1、xx 理工大学工程技术学院毕业论文直线单级倒立摆控制器的设计作者姓名：xxx专业名称：自动化指导教师：xxx 讲师直线单级倒立摆控制器的设计-I-摘要倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统，在控制过程中反映控制中的许多关键问题，如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题等，对倒立摆系统的研究在理论上和方法上都有深远的意义。本次设计是在观察了直线一阶倒立摆的实验室模型的前提下，根据其工作原理，对其进行机理建模，并对倒立摆结构受力分析，进而得到一阶倒立摆的微分方程模型、传递函数模型一阶状态空间。再利用牛顿力学方法建模，设计倒立摆 PID 控制器，通过 MATLAB 仿真和实
2、际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。本文以实验室的一阶倒立摆为实际研究对象，研究其 PID 控制器和状态空间极点配置控制器设计。关键字：倒立摆 MATLAB 仿真 PID 控制 极点配置控制直线单级倒立摆控制器的设计-II-AbstractInverted pendulum system is atypical multivariable nonlinear strong coupling and rapid movements of natural unstable system, the control process con
3、trol many of the key problems reflect, such as the stabilization problem of nonlinear problems robustness, etc, to inverted pendulum in theory and methods on the research is of profound significance. This design is to observe the order in a straight line of inverted pendulum under the premise of lab
4、oratory model, according to its work principle, the mechanism modeling, and inverted pendulum structure stress analysis, and then got a order of the inverted pendulum differential equation model transfer function model of an order state space. Reuse Lagrange method modeling, design inverted pendulum
5、 quadratic optimal controller, by MATLAB simulation and actual experiment system, and to realize the inverted pendulum stability control. Set a model, determine the parameters, control algorithm design system commissioning and analysis steps realized. This paper by the laboratory of the first order
6、for inverted pendulum actual research object, and study the PID controller and state space poles controller design.Keyword: Inverted pendulum, MATLAB simulation, PIDcontrol, pole assignment controller.直线单级倒立摆控制器的设计-III-目录摘要 .IAbstract II目录 .III前言.11 倒立摆的概述.21.1 倒立摆的起源与国内外发展现状 21.2 倒立摆系统的组成及分类 21.3 倒
7、立摆的控制方法 31.3.1 倒立摆的稳定控制方法 31.3.2 倒立摆的自动起摆控制方法 61.3.3 算法的比较 61.4 本文研究的内容及安排 .72 理论模型的建立及分析.82.1 直线一级倒立摆数学模型的推导 82.2 系统可控性分析 132.3 系统阶跃响应分析 163 PID 控制器设计与调节 173.1 PID 控制概述 173.2 PID 控制规律 193.3 PID 控制在倒立摆中的分析 203.4 PID 控制仿真 233.4.1 摆杆角度讨论 233.4.2 小车位置变化讨论 263.5 PID 方法总结 .284 状态空间极点配置控制器设计.294.1 极点配置 29
