机械优化设计基础.doc

1、第八章 典型机构优化设计8.1 机械优化设计的基本问题随着生产技术的不断发展，对工程机械的要求也越来越高。工程设计人员总希望能获得价廉物美的产品。优化设计方法就是借助电子计算机来达到这个目的的。优化计算是应用数学的一个重要分支，广泛地用于各个技术领域内。在机械优化设计中，其关键是选择并决定设计对象的各项参数。例如，设计一台单色轮转胶印机，必须合理地选择各种机构的运行速度，金属结构件的几何尺寸，以及其他一些必要的参数，使其具有较好的性能与较低的制造成本。在选取各项基本参数时，往往各参数与性能之间发生矛盾：有时为为了保证某个零件的必要强度和稳定性，希望它的截面积不能小于某一个极限值；但从降低制造成

2、本的观点来看，又希望截面积的几何尺寸小些，以便节约材料，于是和强度及稳定性要求发生了矛盾。优化方法的任务就是在分析的基础上综合各方面的因素，求出一个合理的方案，以期获得最佳或较好的效果。如图 8-1(a)所示的钢坯飞剪机的剪切机构。剪刃安装在连杆 2 上的 点处。对于飞剪机的剪切机构m来说，不仅要求两个剪刃能作上下运动以便切断轧件，而且在剪切过程中还要求能随同轧件向前同步运动。因此，对该机构的设计是合理确定机构参数值 和 ，使得设计的机构达到：12345,ll(1) 两剪刃的运动轨迹曲线 和 满足给定的封闭曲线，从而保证两剪刃具有一定的开口度和重叠m度，并在剪切完了以后能返回初始位置。(2)

3、两剪刃在剪切过程中始终保持垂直于轧件表面，并平行地向前运动，如图 8-1(b)图所示。这样不仅可以使轧件断口整齐，而且还可以保证两剪刀之间保持均匀的侧隙，以便减小剪切阻力；(3) 在剪切过程中，剪刃的水平分速度与轧件运行速度尽可能相等并保持不变，以避免轧件出现堆钢和拉钢现象。图 8-1 飞剪机的剪切机构(a) 剪切机构简图；(b) 剪切过程的剪刃位置图此外，还需要满足如下一些条件才能获得可接受的方案：(1) 应满足四杆机构曲柄的存在条件，即曲柄 为最短杆，它与任一杆的和小于其余二杆的和；1l(2) 为了保证机构具有良好的传力性能，要求其传动角 不应小于允许值 ；2 书名(3) 应满足给定的重叠

4、度 要求；综上所述，该飞剪机剪切机构的优化设计可以叙述为合理选择 7 个设计参数，在满足若干个限制条件下，使 3 个准则函数同时达到最小。又如，某印刷车间具有四台印刷机，每台可以印刷 3 种类型的印品，各型印品每小时的利润及印刷不同印品的生产率示于表 8.1；建设某月客户对 1、2、3 种印品的需求量分别为 700、500、400 千印；四台印刷机在该月可提供的工作时间分别为 90、75、90、80 小时，如何安排生产可使得该月的获利最大？表 8.1 各 印 刷 机 单 位 生 产 率 及 利 润 情 况印品利润情况 (元/千印) 印品生产率情况 (千印/小时)印刷机序号 印刷机序号零件种类I

5、 II III IV I II III IV1 5 6 4 3 8 2 4 92 5 4 5 4 7 6 6 33 6 7 2 8 4 8 5 2显然，为了获得该月生产的最大利润，需要合理确定该月中每台印刷机各类型印品的数量。设 表ijx示第 台印刷机印刷第 种印品的数量( 千印)。则该月的获利总额为ji12134212343123455678Wxxxxxx且要满足以下限制条件：(1) 数量需求限制 1213423705xx(2) 生产时间限制 311213234490874569089xx(3) 非负条件 0(1,23,4)ij ij由此可知，该生产调度的优化设计可以叙述为合理选择 12 个

