1、绝密启用前2001 年普通高等学校春季招生考试（上海卷）数学考生注意：本试卷共有 22 道试题，满分 150 分一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题只要求直接填写结果，每题填对得 4分，否则一律是零分1函数 的反函数 _)0(1)(2xf )(1xf2若复数 满足方程 （ 是虚数单位） ，则 =_ziz z3函数 的最小正周期为_xycos1in4二项式 的展开式中常数项的值为_6)(5若双曲线的一个顶点坐标为（3，0） ，焦距为 10，则它的标准方程为_6圆心在直线 上且与 轴相切于点（1，0）的圆的方程为_xy7计算： =_nn)3(lim8若向量 ， 满足 ，则 与 所
2、成角的大小为_|9在大小相同的 6 个球中，2 个红球，4 个是白球若从中任意选取 3 个，则所选的 3 个球中至少有 1 个红球的概率是_ （结果用分数表示）10若记号“*”表示求两个实数 与 的算术平均数的运算，即 ，则两边均ab2ba含有运算符号“*”和“+” ，且对于任意 3 个实当选 、 、 都能成立的一个等式可以是abc_。11关于 的函数 有以下命题：x)sin()xf（1）对任意的 ， 都是非奇非偶函数；f（2）不存在 ，使 既是奇函数，又是偶函数；)(xf（3）存在 ，使 是奇函数；f（4）对任意的 ， 都不是偶函数。)(xf其中一个假命题的序号是_。因为当 =_时，该命题的
3、结论不成立。12甲、乙两人于同一天分别携款 1 万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%。乙存一年期定期储蓄，年利率为 2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄。按规定每次计息时，储户须交纳利息的 20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为_元。 （假定利率五年内保持不变，结果精确到 1 分） 。二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选，选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号
4、内） ，一律得零分。13若 、 为实数，则 是 的（ ）ab0ba2b（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既非充分条件也非必要条件14若直线 的倾斜角为 ，则 （ ）1x（A）等于 0 （B）等于 （C）等于 （D）不存在4215若有平面 与 ，且 ，则下列命题中的假命题为（ ）lPl,（A）过点 且垂直于 的直线平行于 P（B）过点 且垂直于 的平面垂直于 l（C）过点 且垂直于 的直线在 内（D）过点 且垂直于 的直线在 内Pl16若数列 前 8 项的值各异，且 对任意的 都成立，则下列数列中可取nan8aN遍 前 8 项值的数列为（ ）n（A） （B） （C） （
5、D）12ka13ka14ka16ka三、解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤17 （本题满分 12 分）已知 为全集， ，求R 125|,2)3(log|21 xBxA BA18 （本题满分 12 分）已知 ，试用 表示 的值)24(1sini2ktgkcosin19 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 9 分用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器（如图） ，设容器的高为 米，盖子边长为 米ha（1）求 关于 的函数解析式；a（2）设容器的容积为 立方米，则当 为何值
6、时， 最大？求出 的最大值VhV（求解本题时，不计容器的厚度）20 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 9 分。在长方体 中，点 、 分别 、 上，且 ，1DCBAEFB1DBAE1。DAF1（1）求证： ；AEFC平 面1（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角） ，则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等。试根据上述定理，在 ， ， 时，求平面 与平面 所4B3D51AAEFBD1成的角的大小。 （用反三角函数值表示）21 （本题满分 16 分）本题共有 2
7、 个小题，第 1 小题满分 9 分，第 2 小题满分 7 分。已知椭圆 的方程为 ，点 的坐标满足 。过点 的直线Cyx),(baP1baP与椭圆交于 、 两点，点 为线段 的中点，求：lABQAB（1）点 的轨迹方程；Q（2）点 的轨迹与坐标轴的交点的个数22 （本题满分 18 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 13 分已知 是首项为 2，公比为 的等比数列， 为它的前 项和na nS（1）用 表示 ；S1n（2）是否存在自然数 和 ，使得 成立ck21cSk数学试卷答案要点及评分标准说明：1本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可
