1、【成才之路】2015-2016 学年高中数学 第一章 立体几何初步综合测试 B 新人教 B 版必修 2时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2015山东莱州市高一期末测试)在四棱台 ABCD A1B1C1D1中， DD1与 BB1所在直线是( )A相交 B平行C不垂直的异面直线 D垂直的异面直线答案 A解析 根据棱台的定义可知， DD1与 BB1延长后一定交于一点，故选 A2不在同一直线上的五个点，最多能确定平面的个数是( )A8 B9C10 D12答案 C解析 要确定平面个
2、数最多，须任意四点不共面，从 A、 B、 C、 D、 E 五个点中任取三个点确定一个平面，即 ABC、 ABD、 ABE、 ACD、 ACE、 ADE、 BCD、 BCE、 BDE、 CDE 共 10 种情况，选 C3给出四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；长方体一定是正四棱柱其中正确的命题个数是( )A0 B1C2 D3答案 A解析 反例：直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正方体；底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；显然错误，故选 A4下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是( )A
3、 BC D答案 C解析 正方体和球体的三个视图都相同，故选 C5(2015广东东莞市高一期末测试)若球的半径扩大到原来的 2 倍，那么其体积扩大到原来的( )倍A64 B16C8 D4答案 C解析 设球的半径为 R，其体积 V R3，当球半径扩大到原来的 2 倍时，其体积43V (2 R)38 V.436若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A B5112C D492答案 D解析 本题考查三视图，棱柱体积公式由三视图知该几何体为直六棱柱其底面积为 S2 (13)14，高为 1.所以体积 V4，由“长对正、宽相等、高平齐”确12定几何体的形状及尺寸、角度等7(2015安徽安庆市高
4、一教学质量调研监测)已知平面 、 和直线 m，给出条件： m ； m ； m ； ； ，能推出 m 的是( )A BC D答案 D解析 Error! m ，故选 D.8如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，若点 E 为 A1C1上的一点，则直线 CE 一定垂直于( )A AC B BDC A1D D A1D1答案 B解析 由 BD AC， BD AA1易知 BD平面 A1ACC1，而 CE平面 A1ACC1，故 BD CE.9已知圆柱的侧面展开图矩形面积为 S，底面周长为 C，它的体积是( )A BC34 S 4 SC3C DCS2 SC4答案 D解析 设圆柱底面半径为 r，高为
5、h， ，则Error!， r ， h ，C2 SC V r2h 2 .(C2 ) SC SC410(2015辽宁沈阳二中高一期末测试)三棱锥 P ABC 三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为 、 、 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 ( )22 32 62A4 B6C8 D10答案 B解析 设 PA a， PB b， PC c，则Error! ，解得Error! .外接球的半径 R .a2 b2 c22 62外接球的表面积 S4 R26.11如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E、 F，且 EF，则下列结论中错误的是( )12A AC BEB EF平
6、面 ABCDC三棱锥 A BEF 的体积为定值D AEF 的面积与 BEF 的面积相等答案 D解析 由正方体 ABCD A1B1C1D1得 B1B面 AC， AC B1B，又 AC BD， BD B1B B， AC面 BDD1B1， BE面 BDD1B1， AC BE，故 A 正确由正方体 ABCD A1B1C1D1得 B1D1 BD，B1D1面 ABCD， BD面 ABCD， B1D1面 ABCD， EF面 ABCD，故 B 正确VA BEF AC BB1EF .12 12 13 12 12 22 224三棱锥 A BEF 的体积为定值，故 C 正确因线段 B1D1上两个动点 E、 F，且
7、EF ，12当 E、 F 移动时， A 到 EF 的距离与 B 到 EF 的距离不相等， AEF 的面积与 BEF 的面积不相等，故 D 不正确12已知圆锥的母线长为 5 cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且 AOA1120，一只蚂蚁欲从圆锥底面上的点 A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点 A 则蚂蚁爬行的最短路程为( )A8 cm B5 cm3C10 cm D5 cm答案 B解析 连接 AA1，作 OC AA1于 C，因为圆锥的母线长为 5 cm， AOA1120，所以 AA12 AC5 cm.3二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上)13(20
8、15宁夏银川一中高一期末测试)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ABCD，如图所示， ABC45， AB AD1， DC BC，这个平面图形的面积为_答案 222解析 S 直观图 .1 1 22 222 2 22 24 22 14又 ，S直 观 图S平 面 图 24 S 平面图 2 . 22 1424 2214(2015湖南益阳市高一期末测试)已知两个球的表面积之比为 19 ，则这两个球的半径之比为_答案 13解析 设两球的半径分别为 R1、 R2，由题意得 4 R 4 R 19 ，21 2 R1 R213.15已知平面 、 和直线 m，给出以下条件： m ， m ； m ； .