8、4.2 仿真 314.3 极点配置控制器方法总结 33结论.34致谢.35参考文献.36直线单级倒立摆控制器的设计-1-前言倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统。是进行控制理论教学以及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论和技术实现问题，还能将控制理论涉及的主要基础学科：力学，数学和计算机科学进行有机的综合应用。其控制方法和思路无论对理论或实际的过程控制都有
9、很好的启迪，是检验各种控制理论和方法的有效的“试金石” 。倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。在多种控制理论与方法的研究与应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的实验问题，使其理论与方法得到有效检验，倒立摆就能为此提供一个从理论通往实践的桥梁，目前，对倒立摆的研究已经引起国内外学者的广泛关注，是控制领域研究的热门课题之一。倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。由于倒立摆系统本身具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人才一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果
10、在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。二十世纪九十年代以来，更加复杂多种形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点，每年在专业杂志上都有大量的优秀论文出现。因此，倒立摆系统在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。由于倒立摆系统与双足机器人、火箭飞行控制和各类伺服云台稳定有很大相似性，因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。直线单级倒立摆控制器的设计-2-1 倒立摆的概述1.1 倒立摆的起源与国内外发展现状倒立摆的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工学院的控制理论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆的实验设备。倒立摆作为一个典型的不稳定、严重非线性例证被正式提出于二十
11、世纪六十年代后期。国内，在倒立摆系统实验平台先后出现了多种控制算法。用状态空间法设计的比例微分控制器来实现单级倒立摆的稳定控制；利用最优状态调节器实现双电机三级倒立摆实物控制；用变结构方法实现倒立摆的控制。用神经网络的自学习模糊控制器的输入输出的对比，引起其他学者的关注，之后不断出现实时学习神经网络的方法来控制倒立摆。用两个模糊滑模并行的控制小车和摆杆偏角；采用留优遗传算法进行参数优化对倒立摆控制研究；用能量控制法对倒立摆系统进行研究。国内，倒立摆发展最前沿的有中国北京师范大学的李洪兴教授采用变论域自适应模糊控制理论完成了四级倒立摆系统的仿真和实物实验。北京航空航天大学的张飞舟等人利用拟人控制
12、实现三级倒立摆的控制。中国科技大学的黄丹等人利用 LQP 最优控制完成倒立摆控制。国防科学技术大学的罗成教授等人利用基于 LQR 的模糊插值实现了五级倒立摆的控制。1.2 倒立摆系统的组成及分类计算机、运动控制卡、伺服机构、传感器和倒立摆本体五部分构成倒立摆系统。倒立摆系统的分类：1）依据摆杆数目的不同，可以把倒立摆系统分为一级、二级和三级倒立摆等；2）依据摆杆间连接形式的不同，可以把倒立摆系统分为并联式倒立摆和串联式倒立摆；3）依据运动轨道的不同，可以把倒立摆系统分为倾斜轨道倒立直线单级倒立摆控制器的设计-3-摆和水平轨道的倒立摆；4）依据控制电机的不同，可以把倒立摆系统分为多电机倒立摆和单
13、电机倒立摆；5）依据摆杆与小车连接方式的不同，可以把倒立摆系统分为刚性倒立摆和柔性倒立摆；6）依据运动方式的不同，可以把倒立摆系统分为平面倒立摆、直线倒立摆和旋转倒立摆。1.3 倒立摆的控制方法对于倒立摆的控制研究有倒立摆的起摆控制和稳定控制。大部分集中在稳定控制上。1.3.1 倒立摆的稳定控制方法在所设计控制算法作用下，可以将倒立摆系统的摆杆稳定在竖直位置或者释某一个特定位置成为稳定控制。根据过程控制的专家对过程控制策略的分类，倒立摆的稳定控制的先进控制可分为经典技术部分、流行技术部分和潜在技术部分等。这里,我主要介绍了目前最适用的控制算法：（1）先进控制经典技术1）PID 控制该控制方法出