6、参数，在满足 19 个限制条件下，使得该月的利润函数值最大。由以上两个实例可见，一个优化设计问题应包括：(1) 有描述设计方案的一组设计变量；(2) 有一个或几个目标函数(或准则函数)，且是设计变量的标量函数；(3) 明确一组表示可接受设计方案的约束条件，且也是全部或几个设计变量的标量函数；(4) 能求出一组设计变量的值，在满足全部约束条件下，使目标函数达到最小(或最大值)。优化设计是一种格式化的设计方法。对于各式各样的设计问题，都必须先将它按照规定的格式要求建立优化计算的数学模型，然后再在计算机上用优化计算方法解出它的最优值。下面先介绍优化设计的基本术语及其优化建模的基本概念。章名 38.1

7、.1 设计变量及目标函数设计变量在机械设计中，区别不同的设计方案，通常是以一组取值不同的参数来表示。这些参数可以是表示构件形状、大小、位置等的几何量，也可以是表示构件质量、速度、加速度、力、力矩等的物理量。在构成一项设计方案的全部参数中，可能有一部分参数根据实际情况预先确定了数值，它们在优化设计过程中始终保持不变，这样的参数称为给定参数(或叫预定参数 )或设计常数。另一部分参数则是需要优选的参数，它们的数值在优化设计过程中则是需要优选的参数，它们的数值在优化计算过程中是变化的，这类参数称为设计变量，它相当于数学上的独立自变量。如在飞剪机剪切机构的设计中，其构件参数 、1l、 、 、 、 、 是

8、设计变量，而需用传动角 则是设计常数。同理，在生产调度问题中，该月2l34l5中每台印刷机生产各类型印品的数量 为设计变量。(1,23,4)ijxj一个优化问题如果有 个设计变量，而每个设计变量用 表示，则可以把 个设计变n(1,2)ixn n量按一定的次序排列起来组成一个列阵或行阵的转置，即写成* MERGEFORMAT (8-1)122,Tnnxx我们把 定义为 维欧式空间的一个列向量，设计变量 为向量 的 个分量。以设计变量xn12,n为坐标轴展成的空间称为 维欧式空间，用 表示。该空间包含了该项设计所有可能的设12, R计方案，且每一个设计方案就对应着设计空间上的一个设计向量或者说一个

9、设计点 。例如， ，即x2n只有两个设计变量，由 和 为坐标轴所构成的二维平面(假设只取正值) ，如图 8-2(a)所示，由原点 出1x2 O发向 点作一个向量，它即代表了该设计空间中的第 个设计方案。这个方案可以由给定的 和()kx k ()1k值来确定，因此第 个设计方案可以表示成2Kk()()()1122,kkkTxx图 8-2 设计空间(a) 二维平面；(b) 三维空间由上述可知，一个设计方案可以看成设计空间内的一个点，这一点即为设计向量的端点，可以表示为 ，其中下标表示设计变量的分量号；上标表示设计点的记号。()12,kx当 时，即由三个设计变量 组成的一个三维空间(仍假设只取正值)

10、 ，如图 8-2(b)所示，3n123,x其任意一个设计方案可以表示为4 书名 ()1()()()1232()3,kkkkTkxx以此类推，设计变量越多，其设计空间的维数就越高，能够组成的设计方案的数量也就越多，因而设计的自由度也就越大，而相应的设计问题的复杂程度也越高。一般来说，优化设计过程的计算量是随设计变量数目的增多而增加的。因此，对于个优化设计问题来说，应该恰当地确定设计变量的数目。并且原则上讲，应尽量减少设计变量的数目，即尽可能把那些对设计指标影响不大的参数取作给定参数，只保留那些比较活跃的对设计指标影响显著的参数作为设计变量，这样可以使优化设计的数学模型得到简化。目标函数优化设计是

