1、第 2 课时 对数函数及其性质的应用学习目标 1.进一步加深理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质及其应用知识链接对数函数的图象和性质a1 0 a1图象定义域 (0，)值域 R过定点 (1,0)，即当 x1 时， y0单调性 在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数性质奇偶性 非奇非偶函数要点一 对数值的大小比较例 1 比较下列各组中两个值的大小：(1)ln 0.3，ln 2；(2)loga3.1，log a5.2(a0，且 a1)；(3)log30.2，log 40.2；(4)log3，log 3.解 (1)因为函数 yln x 是增函数，且 0.32，所以 ln 0.3ln 2.(2
2、)当 a1 时，函数 ylog ax 在(0，)上是增函数，又 3.15.2，所以loga3.1log a5.2；当 0 a1 时，函数 ylog ax 在(0，)上是减函数，又 3.15.2，所以 loga3.1log a5.2.(3)方法一 因为 0log 0.23log 0.24，所以 ，即 log30.2log 40.2.1log0.23 1log0.24方法二 如图所示，由图可知 log40.2log 30.2.(4)因为函数 ylog 3x 是增函数，且 3，所以 log3log 331.同理，1log log 3，所以 log3log 3.规律方法 比较对数式的大小，主要依据对数
3、函数的单调性1若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较2若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论3若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较4若底数与真数都不同，则常借助 1,0 等中间量进行比较跟踪演练 1 (1)设 alog 32， blog 52， clog 23，则( )A a c b B b c aC c b a D c a b(2)已知 alog 23.6， blog 43.2， clog 43.6，则( )A a b c B a c bC b a c D c
4、 a b答案 (1)D (2)B解析 (1) alog 32log 331； clog 23log 221，由对数函数的性质可知 log52log 32， b a c，故选 D.(2)alog 23.6log 43.62，函数 ylog 4x 在(0，)上为增函数，3.6 23.63.2，所以a c b，故选 B.要点二 对数函数单调性的应用例 2 求函数 ylog (1 x2)的单调增区间，并求函数的最小值1解 要使 ylog (1 x2)有意义，则 1 x20， x21，则1 x1，因此函数的定义域为(1,1)令 t1 x2， x(1,1)当 x(1,0时， x 增大， t 增大， ylo
5、g t 减小，21 x(1,0时， ylog (1 x2)是减函数；1当 x0,1)时， ylog (1 x2)是增函数故函数 ylog (1 x2)的单调增区间为0,1)，且函数的最小值 yminlog (10 2)0.1 1规律方法 1.求形如 ylog af(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由 f(x)0，先求定义域2求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求证；(2)借助函数的性质，研究函数t f(x)和 ylog at 在定义域上的单调性，从而判定 ylog af(x)的单调性跟踪演练 2 (1)函数 f(x)|log x|的单调递增区间是( )21A. B(0
6、,1(0，12C(0，) D1，)(2)设函数 f(x)Error!则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是( )A1,2 B0,2C1，) D0，)答案 (1)D (2)D解析 (1) f(x)Error!当 x1 时， tlog x 是减函数， f(x)log x 是增函数21 21 f(x)的单调增区间为1，)(2)f(x)2Error!或Error!0 x1 或 x1，故选 D.要点三 对数函数的综合应用例 3 已知函数 f(x)log a (a0 且 a1)，x 1x 1(1)求 f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性解 (1)要使此函数有意义，则有Error! 或Erro
7、r!解得 x1 或 x1，此函数的定义域为(，1)(1，)(2)f( x)log a log a x 1 x 1 x 1x 1log a f(x)x 1x 1又由(1)知 f(x)的定义域关于原点对称， f(x)为奇函数f(x)log a log a(1 )，x 1x 1 2x 1函数 u1 在区间(，1)和区间(1，)上单调递减2x 1所以当 a1 时， f(x)log a 在(，1)，(1，)上递减；x 1x 1当 0 a1 时， f(x)log a 在(，1)，(1，)上递增x 1x 1规律方法 1.判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称2求函数的单调区间有两种思路：(1
8、)易得到单调区间的，可用定义法来求证；(2)利用复合函数的单调性求得单调区间跟踪演练 3 已知函数 f(x)log a (a0， a1， m1)是奇函数1 mxx 1(1)求实数 m 的值；(2)探究函数 f(x)在(1，)上的单调性解 (1)由已知条件得 f( x) f(x)0 对定义域中的 x 均成立log a log a 0，mx 1 x 1 1 mxx 1即 1，mx 1 x 1 1 mxx 1 m2x21 x21 对定义域中的 x 均成立 m21，即 m1(舍去)或 m1.(2)由(1)得 f(x)log a .1 xx 1设 t 1 ，x 1x 1 x 1 2x 1 2x 1当 x
9、1 x21 时，t1 t2 0，2x1 1 2x2 1 2 x2 x1 x1 1 x2 1 t1 t2.当 a1 时，log at1log at2，即 f(x1) f(x2)，当 a1 时， f(x)在(1，)上是减函数同理当 0 a1 时， f(x)在(1，)上是增函数1函数 yln x 的单调递增区间是( )Ae，) B(0，)C(，) D1，)答案 B解析 函数 yln x 的定义域为(0，)，其在(0，)上是增函数，故该函数的单调递增区间为(0，)2设 alog 54， b(log 53)2， clog 45，则( )A a c b B b c aC a b c D b a c答案 D
