1、 1 4.3 线性 算 子的 正 则集 与 谱 4.3.1 特 征值与 特征向量 有限维 线性 空间 上线 性变 换的特 征值 与特 征向 量的 概念是 大家 了解 的 。 在 微分 方程和 积 分方程 中也 有特 征值 与特 征向量 的概 念。 现在 把它 拓广到 一般 的线 性空 间上 来。 就 有限 维空 间看， 线性 变换 的特 征值 一般是 复的 ，因 此算 子谱 论一般 总是 在复 空间 上进 行讨论 。 例如伏 特拉 (Volterra) 型 积分方 程 ： ( ) ( ) ( , ) ( )d x a x f x K x y y y ， (4.3.1) 其中 是一个 常数 。
2、考 察 , C a b 到 , C a b 的映射A ：对 , C a b ， A ： ( ) ( , ) ( )d x a A x K x y y y . (4.3.2) 对比(4.3.2) ， 考察 一般 的算 子方程 () I A x y . (4.3.3) 显然(4.3.3) 式 的解 是否 存在 及唯一 ，都 与 的值有 关： (1) 对 的某些 值， 算子 方 程(4.3.3) 可能 存在 唯一 解； (2) 对 的某些 值， 算子 方 程(4.3.3) 可能 存在 解， 但不 唯一； (3) 对 的某些 值， 算子 方 程(4.3.3) 可能 不存 在解 。 定义 4.3.1 设
3、 X 是 线性 空间， 是 一个数 ， : A X X 是线性 算子。 若 X 中的非 零向量 () xA D ，使得 Ax x , (4.3.4) 则称 是A 的 特征值 （ 或 本征值）， 而称x 为A （ 相应于 特征 值 ）的 特征向量 （ 或 本征向 量）。 设 E 为算 子A 的 （相 应于 特征 值 的） 特征 向量 全体 ， 在 加入零 向量 ， 称 E 为算 子A 的（相 应于 特征 值 的） 特征向量空间。 称 E 的维 数dim E 为特征 值 的 重复度， 也 就是 方程(4.3.4) 的 最 大线性 无关 组中 向量 的个数 。 注 显然 ，相 应于 非零 特 征值的
4、 特征 向量 在算 子A 的值域 () A R 中。 2 E 是 方程(4.3.1) 的 所有 解的全 体， 容易 看出 ：E 是 X 的 线性 子空 间。 若 X 是 赋范 线 性空间 ，A 是连续 算子 ，则E 是闭子 空间 。 例 如 ， 线 性 空间 X 上 相 似 算子 I 的 特 征 值 只有 ， 而 且 全空 间 X 就 是 特 征向 量 空 间 E . 由上述 各例 可见 ， 算 子的 特征值 及特 征向 量概 念概 括了线 性代 数 、 微分 方程 、 积 分方 程 的特征 值及 特征 向量 的概 念。 不 仅许 多经 典的 数学 物理问 题 （ 如微 分方 程、 积分方 程
5、、 变分 方程问 题） 可以 归结 为求 特征值 及特 征向 量的 问题 。 在量 子物 理学 中 许 多重 要问题 也是 要求 出特征 值及 特征 向量 的问 题。 在数学物理（ 例如微分 方 程）问题中， 除去求解 形 如 ( ) 0 I A x 的齐次方程 外，还 经常遇 到非 齐次 方程() I A x f ， 其 中A 是给 定的 算子 ，f 是已 知 向量 ，x 是未知 向量。 为了研 究这 种方 程的 求解 问题， 需要 引进 算子A 的正 则点和 谱点 的概 念。 4.3.2 算 子的正 则点和谱点 定义 4.3.2 设 X 是复 的赋 范 线性空 间 ，A 是 X 的线 性子
6、 空 间 () A D 到 X 的线性 算子 ， 是 一复数 。 若 IA 是 正 则 算 子 ， 则称 是 A 的 正则点 ， 或 正则值(regular value ) ； 并称 1 ( ) ( ) R A I A 是A 的 豫解算子(resolvent operator ) ，或 豫解式. 复平面 上正 则点 的 全 体称 为A 的 正则集 （或 豫解集(resolvent set)）， 记为 () B ； 不是正 则点 的复 数 称为A 的 谱点(spectral point 或 spectral value) 。 谱点全 体称 为B 的 谱集(spectral set) ，或 谱(s
7、pectrum) ，记为 () A . 显然 ( ) ( ) AA 就是整 个复 平面 。 从方程的可解性来分 类， 谱 一般可分为三类： (1) 是A 的特征 值。 这时算子IA 就是不可 逆的，因此特征值是谱点 。算子的特征值全体称为算子的 点 谱 ，记作 () p A . (2) 不是A 的特 征值 ， 然 而算 子的值 域() I A X R . 也就是 说： 1 () IA 虽然 存在 ，但 1 ( ) ) I A X D . 3 即：虽然齐次方程 ( ) 0 I A x 没有非零解，但非齐次方程() I A x f 不是对每 个右端 项fX 都存在 解 。 (3) 算子 1 ()