11、在多种因素下欲寻求使设计者员满意、且适宜的一组参数。“最满意”、“最适宜”是针对某具体的设计问题，人们所追求的某一特定目标而言。在机械设计中，人们总希望所设计的产品具有最好的使用性能、体积小、结构紧凑、重量最轻和最少的制造成本以及最多的经济效益，即有关性能指标和经济指标方面最好。在优化设计中，一般将所追求的目标(最优指标) 用设计变量的函数形式表达，称该函数为优化设计的目标函数。目标函数的值是评价设计方案优劣程度的标准，也可称为准则函数。建立这个函数的过程称为建立目标函数。一般的表达式为* MERGEFORMAT (8-2)12(),)nFx它代表着某项重要的特征，例如机器的某种性能、体积、质

12、量、成本、误差、效率等等。目标函数是设计变量的标量函数。优化设计的过程就是通过优选设计变量使目标函数达到最优值，最优值的数学表征为最小值 或最大值 。按一般的规范做法，把优化问题归结为求目min()xa()标函数值的最小值居多。在求解过程中，目标函数值越小，设计方案越优。对于某些追求目标函数最大值的问题，例如前述求月生产利润最大的问题或谋求设计的效率最高、寿命最长等等，可转化为求目标函数负值的最小值问题，即* MERGEFORMAT (8-3)a()min()Fx因此，本章在后面的叙述中，一律把优化问题规范为求目标函数的最小值，表达式见式* MERGEFORMAT (8-2)。在优化设计中，仅

13、根据一项准则建立的一个目标函数，称为单目标函数。如前面举例中的生产调度问题中，为了实现单月生产利润最大化而建立的目标函数即属于单目标优化设计问题。若在设计中需要同时兼顾多个设计准则，则需要建立多个目标函数，这种问题即为多目标优化问题。例如，前面介绍的飞剪机的剪切机构设计中，需要合理确定设计变量 、 、 、 、 、 、 的1l23l45l值，并使其满足三个设计准则：(1) 两剪刃的运动轨迹曲线 和 满足给定的封闭曲线，从而保证两剪刃具有一定的开口度和重叠m度 ，以保证剪断钢板。据此可以建立第一个目标函数11()kiiiFMx式中 是机构的设计变量， 与 分别是刀刃尖端的预期轨迹和连杆刀刃尖端所能

14、实12,nxx现的实际轨迹表达式， 为计算区域内的分点数。k(2) 两剪刃在剪切过程中始终保持垂直于轧件表面，并平行地向前运动，如图 8-1(b)图所示。这样不仅可以使轧件断口整齐，而且还可以保证两剪刀之间保持均匀的侧隙，以便减小剪切阻力获得好的剪切质量。据此，按位置误差准则可以建立第二个目标函数章名 5221()/)kiiFx式中， 是机构所能实现的剪刀刀刃与水平线之间的夹角。i(3) 在剪切过程中，剪刃的水平分速度 与轧件运行速度 尽可能相等并保持不变，以避免轧件出现xvv堆钢和拉钢现象。据此，可以按水平分速度误差准则建立第三个目标函数 231()kxiiF显然，这是一个比较复杂的机构设计

15、问题，用优化设计方法可以综合考虑运动学方面的几种要求，是一个多目标函数的优化问题。目标函数通常有两种表现形式：显式和隐式。显示目标函数是根据设计理论或公式、科学定理的关系导出的代数方程，或是根据实验数据采用曲线拟合方法所得的曲线方程；隐式目标函数是利用有限元方法、人工神经网络方法或仿真模拟方法的程序设计计算的结果，它没有明确的函数式，但可以给出函数值。由于目标函数是设计变量的函数，故给定一组设计变量值就对应的有一个函数值。这样，在设计空间的每一个设计点，都有一个函数值与之相对应。具有相同函数值的点集在设计空间内形成一个曲面或曲线，我们称它为目标函数的等值面或等值线。在具有 个设计变量的目标函数

16、中，相同的目标函数值n的点集在 维设计空间是个等值超曲面。对于两个设计变量的二元目标函数则是一条等值线，平面曲线n或直线。在解决优化设计问题时，正确选择目标函数是非常重要的，它不仅直接影响优化设计的结果，而且对整个优化计算的繁简难易也会有一定的影响。8.1.2 设计约束和可行域从前面所举的示例表明，优化设计不仅要使所选择方案的设计指标达到最佳值，同时还必须满足一些附加的设计条件，这些附加的设计条件都是对设计变量取值的限制，在优化设计中叫做设计约束或约束条件。它的表现形式有两种，一种是不等式约束，即* MERGEFORMAT (8-4)()0 1,2ugm或 x另一种是等式约束，即* MERGE