9、要使 m ，则所满足的条件是_答案 解析 Error! m .16已知点 P、 A、 B、 C、 D 是球 O 表面上的点， PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，若 PA2 ，则 OAB 的面积为_ 3 6答案 3 3解析 本题考查了与球有关的几何问题如图，连接 AC PA平面 ABCD， PA AC，故 PC 为球的直径，取 CP 中点 O，取 AC 中点 O，则OO PA .12 6又 AC2 ， PA2 .6 6PC4 .3半径 R OC OA OB AB2 ， S OAB3 .3 3三、解答题(本大题共 6 个大题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或
10、演算步骤)17(本题满分 12 分)一个棱锥的底面是边长为 a 的正三角形，它的一个侧面也是正三角形，且这个侧面与底面垂直，求这个棱锥的体积和全面积解析 如图所示，平面 ABC平面 BCD， ABC 与 BCD 均为边长为 a 的正三角形，取 BC 中点 E，连接 AE，则 AE平面 BCD，故棱锥 A BCD 的高为 AE， BCD 的面积为 a2，34AE a，32 VA BCD a2 a a3.13 34 32 18连接 DE， AE平面 BCD， DE平面 BCD， AE DE，在 Rt AED 中， AE ED a，32 AD a a.232 62取 AD 中点 F，连接 CF，则
11、CF AD.在 Rt CDF 中， DF a a，12 62 64 CF a.CD2 DF2a2 (64a)2 104 S ACD ADCF a a a2.12 12 62 104 158 ABD ACD， S ABD a2.158故 S 全面积 a2 a22 a2 a2.34 34 158 23 154棱锥的体积为 a3，全面积为 a2.18 23 15418(本题满分 12 分)(2015辽宁沈阳二中高一月考)如图，矩形 AMND 所在平面与直角梯形 MBCN 所在的平面垂直， MB NC， MN MB.(1)求证：平面 AMB平面 DNC；(2)若 MC CB，求证： BC AC解析 (
12、1)四边形 AMND 是矩形， AM DN，又 MB NC，AM MB M， DN NC N，平面 AMB平面 DNC(2)平面 AMND平面 MBCN，平面 AMND平面 MBCN MN， AM MN， AM平面 MBCN， AM BC BC MC， AM MC M， BC平面 AMC， BC AC19(本题满分 12 分)(2015广东清远市高一期末测试)如图，已知直三棱柱ABC A1B1C1中， AC3， BC4， AB5，点 D 是 AB 的中点(1)求证： AC BC1；(2)求证： AC1平面 CDB1.解析 (1) AC3， BC4， AB5， AC2 BC2 AB2， AC B
13、C又直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC CC1， CC1 BC C， AC平面 BB1C1C， AC BC1.(2)如图，设 BC1交 B1C 于点 E，连接 DE. D 为 AB 的中点， E 为 BC1的中点， DE AC1.又 AC1平面 CDB1， DE平面 CDB1， AC1平面 CDB1.20(本题满分 12 分)(2014福建文，19)如图，三棱锥 A BCD 中， AB平面BCD， CD BD.(1)求证： CD平面 ABD；(2)若 AB BD CD1， M 为 AD 中点，求三棱锥 A MBC 的体积解析 (1) AB平面 BCD， CD平面 BCD， AB CD.又
14、CD BD， AB BD B，AB平面 ABD， BD平面 ABD， CD平面 ABD.(2)由 AB平面 BCD，得 AB BD， AB BD1， S ABD .12 M 是 AD 的中点， S ABM S ABD .12 14由(1)知， CD平面 ABD，三棱锥 C ABM 的高 h CD1，因此三棱锥 A MBC 的体积VA MBC VC ABM S ABMh .13 11221(本题满分 12 分)如下三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右面是它的主视图和左视图(单位： cm)(1)画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图
15、中连接 BC，证明： BC平面 EFG.解析 (1)如图(2)所求多面体的体积 V V 长方体 V 正三棱锥 446 ( 22)2 (cm3)13 12 2843(3)证明：如图，在长方体 ABCD A B C D中，连接 AD，则 AD BC，因为 E、 G 分别为 AA、 A D中点，所以 AD EG，从而 EG BC，又 BC平面 EFG，所以 BC平面 EFG.22(本题满分 14 分)如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直， ABE 是等腰直角三角形， AB AE， FA FE， AEF45.(1)求证： EF平面 BCE；(2)设线段 CD 的中点
16、为 P，在直线 AE 上是否存在一点 M，使得 PM平面 BCE？若存在，请指出点 M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由解析 (1)因为平面 ABEF平面 ABCD， BC平面 ABCD， BC AB，平面 ABEF平面ABCD AB，所以 BC平面 ABEF.所以 BC EF.因为 ABE 为等腰直角三角形， AB AE，所以 AEB45.又因为 AEF45，所以 FEB454590，即 EF BE.因为 BC平面 BCE， BE平面 BCE， BC BE B，所以 EF平面 BCE.(2)存在点 M，当 M 为线段 AE 的中点时， PM平面 BCE，取 BE 的中点 N，连接 CN、 MN，则 MN 綊 AB 綊 PC，12所以四边形 PMNC 为平行四边形，所以 PM CN.因为 CN 在平面 BCE 内， PM 不在平面 BCE 内，所以 PM平面 BCE.