14、现得最早。首先是对倒立摆系统进行力学分析，并在牛顿定律的基础上得到运动方程；然后，在平衡点附近对其进行线性化求出传递函数；最后，在要求系统的特征方程应有全部左半平面的根的条件下，设计闭环系统控制器。PID 控制具有原理简单、直观易懂、棒鲁性强、易于工程实现等优点。2）状态反馈控制极点配置法是在动态特性和稳态特性都满足的条件下，将多变量闭环倒立摆系统极点配置在期望的位置上，来设计状态反馈控制器。3）线性二次型最优控制（LQR）LQR 最优控制是通过寻找最佳状态反馈控制规律使期望的性能指标达到最小。可以通过求 Riccatti 方程得到线性二次型性能指标，再利直线单级倒立摆控制器的设计-4-用线性
15、二次型性能指标来设计的控制器称为 LQR 控制器。（2）先进控制流行技术由于经典技术控制需要精确的数学模型作为基础，而我们所研究的二级、三级甚至更高级倒立摆系统都是多输入、多输出的高维复杂系统，其很难建立精确数学模型。70 年代，开始打破控制思想的传统观念，试图面向工业开发出了对各种模型要求低、在线计算方便、控制综合效果好的流行新型算法。1）预测控制预测控制是近年来发展起来的一类新型的计算机控制算法。预测控制的基本特征有：参考轨迹、预测模型、滚动优化和反馈校正。因为它采用多步测试、滚动优化和反馈校正等控制策略、所以控制效果较好。特别适用于控制不易精确建立数学模型并且比较复杂的工业生产控制。这里
16、的模型并不苛求其具体的结构形式、而强调的是预测功能，即具有描述受控对象输入输出变量间非线性映射关系。2）内模控制在工业过程中所用的大多数预测控制算法的实质都属于内模控制。内膜控制是在过程数学模型的基础上实行控制的新型策略。K GG受控器被控对象内部结构Y i m+-+rD eDY+-图 1.1 内模结构控制图如图 1.1 所示由内部模型、控制器和被控对象三部分组成。内膜控制具有设计简单、调整容易的有优点。并且具有跟踪性好、鲁棒性强和消除不可测干扰的影响，因此，在工业过程控制界唯一能与 PID直线单级倒立摆控制器的设计-5-控制相媲美的算法。内模控制在倒立摆控制中已有成功的应用。3）变结构控制切
17、换面的选择和控制的求取构成变结构的两大部分。优异的鲁棒性，对匹配的不确定性和对干扰的完全自适应性是滑模变结构控制的特性。（3）先进控制潜在技术先进控制的潜在技术具有智能控制的效果。它是以控制理论、计算机科学、人工智能、运筹学等学科为基础，扩展了相关的理论和技术。主要应用在倒立摆的潜在技术方法有模糊控制、神经网络控制、拟人智能控制。还有遗传算法、云模型和泛逻辑等。1）模糊控制被控对象、执行机构、过程输入输出通道、检测装置和模糊控制器五部分组成模糊控制系统。在设计模糊控制器时不需要建立被控对象的数学模型，只需要掌握现场操作人才或者有关专家的经验、知识或操作数据。运用模糊集理论进行的模糊计算的模糊控
18、制方法得到的控制规律是定量的、确定性的条件语句。与传统控制方法不同的是模糊控制更接近于人的思维方法和推理习惯，更便于现场操作人员的理解和使用。因为模糊控制系统的鲁棒性强，为此更适用于非线性、时变、大延迟的系统控制。2）拟人智能控制拟人智能控制的核心是“广义归约”和“拟人” 。与传统控制系统不同，拟人智能控制研究的是控制其本身，不是被控对象，所以拟人智能控制系统不需要知道对象精确数学模型。拟人智能控制研究的是定性与定量相结合是数学解析与直觉推理相结合的方法不是纯数学解析方法，具有强烈的实践性，拟人智能控制是模仿人的行为功能等优点。3）遗传算法遗传算法起源于上个世纪七十年代，近二十多年来一直为人们
19、研究的热点。遗传算法的思想是基于达尔文的进化论和蒙德尔的遗传学原理，并且是一种摸你自然选择和遗传机制的寻优程序，尤其适合于复杂问题的求解。直线单级倒立摆控制器的设计-6-1.3.2 倒立摆的自动起摆控制方法倒立摆的自动起摆控制方法最典型的有能量控制、启发式控制、拟人智能控制等。下面介绍一下最常用的自起摆控制。（1） 能量控制在自动起摆过程中，使摆杆从静止下垂的位置达到竖直倒立时的位置。摆杆上的能量不断在变化，当能量到达理想位置 hi 自动切换到稳摆控制的这一整个过程叫能量控制。摆杆的角度和角速度都由能量做为尺度来实现控制的。导轨的长度和小车的速度限制了该方法的有效实现。（2） Bang-Ban
20、g 控制Bang-Bang 控制的基本思想：把控制域的边界值做为控制量的各分量，使该矢量连续的从一个边界值不断的转变到另一个边界值的过程，又被称为开关控制。时间最优控制是 Bang-bang 控制的典型例子，要求其被控变量从原来的设定值转变为下一个设定值的时间最短。由于 Bang-Bang 控制的性能指标实现简单，并且其相关研究也比较早，因此结果也非常成熟。1.3.3 算法的比较先进控制的经典技术把频率特性、传递函数、根轨迹做为基础，建立倒立摆系统的精确数学模型，并在平衡点附近线性化，研究其线性系统。线性本质是 PID 控制器的最大特点，对于那些非线性的、绝对不稳定系统，控制效果不是很理想，出