17、FORMAT (8-5)(),vhpn式中 和 分别为设计变量的函数； 和 分别表示不等式约束和等式约束的个数，而且等式()ugxvh约束的个数 必须小于设计变量的个数 。因为从理论上讲，存在一个等式约束就得以用它消去一个设pn计变量，这样便可降低优化设计问题的维数。所以，当 时，即可由 个方程组中解得唯一的一组值。这样，方案的选择就成为唯一的或确定的了。12,n图 8-3 二维优化问题的可行域6 书名在解决工程问题时，约束条件是优化设计获得工程可接受设计方案的重要条件。不等式约束及其有关概念，在优化设计中是相当重要的。每一个不等式约束( 如 )都把设计空间划分成两部分，一(0gx部分是满足该

18、不等式约束条件的，即 ，另一部分则不满足，即 。两部分的分界面叫做()0gx(约束面，即由 的点集构成。在二维设计空间中约束面是一条曲线或直线，在三维以上的设计空()0gx间中则是一个曲面或超曲面。一个优化设计问题的所有不等式约束的边界将组成一个复合约束边界，如图 8-3 表示了一个二维问题的情况。其约束边界所包围的区域( 图中阴影线内)是设计空间中满足所有不等式约束条件的部分，在这个区域中所选择的设计变量是允许采用的，我们称这个区域为设计可行域或简称为可行域，记作* MERGEFORMAT (8-6)()01,2ugmxD若某项设计中除了具有 个不等式约束条件外，还应满足 个等式约束条件时，

19、即对设计变量的选mp择又增加了限制。如图 8-3 所示，当有一个等式约束条件 时，其可行设计方案只允许在 域12(,)0hx D内的等式函数曲线的 段上选择。因此，在一般的情形下，优化问题的设计可行域可表示为AB* MERGEFORMAT (8-7)()0 , uvghpn=x与此相反，除去可行域以外的设计空间称为非可行域。据此，在可行域内的任一设计点都代表了一个可接受的设计方案，这样的点叫可行设计点或内点，如图 8-3 所示的 点；在约束边界上的点叫极限(1)x设计点或边界点，如点 ，此时这个边界所代表的约束叫作起作用约束。 点则称为外点，即非可(3)x 2行点，该点为不可接受的设计方案，因

20、为该点违反了约束条件 2，即 。()0g8.1.3 优化设计的数学模型及其分类数学模型的标准格式及分类数学模型是对实际问题的特征或本质的抽象，是反映各主要因素之间内在联系的一种数学形态。优化设计的数学模型在形式上要求规范化，即要求把优化设们问题描述成为一个数学规划问题，通常可归纳为：在满足一定的约束条件下，选取设计变量，使目标函数值达到最小，其数学表达式一般为无约束优化问题数学模型的一般表示式* MERGEFORMAT (8-8)min()FxR约束优化问题数学模型的一般表示式* MERGEFORMAT (8-9)i(): 0, 1,2 ()nuvghpnxD式中 表示由 个不等式约束和 个等

21、式约束所限定的可行域，它是 维欧式空间 的一个子集。Dmp nR在上述数学模型一般表示式中，若目标函数 和约束函数 均为设计变量的线性函数，F()gh、x则成为线性规划问题；否则属于非线性规划问题。机械优化设计问题大多属于非线性规划问题。建立数学模型是最优设计中最关键、最重要的一步，数学模型的质量直接影响设计效果。数学模型的建立是依具体设计问题而异。对于复杂的问题，在建立数学模型时往往会遇到很多困难，甚至比求解过程要复杂得多，因此要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题得到合理简化，以易于建立数学模型。选取适当的优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量 ，*12,Tnx使该