10、解析 1log 55log 54log 53log 510，1 alog 54log 53 b(log 53)2.又 clog 45log 441. c a b.3函数 f(x) 的定义域是( )log x 1A(1，) B(2，)C(，2) D(1,2答案 D解析 由题意有Error!解得 1 x2.4函数 f(x)Error!的值域为_答案 (，2)解析 当 x1 时，log xlog 10，当 x1 时， f(x)0.当 x1 时，02 x2 1，即2120 f(x)2.因此函数 f(x)的值域为(，2)5函数 f(x)log 5(2x1)的单调增区间是_答案 (12， )解析 要使 y
11、log 5(2x1)有意义，则 2x10，即 x ，而 ylog 5u 为(0，)上的增12函数，当 x 时， u2 x1 也为 R 上的增函数，故原函数的单调增区间是 .12 ( 12， )1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分 a1 和 0 a1 两类分别求解2解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用一、基础达标1若集合 AError!，则 RA 等于( )A(，0 (22， )B.(22， )C(，0 22， )D.22， )答案 A解析 log x ，
12、即 log xlog ，0 x ，2112 212122 22即 AError! ， RAError! .故选 A.2设 alog 3， blog 2 ， clog 3 ，则( )3 2A a b c B a c bC b a c D b c a答案 A解析 alog 31， blog 2 log23 ， clog 3 log32 ，故有312 (12， 1) 2 12 (0， 12)a b c.3函数 f(x)log ax(0 a1)在 a2， a上的最大值是( )A0 B1 C2 D a答案 C解析 0 a1， f(x)log ax 在 a2， a上是减函数， f(x)max f(a2)l
13、og aa22.4函数 f(x)lg( )的奇偶性是( )1x2 1 xA奇函数 B偶函数C即奇又偶函数 D非奇非偶函数答案 A解析 f(x)定义域为 R， f( x) f(x)lg( )lg( )1x2 1 x 1x2 1 xlg lg 10，1 x2 1 x2 f(x)为奇函数，选 A.5函数 ylog ( x24 x12)的单调递减区间是( )31A(，2) B(2，)C(2,2) D(2,6)答案 C解析 ylog u， u x24 x12.31令 u x24 x120，得2 x6. x(2,2)时， u x24 x12 为增函数， ylog ( x24 x12)为减函数，31函数的单
14、调减区间是(2,2)6已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在0，)上是增函数，且 f( )0，则不等式 f(log4x)120 的解集是_答案 x| x212解析 由题意可知， f(log4x)0 log 4x log44 log 4xlog 44 x2.12 12 2121127已知 f(x)(log x)23log x， x2,4试求 f(x)的最大值与最小值11解 令 tlog x，2则 y t23 t( t )2 ，32 942 x4，log 4log xlog 2，111即2 t1.可知 y( t )2 在2，1上单调递减32 94当 t2 时， y 取最大值为 10；当 t1 时，
15、 y 取最小值为 4.故 f(x)的最大值为 10，最小值为 4.二、能力提升8设 alog 36， blog 510， clog 714，则( )A c b a B b c aC a c b D a b c答案 D解析 alog 36log 33log 321log 32，blog 510log 55log 521log 52，clog 714log 77log 721log 72，log 32log 52log 72， a b c，故选 D.9已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数 a 满足f(log2a) f(log a)2 f(1)，则 a 的取值范
16、围是( )21A1,2 B. (0，12C ，2 D(0,212答案 C解析 f(log a) f(log 2a) f(log2a)，原不等式可化为 f(log2a) f(1)又 f(x)在21区间0，)上单调递增，0log 2a1，即 1 a2. f(x)是偶函数， f(log2a) f(1)又 f(x)在区间(，0上单调递减，1log 2a0， a1.综上可知12 a2.1210已知函数 f(x)Error!若 f(x)在(，)上单调递增，则实数 a 的取值范围为_答案 a|2 a3解析 函数 f(x)是(，)上的增函数， a 的取值需满足Error!解得 2 a3.11讨论函数 f(x)
17、log a(3x22 x1)的单调性解 由 3x22 x10 得函数的定义域为Error!.则当 a1 时，若 x1，则 u3 x22 x1 为增函数， f(x)log a(3x22 x1)为增函数若 x ，则 u3 x22 x1 为减函数13 f(x)log a(3x22 x1)为减函数当 0 a1 时，若 x1，则 f(x)log a(3x22 x1)为减函数；若 x ，则 f(x)log a(3x22 x1)为增函数13三、探究与创新12已知 x 满足不等式：2(log x)27log x30，求函数 f(x) 的最大11 (log2x4) (log2x2)值和最小值解 由 2(log
18、x)27log x30，11可解得3log x ，即 x8，2112 2 log 2x3.12 f(x)(log 2x2)(log 2x1) 2 ，(log2x32) 14当 log2x ，即 x2 时， f(x)有最小值 .32 2 14当 log2x3，即 x8 时， f(x)有最大值 2. f(x)min ， f(x)max2.1413已知 f(x)2log 3x， x1,9，求 y f(x)2 f(x2)的最大值以及 y 取最大值时 x 的值解 f(x)2log 3x， y f(x)2 f(x2)(2log 3x)22log 3x2(2log 3x)222log 3x(log 3x)26log 3x6(log 3x3) 23.函数 f(x)的定义域为1,9，要使函数 y f(x)2 f(x2)有意义，必须满足Error!1 x3，0log 3x1.6 y(log 3x3) 2313.当 log3x1，即 x3 时， y13.当 x3 时，函数 y f(x)2 f(x2)取得最大值 13.