21、现振荡比较厉害。对于控制单输入单输出单级倒立摆系统能打到理想的效果。极点配置法和 LQR最优控制是描述系统的动态特性。可以把经典技术理论的高阶常微分方程进行降阶，用来解决线性的、定常的和非线性的、时变的多输入多输出系统的问题。对于多变量、非线性、不稳定、强耦合的一级、二级倒立摆系统，很难用精确的数学模型反映实际系统，所以用经典技术控制方法控制倒立摆都不是特别理想。先进控制的流行技术中的内模控制，第一，对建模误差非常敏感，当模型失配严重的时候，有可能出现系统的不稳定，此时控制效果变差。第二，内模控制器中内部模型的逆模型实现很困难，使内模控制直线单级倒立摆控制器的设计-7-的应用出现障碍。预测控制
22、在倒立摆上的应用虽然没有要求有精确的数学模型，但预测控制结构很复杂。滑模变结构控制的最大困难是消除振荡问题，还需人们进一步的探索。先进控制的潜在技术部分中的每一种算法各有利弊。模糊控制完成了四级倒立摆系统的仿真和实物实验。但是，在用模糊控制理论解决倒立摆这样多变量系统控制问题时，不可避免会遇到规则爆炸问题，所以，用其他优化算法改进模糊控制的方法在日趋多见。拟人智能控制利用广义归约和人类有关学科知识以及一般控制经验，拟人形成定性控制规律，然而在控制律定量化方面还需要一定量的人工调整，这对于有些对象是不允许的，因此广义归约的方法的实现要求清楚的认识控制中的本源问题和系统的本质。用遗传算法控制倒立摆
23、这样的复杂系统得到很好的控制效果，同时具有很好的优化功能。缺点计算及其复杂。综上所述，倒立摆的控制算法各有其优缺点。1.4 本文研究的内容及安排 倒立摆的控制算法多种多样，无论是稳定控制方法，还是自动起摆控制方法，都有其各自的领域及重点。通过算法的比较，可以看出它们彼此之间的一些优缺点。本文以固高公司的一阶倒立摆系统 GIP-100L 为研究对象，因为是一阶倒立摆系统，所以选取稳定控制方法中的 PID 控制和状态空间极点配置方法为研究方法。在分析倒立摆的基本信息之后，建立理论模型。以此推导出系统状态方程，再利用 MATLAB 仿真验证其稳定性。然后开始 PID 控制器及状态空间极点配置控制器的
24、设计。最后在完成了两种设计之后，就两种设计方法进行讨论。这些都在后文中将提出。直线单级倒立摆控制器的设计-8-2 理论模型的建立及分析2.1 直线一级倒立摆数学模型的推导本次设计的被控对象，采用固高公司的一阶倒立摆系统 GIP-100L系统内部相关参数为：小车质量 1.096 Kg ； 摆杆质量 0.109 Kg ； 小车摩擦系数Mmb0.1 N/m/sec ； 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25 m ； 摆杆惯量l I0.0034 kg*m*m ； 采样时间 0.005 秒。TPNFb x.Im gMNp图 2.1 倒立摆系统小车和摆杆的受力分析本系统参数定义如下：加在小车上的力；F小车位
25、置；x摆杆与垂直向上方向的夹角；摆杆与垂直向下方向的夹角。方程为： （2-1）uF因此主动控制力可近似线性化地表示为： 直线单级倒立摆控制器的设计-9-（2-2）2sindNmxlt即： （2-3）2coill代入前面式子，就得到系统的第一个运动方程：（2-4）2ssinMxbllF为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆锤子方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：（2-5）2cosdPmglt即： （2-6）2inlml力矩平衡方程：（2-7）sicosPlNlI注意等式前面的负号，由于 ,co,ini（2-8）2 2scosImlglmlx1. 微分方程模型设 ，近似处理： 2cos1,in,
26、()0dt设 ，则：Fu（2-9）2MmxbluIlgx2. 传递函模型对上式拉氏变换处理，设初始条件为 0，则：直线单级倒立摆控制器的设计-10-（2-10）222()()()()MmXsbsmlsUIlgX输出为角度为 ，由第二式得到（2-11）2()()IlXssm或者（2-12）2()slsXIgl如果令 ，则有x（2-13）2()smlVIsl把上式代入 10 式，则有：2 22 2()()()ImlIlggMsbsmlsU（2-14）整理：（2-15）21 2432()mlssqGUbIlMglblsq其中 2qIll从而，有直线单级倒立摆控制器的设计-11-（2-16） 2 22