8、IA 在全 空间 有定 义， 但不是 有界 的. 即 ： 虽然 对每 个fX ， 方 程() I A x f 有唯一的 解x ，但 x 不连 续地 依 赖于右 端 项 f . 不是特 征值 的谱 点全 体称 为算子 的 连续谱 ，记 作 () c A . 注意： 有的 书将 满足 ：IA 是一对一 的， 并且() IA R 在 X 中稠密 的 称为 连续 谱。 例 4.3.1 在n 维空 间 n C 中考察 由下三 角矩 阵 11 21 22 12 00 0 n n nn a aa A a a a 定义的 算子A ： 对 12 ( , , , ) n n x C ， : x= y Ax= y
9、A . (4.3.5) 显然 n y C ，若记 12 ( , , , ) n y ，则(4.3.5) 为 ( 1,2, , ). n k ik i ik a k n (4.3.6) 由线性 代数 知： 矩阵A 主对 角线上 的元 素 11 22 , , , nn a a a 是算子A 的特 征值。 而当 ( 1,2, , ) kk a k n 时， 就是算 子A 的正则 值。 例 4.3.2 设 复空 间 , , X C a b A 为 V olterra 积分算 子 ( )( ) ( )d , , t a Ax t x s s x C a b . (4.3.7) 对 0 ，于 是方 程 (
10、 ) ( ) ( ) I A x t y t 即 ( ) ( )d ( ), , t a xt x s s y t x Cab (4.3.8) 等价于 方程 4 11 ( ) ( ) ( )d , , . t a x t y t x s s x C a b (4.3.9) 因为 对 , y C a b ，方 程(4.3.9) 存 在唯 一解。 由逆 算子 定理 知：IA 存在有 界逆 算子 ， 故任何 复数 0 都是A 的正 则点 ；故 ( ) 0 A C . 现设 0 ，因为 从方 程 ( )( ) ( )d , , t a Ax t x s s x C a b (4.3.10) 容易看 出
11、：A 的值 域是 1 ( ) ( ) , , ( ) 0 x t x t C a b x a ，且 是 , X C a b 的真 子空 间。 若 ( )( ) ( )d 0 t a Ax t x s s ，则 由 () xt 的连续 性知 ：在 , ab 上， ( ) 0 xt . 所以 0 不是A 的特征 值。 又因为 1 d (0 ) d IA t 存在 ， 但0IA 的值 域 (0 ) IA R 是所 有形如 0 ( )d t x t t 的函 数 全体 （ 可微 函数 ） ， 不 是全空 间 , X C a b ，即 (0 ) I A X R ； 因此 0 是 算子A 的 属于情形(2
12、) 的 连续 谱，且 ( ) 0 A . 例 4.3.3 设 复连 续函 数空 间 0,1, CA 是乘 法算 子 ( )( ) ( ), 0,1 Ax t tx t x C . (4.3.7) 设 0,1 ，令 () ( )( ) xt B x t t . 不难验 证：B 是定 义在 0,1 C 上， 值域 0,1 C 的有界 线性 算子 ，且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B I A x t x t I A B x t 对一切 0,1 xC 都成 立， 故 1 () B I A ；因此 是A 的正 则值 。 现设 0,1, 由 ( ) ( ) ( ) ( ), 0,1 I A x
13、 t t x t x C 可知， 当t 时，( ) ( ) 0 t x t ； 因此 ( ) ( ) t x t 的全 体 组成的 集合 在 0,1 C 中不稠 密， 其中 0,1 xC 是任意 的。 其次， 不难 证明 ： 不可能 是A 的特 征值 。 5 In fact, 若有 0 0,1 xC ，使 00 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I A x t t x t ，则当t 时， 0 ( ) 0 xt . 由 0 () xt 的 连 续 性 可 知 ： 0 ( ) 0 x ， 因 此 对 一 切 0,1, t 0 ( ) 0 xt . 这 说 明 方 程 ( ) ( ) 0 I A
14、x t 没有非 零解 。 综上所 述， 属于A 的连 续谱 ，且 ( ) 0,1 c A . 例 4.3.4 0 l 表示 1 l 中 只 有 前 有 限 个 坐 标 不 为 零 的 元 素 全 体 ， 0 l 上 的 范 数 1 i i xx . 取 10 ( , , ,0, 0, ) n x x x l 时，在 0 l 上定 义算 子 2 1 2 1 ( , , , , 0, 0, ) , , , , 0, 0, 2 n n x x A x x x x n . 显然B 是 0 l 到 0 l 上的一 对一 的有 界线性 算子 ，即 0 不是A 的特 征值。 易知 ： 1 1 2 1 2 (