8、参照解答中评分标准的精神进行评分2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分3给分或扣分均以 1 分为单位答案及评分标准一、 （第 1 至 12 题）每一题正确的给 4 分，否则一律得零分1 )(x2 i3 4205 1692yx6 )()(227 e8909 5410 ),(*)(cabca. 等)()(,)()(*cbaa*bca11 （1） ， ；（1） ，
9、；（4） ， 等。Zk)(2Zk)(2Zk（两个空格全填对时才能得分，其中 也可以写成任何整数）12219.01二、 （第 13 至 16 题）每一题正确的给 4 分，否则一律得零分。13A 14C 15D 16B三、 （第 17 至 22 题）17解 由已知 log)3(log2121x因为 为减函数，所y21l4x由 034x解得 1所以 3|A由 ，解得 。所以25x2x32|xB于是 31|或故 |xxBA或18解 因为 cosin2tg1siin2所以 cosik因而 k1cosin21)cos(in又 ，于是240因此 k1cosin19解（1）设 为正四棱锥的斜高h由已知 ,a4
10、122解得 )0(12h（2） )(3aV易得 )h1(因为 ，所以2h61V等式当且仅当 ，即 时取得。h1故当 米时， 有最大值， 的最大值为 立方米1hV6120证（1）因为 ，所 在平面 上的射影为BAC1平 面C1BA1BA1由 ，得 ，EBA,平 面E同理可证 F1因为 AC,所以 EA平 面1解（2）过 作 的垂线交 于 ，ABDCG因为 ，所以G1 BD1平 面设 与 所成的角为 ，则 即为平面 与平面 所成的角CAEFBD1由已知，计算得 49D如图建立直角坐标系，则得点 ，(0,)，),3()5,0(),349(1CAG，,4,因为 与 所成的角为1所以 251|cosCA
11、Gar由定理知，平面 与平面 所成角的大小为EF251arcos21解（1）设点 、 的坐标分别为 、 ，点 的坐标为 当AB),(1yxA),(2yxBQ),(yx时，设直线 的斜率为 ，则 的方程为2xlkl bak由已知 （1）12,21yxy（2）baxkbak)(,)(由（1）得， （3）0)(21)( 2122 yyxx由（2）得， （4）bakxky2)(211 由（3） 、 （4）及 ， ， ，21y21xyk得点 Q 的坐标满足方程。 （5）022byaxyx当 时，k 不存在，此时 l 平行于 y 轴，因此 AB 的中点 Q 一定落在 x 轴上，即 Q 的1坐标为（a，0）
12、 。显然点 Q 的坐标满足方程（ 5） 。综上所述，点 Q 的坐标满足方程。022byxyx设方程（5）所表示的曲线为 L，则由 ,12,2yxa得 。04)(2bxba因为 ，由已知 ，1822 12a所以当 时，=0，曲线 L 与椭圆 C 有且只有一个交点 P（a，b） 。2ba当 时，0，曲线 L 与椭圆 C 没有交点。12因为（0，0）在椭圆 C 内，又在曲线 L 上，所以曲线 L 在椭圆 C 内。故点 Q 的轨迹方程为 022byaxyx（2）由 解得曲线 L 与 y 轴交于点（0，0） ， （0，b） 。,0,2x由 解得曲线 L 与 x 轴交于点（0，0） ， （a，0）,2yb
13、ya当 a=0，b=0，即点 P（a，b）为原点时， （a，0） 、 （0，b）与（0，0）重点，曲线 L 与坐标轴只有一个交点（0，0） 。当 a=0 且 ，即点 P（a，b）不在椭圆 C 外且在除去原点的 y 轴上时，点20b（a，0）与（0，0）重合，曲线 L 与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0） 。同理，当 b=0 且 ，即点 P（a，b）不在椭圆 C 外且在除去原点的 x 轴上时，曲1线 L 与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0） 。当 且 ，即点 P（a，b）在椭圆 C 内且不在坐标轴上时，曲)(2线 L 与坐标轴有三个交点（a，0） 、 （0，b）与（0，0） 。22解（1
14、）由 ，得nnS14。)(2211 N Snnn （2）要使 ，只要 。1cSk 023kSc因为 ，所以 ，故只要42kk N)(k Skkk 0212。 N)( Sckk23因为 ，所以 ，1 123Sk又 ，故要使成立，c 只能取 2 或 3。4k当 c=2 时，因为 ，所以当 k=1 时， 不成立，从而不成立。21Skc因为 ，由 ，得c523)(1NSk，所以当 时， ，从而不成立。1kkS2ck23当 c=3 时，因为 ， ，2S所以当 k=1，2 时， 不成立，从而不成立。kc因为 ，又 ，4133 2321kS所以当 时， ，从而不成立。kcSk故不存在自然数 c、k ，使 成立。21cSk