27、24322432()XsGUmlsImlsgl qbIlMglblsqIllsqbmlglbmls sq3. 状态空间数学模型，可得状态方程XABuYCD2 222222xImlbImlglx uMIMll lIIlI2 2222 2 20100001010x xImlb ImlglMIMmMulbgl lImIlImxy 0xu直线单级倒立摆控制器的设计-12-（2-17 ）由方程（2-9 ）的第二个方程得：（2-18）2+)-=Imlglx（对于质量均匀分布的摆杆有：（2-19）213Il于是可以得到：（2-20）2(l+)-=mglx化简得到：（2-21）34l设 =,Xxux则有： 0
28、101=+3344xxugll （2-22）100=+xxyu将前文中所提的倒立摆参数代入，可以得到摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： 2()0.751s-.6sX摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：直线单级倒立摆控制器的设计-13-2()0.75.1s-.6sV摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： 32().35=+0.8167-9-.3042sUss以外界作用力作为输入的系统状态方程： -.3.2.8167=+0010.2567.852.35x xu =+010xxyu以小车加速度作为输入的系统状态方程： 001=+29.43xxu100=+xxyu2.2 系统可控性分析对于连续时
29、间系统： XABuyCD系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组 B，AB，直线单级倒立摆控制器的设计-14-是线性无关的，或 n*n 维矩阵 的秩为 n。-1nAB n-1.BAB系统的输出可控性的条件为：当且仅当矩阵（2-23） 2-1.nCBCD的秩等于输出向量 y 的维数。应用以上原理对系统进行可控性分析，状态方程为：（2-24）XABu选择控制信号：（2-25）K可解得：（2-26）()(xtABxt前面我们已经得到了直线一级倒立摆的状态空间模型，以小车加速度作为输入的系统状态方程为： 0101=+29.43xxu（2-27）100=+xxyu于是有：010=29.401=301=A
30、BCD （2-28 ）代入式（2-23） ，并在 MATLAB 中计算：直线单级倒立摆控制器的设计-15-图 2.1 求输出向量 y 维数程序图可以得到结果：图 2.2 输出向量 y 维数结果图可以看出，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量 y 的维数，所以系统可控，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。2.3 系统阶跃响应分析上面已经得到系统的状态方程，先对其进行阶跃响应分析，在MATLAB 中键入命令：直线单级倒立摆控制器的设计-16-图 2.3 阶跃响应键入命令图结果如下：图 2-4 阶跃响应仿真图可以看出，在单位阶跃响应
31、作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。所以系统不稳定。直线单级倒立摆控制器的设计-17-3 PID 控制器设计与调节3.1 PID 控制概述在工业自动化设备中，常采用由比例、积分、微分控制策略形成的校正装置作为系统的控制器。 自从计算机进入控制领域以来，用数字计算机代替模拟计算机调节器组成计算机控制系统，不仅可以用软件实现 PID 控制算法，而且可以利用计算机的逻辑功能，使 PID 控制更加灵活。数字 PID 控制在生产过程中是一种最为普遍的控制方法，将偏差的比例、积分、和微分通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称为 PID 控制器。当今的自动控制技术都是基于反馈的概念。反馈理论的要
32、素包括三个部分：测量、比较和执行。测量关心的变量，与期望值相比较，用这个误差纠正调节控制系统的响应。这个理论和应用自动控制的关键是，做出正确的测量和比较后，如何才能更好地纠正系统。PID（比例-积分-微分）控制作为最早实用化的控制器已有 70 多年历史，现在仍然是应用最广泛的工业控制器。PID 控制简单易懂，使用中不需精确的系统模型等先决条件，因而成为应用最为广泛的控制器。PID 控制由比例单元（P ） 、积分单元（I）和微分单元（ D）组成。其输入 e (t)与输出 u (t)的关系为（3-1）0()tpi dettKetK因此它的传递函数为：（3-2）0ipdUsGEs它由于用途广泛、使用
33、灵活，已有系列化产品，使用中只需设定三个参数（Kp， Ki 和 Kd）即可。在很多情况下，并不一定需要全部三个单元，可以取其中的一到两个单元，但比例控制单元是必不可少直线单级倒立摆控制器的设计-18-的。PID 控制之所以广泛使用：首先，PID 应用范围广。虽然很多工业过程是非线性或时变的，但通过简化可以变成基本线性和动态特性不随时间变化的系统，这样PID 就可控制了。其次，PID 参数较易整定。也就是，PID 参数 Kp，Ki 和 Kd 可以根据过程的动态特性及时整定。如果过程的动态特性变化，例如可能由负载的变化引起系统动态特性变化，PID 参数就可重新整定。第三，PID 控制在实践中也不断