15、 , , , , 0, 0, ) ( ,2 , , , 0, 0, ) nn A x x x x x nx . 显然 1 A 是定义 在整 个 0 l 上，但 在 0 l 上是 无界 的算 子。 注 1 例 4.3.4 中 0 不是 算子A 的特征 值 。 显然 1 (0 ) IA 在 整个 0 l 上有定义 ，但在 0 l 上是无界 的算子 ； 因此 0 是算子A 属于(3) 的谱 。 注 2 若 X 是 Banach 空间，B 是 X 到 X 上的 有界 线性 算子 ，而且B 是可 逆算 子时 ，根 据 逆算子 定理 ，这 时 1 B 是有界 线性算 子。 故当 X 是 Banach 空间
16、时 ，情 况(3) 是 不会 出 现的。 引理 4.3.1 设A 是复 的赋 范 线性空 间 X 上的有 界线 性算 子 。 (1) 是 A 的正则点 方程() I A g f 对任何fX 都 有 解 ， 且 存 在 常 数 0 m ，使得 g m f . (2) 不是A 的特 征值 IA 是 X 到() I A X 上 的一一 对应 （即IA 是可 逆 算子） ； 设 不是A 的特 征值 ，若 X 是有 限维空 间， 则 是A 的正 则点 。 注 1 引理 1 的(1) 说明 ： 对于A 的正则 点， 方程() I A g f 对任 何右端 项 f 有唯一 的 6 解g ， 而且g 是连 续
17、地 依赖 于 右端项 f ， 即： 若 n f 是一列 向量 ， 且 n ff ， 则 相应 于 n f 的解 n g ，也有 n gg ，其 中g 是相应 于 f 的解 。 注 2 引理 1 的(2) 说 明： 在有限 维空 间中 ，情 况属 于(2) 、(3) 的 谱不 出现 。 在无限 维空 间中 ，情 况属 于(2) 、(3)的谱 会 出现 。 下面的 例 4.3.2, 例 4.3.3 ， 例 4.3.4 中 算子 的 谱 是分别在无限 维空 间中 ，属 于情况(2) ， (3) 的谱 。 4.3.3 正则 集与谱 的性质 定理 4.3.1 设 X 是复 Banach 空间 ， ()
18、AX B . (1) 若 是A 的特征值，则A 对于 的 全 部 特征 向 量以 及 零元 素 组 成 X 的 一 个 闭子 空间， 并称 之为 特征向量 空间 。 (2) 设 ( 1,2, , ) k kn 是A 的n 个不同 的 特征 值； k x 是A 对应 于 k 的任一 特征 向 量，则 12 , , , n x x x 线性 无关 。 定理 4.3.2 设 X 是复 Banach 空间 ， () AX B ， 是复 数. 则当 A 时， 是A 的正 则值，且 1 1 0 () n n n A IA ， (4.3.11) (4.3.11) 的右 端级 数按 算子 范数收 敛； 且 1
19、 1 () IA A . (4.3.12) 定理 4.3.3 设 X 是复 Banach 空间 ，下 列结 论成 立： (1) () X B 中可 逆算 子全 体是 () X B 中的 开集。 (2) 对任意 () AX B ，A 的正则集 () A 是复 平面上 的开集 ；A 的谱 () A 是复平面 上的有 界闭 集。 定理 4.3.4 设 X 是 复 Banach 空间 ，若 X 含有 非零 元素 ，则对 任意 () AX B ， A 的谱 () A 非空。 7 4.3.4 谱 半径 定义 4.3.3 设 X 是复 Banach 空间 ， () AX B . 称 () max A A r
20、 (4.3.13) 为算子A 的 谱半径 。 定理 4.3.5 设 X 是复 Banach 空间 ， () AX B ，则算 子A 的谱半 径满足 1 lim n n n A T r . (4.3.14) 注 在 这一 节， 我们 介绍 了有界 线性 算子 的正 则集 、谱及 谱半 径的 概念 。 对于谱 ，则 有点 谱与 连续 谱之分 。此 外， (1) 有界 线性 算子A 的正 则 集 () A 是复 平面 上的 开集 ； A 的谱 () A 是复平 面上 的有 界闭 集；且 当 0 X 时， () A 非空。 (2) () X B 中可 逆算 子全 体是 () X B 中 的开集 。 (3) 有 界线 性算 子A 的 豫 解算 子 1 ( ) ( ) R A I A 与A 有 密切 关 系， 它是研 究 算子 A 的特性 的一 个有 力工 具。 (4) 有界 线性 算子A 的谱 半 径是第 二个 与A 有密切 关系 的重要 的量 ， 它 与A 的乘幂 的 范数通 过下 式联 系起 来： 1 lim n n n A T r .
