2第二项 a n1 an 第二项 a n1 0，即 an1 an.数列a n为递增数列变式训练 1 解 若a n为递增数列，则 an1 a n0.即(n1) 3a(n1)n 3an0 恒成立即 a(n1) 3n 33n 23n1 恒成立，即 a(3n 23n1) min，nN *，3n 23n1 的最小值为 7. a 的取值范围为 a7.例
7、2 解 因为 an1 a n n1 (n2) n(n1)(910) (910) n1 n1 ，(910) n 2 109n 1 (910) 8 n9则当 n7 时， n1 0，(910) 8 n9当 n8 时， n1 0，(910) 8 n9当 n9 时， n1 a10a11a12，故数列a n存在最大项，最大项为 a8a 9 .99108变式训练 2 解 (1)a nn 25n4 2 ，(n 52) 94当 n2,3 时，a n0，则当 n11时，S n0，故 n 最小为 11.5C 计算得 a2 ，a 3 ，a 4 ，57 37 67故数列a n是以 3 为周期的周期数列，又知 2 010
8、 除以 3 能整除，所以 a2 010a 3 .37612710 或 11解析 令 ann 210n110，则 n11.a 10，a 20，a 100，a 110.S 10S 11且为 Sn的最大值82 017 036解析 由 a10，a n1 a nn 得ana n1 n1，a n1 a n2 n2，a2a 11，a10，累加可得 an012n1 ，nn 12a 2 009 2 017 036.2 0092 00829(1)解 因为 f(x)2 x2 x，f(log 2an)2n，所以 2log2 an2log 2an2n，a n 2n，1an所以 a 2na n10，解得 ann .2n n2 1因为 an0，所以 an n.n2 1(2)证明 an 1an n 12 1 n 1n2 1 n 0，所以 an1 an，所以数列 an是递减数列10(1)证明 a n3 1 1 11an 2 11 1an 111 11 1an1 1 111 1an 1an11 anan 11an 1 anan 11 1(1a n)a n.a n3 a n.1 1an 1(2)解 由(1)知数列a n的周期 T3，a1 ，a 21，a 32.12a 2 010a 3670a 32.