34、的得到改进，下面两个改进的例子。在工厂，总是能看到许多回路都处于手动状态，原因是很难让过程在“自动”模式下平稳工作。由于这些不足，采用 PID 的工业控制系统总是受产品质量、安全、产量和能源浪费等问题的困扰。PID 参数自整定就是为了处理 PID 参数整定这个问题而产生的。现在，自动整定或自身整定的 PID 控制已是商业单回路控制器和分散控制系统的一个标准。在一些情况下针对特定的系统设计的 PID 控制控制得很好，但它们仍存在一些问题需要解决：如果自整定要以模型为基础，为了 PID 参数的重新整定在线寻找和保持好过程模型是较难的。闭环工作时，要求在过程中插入一个测试信号。这个方法会引起扰动，所
35、以基于模型的 PID 参数自整定在工业应用不是太好。如果自整定是基于控制律的，经常难以把由负载干扰引起的影响和过程动态特性变化引起的影响区分开来，因此受到干扰的影响控制器会产生超调，产生一个不必要的自适应转换。另外，由于基于控制律的系统没有成熟的稳定线性分方法，参数整定可靠与否存在很多问题。因此，许多自身整定参数的 PID 控制经常工作在自动整定模式而不是连续的自身整定模式。自动整定通常是指根据开环状态确定的简单过程模型自动计算 PID 参数。但仍不可否认 PID 也有其固有的缺点：PID 在控制非线性、时变、耦合及参数和结构不确定的复杂过程直线单级倒立摆控制器的设计-19-时，工作地不是太好
36、。最重要的是，如果 PID 控制器不能控制复杂过程，无论怎么调参数都没用。虽然有这些缺点，PID 控制是最简单的有时却是最好的控制方法。3.2 PID 控制规律PID 控制就是对偏差信号 进行比例、积分、微分运算后，形成(t)e的一种控制规律。比例微分积分被控系统r i n k+-+Y o u t ( k )图3.1 模拟PID 控制系统原理框图在模拟控制系统中，控制器最常用的控制规律是 PID 控制。模拟PID 控制系统原理框图如图 3-1 所示。系统由模拟 PID 控制器和被控对象组成。PID 控制器是一种线性控制器，它根据给定值 rin(t)与实际输出值yout(t)构成控制偏差 etr
37、ytPID 的控制规律为：（3-3）0()1()()()tDpITdtutket也可以写成传递函数的形式：（3-4）()1)pDIUsGkTsE直线单级倒立摆控制器的设计-20-其中， 比例系数， 积分时间常数； 微分时间常数。pkITDT简单的说来，PID 控制器各校正环节的作用如下：1）比例环节：成比例的反映控制系统的偏差信号 e(t)，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。2）积分环节：主要用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分时间常数 ， 越大，积分作用越弱，反之越强。ITI3）微分环节：反映偏差信号的变化趋势（变化速率） ，并能在偏差信号变的太大之前，在
38、系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减少调节时间。3.3 PID 控制在倒立摆中的分析PID 控制是按偏差 e 的比例（P-Proportional） 、积分（I-Integral ）和微分（D-Derivative）线形组合进行控制的控制方法。所以 PID 结构简单。由于 PID 控制器具有简单的控制结构，在实际应用中又比较易于整定，所以它在工业过程控制中有着很广泛的应用。下面通过实验来说明 PID 控制在倒立摆系统中的应用。这个控制问题和我们以前遇到的标准控制问题有些不同，在这里输出量为摆杆的位置，它的初始位置为垂直向上，我们给系统施加一个扰动，观察摆杆的响应。系统框
39、图如下：图 3.2 考虑摆角和输入信号的系统框图图中 )(sKD是控制器传递函数， )(sG是被控对象传递函数。考虑到输入 0r，结构图可以很容易的变换成：直线单级倒立摆控制器的设计-21-图 3.3 考虑摆角但不考虑输入信号的系统框图该系统的输出为：)()()( )(1)()(1)( sFnumPIDdenPIusdenIusGKsy（3-5）其中：num被控对象传递函数的分子项de被控对象传递函数的分母项PIDPID 控制器传递函数的分子项PID 控制器传递函数的分母项被控对象的传递函数是：（3-6）21 2432() 1mlss numqGUdebIlMglblsq 其中： )()(22
40、mllIq（3-7）PID 控制器的传递环数为： denPIDusKsKsKDIPDIP2)(（3-8）直线单级倒立摆控制器的设计-22-只需调节 PID 控制器的参数，就可以得到满意的控制效果。前面讨论的输出量只考虑了摆杆角度，那么，在我们施加扰动的过程中，小车位置如何变化？考虑小车位置，得到改进的系统框图如下：图 3.4 同时考虑摆角和小车位置且考虑输入信号的系统框图其中， )(1sG是摆杆传递函数， )(2sG是小车传递函数。由于输入信号 0r，所以可以把结构图转换成：图 3-5 同时考虑摆角和小车位置但不考虑输入信号的系统框图其中，反馈环代表我们前面设计的摆杆的控制器。注：从此框图我们
41、可以看出此处只对摆杆角度进行了控制，并没有对小车位置进行控制。小车位置输出为：直线单级倒立摆控制器的设计-23-)()()( )()(1)()(1)( 2121 1212 sFdenumnPIDdedenPIDeumsIdnusFGsKsX（3-9）其中， 1， ， ， 2分别代表被控对象 1 和被控对象2 传递函数的分子和分母。 和 代表 PID 控制器传递函数的分子和分母。下面我们来求 )(sG，根据第二章的推导，有：)()(2sgmlIsX（3-10）可以推出小车位置的传递函数为 qbmglslMsqlIbsUsG)()()(2322（3-11）其中： )()(22lmlI可以看出， ，
42、小车的算式可以简化成：12=den )()()() 12 sFnuPIDkdenPIDusX（3-12）3.4 PID 控制仿真PID 控制仿真，我们可以从两个方面进行讨论，即摆杆角度讨论和小车位置讨论。3.4.1 摆杆角度讨论假设，我们施加 0.1N 的脉冲信号，观察指标。脉冲信号仿真源程直线单级倒立摆控制器的设计-24-序为：M = 1.096;m = 0.109;b = 0.1;I = 0.0034;g = 9.8;l = 0.25;q = (M+m)*(I+m*l2)-(m*l)2; num1 = m*l/q 0 0;den1 = 1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l
43、/q -b*m*g*l/q 0;Kp = 1;Ki = 1; Kd = 1;numPID = Kd Kp Ki;denPID = 1 0;num = conv(num1,denPID);den = polyadd(conv(denPID,den1),conv(numPID,num1 );r,p,k = residue(num,den);s = p t=0:0.005:5;impulse(num,den,t)axis(0 2 0 50)grid仿真结果为：a、Kp = 1;Ki = 1; Kd = 1;时直线单级倒立摆控制器的设计-25-0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1
44、.6 1.8 205101520253035404550 Impulse ResponseTime (sec)Amplitude图 3.6 未调整 PID 参数系统响应图由图可知系统响应是不稳定的，需要调整参数 Kp，Kd 和 Ki，直到获得满意的控制结果。首先增加比例系数 Kp，观察它对响应的影响，取 Kp=100，Kd=1.系统响应如下：b、Kp = 100;Ki = 1; Kd = 1;时0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-0.15-0.1-0.500.50.10.150.2 Impulse ResponseTime (sec)Amplitude图 3.7
45、 参数 Kp = 100;Ki = 1; Kd = 1 时系统响应图系统稳定时间约为 2 秒。由于此时稳态误差为 0，所以不需要改变积分环节（可以改变积分系数，观察系统响应会变坏） ；系统响应的超调量比较大，为了减小超调，增加微分系数 Kd，取 Kd=20，观察响应曲线：直线单级倒立摆控制器的设计-26-c、Kp = 100;Ki = 1; Kd = 20;时0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 500.10.20.30.40.50.6 Impulse ResponseTime (sec)Amplitude图 3.8 参数 Kp = 100;Ki = 1; Kd = 20 时系统响应图由图可知，系统稳定时间约为 1 秒，稳态误差为 0，超调量为5。如果再加积分，则结果会变。d、Kp = 100;Ki = 20; Kd = 20;时，0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.50.6 Impulse ResponseTime (sec)Amplitude图 3.9 参数 Kp = 100;Ki = 20; Kd = 20 时系统响应图相对 c 图来讲，这次结果明显变坏。但是作出调整：Kp = 45;Ki = 15; Kd = 10，则结果为：