22、设计点 的目标函数值 为最小，点 称为最优点，它代表了一个最优方案。对应的目标函*x(*)Fx*x章名 7数值 称为最优值。一个问题的解包含设计变量和对应函数值两部分，所以最优点和对应的最*()Fx优值代表了最优解，表示为 。(*,)Fx试建立前面例举的生产调度问题的标准优化数学模型。前面已经对该问题进行了充分的分析，并已建立了各变量之间的关系式。据此，取设计变量为 1231423241324121,TTxxx为 12 维线性规划问题。将其写为标准的优化设计数学模型* MERGEFORMAT (8-10)12345678910121259161022min()6678: () 87 Fx xR

23、xgxDD37384124 ()9 50 9 ()i xgx1123425678, , 5iihx39012 ()0 x优化问题的几何描述优化设计的全过程一般可概括为建立优化设计的数学模型；选择适合的优化方法；确定必要的数据和设计初始点；编写计算机的语言程序；通过计算机求解井输出计算结果；最后对结果数据进行必要的分析。在这一过程中，优化设计数学模型的正确建立无疑是最关键的一步工作，是取得合理的优化结果的前提，因此必须使它能全面准确地反映设计问题，同时还要有利于方法的实施。为了有助于确立优化设计的某些概念，增强感性认识，现特有关设计变量、目标函数和约束条件之间的关系以及其最优解作一几何解释。求

24、维约束优化设计问题的解，可以想象在 维设计空间的可行域内，找出一个与 维目标函数nn1n超曲面的最小值相对应的设计点 。由于 维问题难以用平面图形表示，故下面用一个 2 维问题来说明。*x例如，求 2111221342mi()4: 0 () FxgxD的最优点 ，使得 。这是一个约束的二维非线性优化设计问题，如图 8-42*1,Tx(*)inFx所示，a) 为三维立体图，显示了目标函数与约束条件以及在设计空间内目标函数等值线和约束边界线之间的对应关系，b)为二维平面图形，其中用虚线画的一簇同心圆是目标函数的等值线，画阴影线的部分是由所有约束边界围成的可行域。欲寻求的最优设计点应该是在可行域内目

25、标函数值最小的点，由图中显8 书名而易见，该点是约束边界与目标函数等值线的切点，即图中的 点。此点的值为 ，其*x*0.58,13Tx目标函数值为 ，这就是约束最优解。其无约束最优解为 ，实际(*)3.80Fx 122,()F上就是目标函数等值线的中心。图 8-4 二维非线性规划问题的几何描述a) 问题的立体图；b) 设计空间关系图有了这个概念之后，对于一个 维的约束优化设计问题，就可以这样来理解：在 个设计变量所构n n成的设计空间中，由 个不等式约束的超曲面围划出一个可行设计区域 ，当目标函数取一特定数值时，mD就在可行域内构成一系列表示目标函数变化的等值超曲面。最优解就是要在 域中找到一

26、个设计点 ，*x其目标函数为最小值。实际上，对于多数问题来说，这一点多半就是目标函数等值超曲面与约束超曲面的一个切点，对于无约束优化问题，这一点则就是目标函数的极值点。8.2 优化设计的理论与数学基础优化设计问题属于数学规划范畴，不论是线性规划或非线性规划问题，其实质上都是求函数的极小值问题，所以优化设计方法是以函数的极值理论为基础的。鉴于此，本节将简单介绍在优化方法中经常用到普通高等数学和工程数学的有关一些基本概念。其中主要包括函数的梯度、多元函数的泰勒公式、函数的凸性等。8.2.1 函数的梯度与 Hessian 矩阵函数的最速下降方向函数的等值线或等值面仅仅从几何图形方面定性地表示了函数值

27、的变化规律，虽然比较直观但不能定量表示，且在很多时候只能表现二维函数。在一般情况下，对于任意维函数要画出它的超等值面是不可能的。因此，前面介绍的等值线(或面) 只是为了使我们对设计空间内函数值的分布情况加深理解。为了能够定量地表明函数在某一藏的变化性态，需要引出函数的梯度这一慨念。从多元函数的微分学得知，对于一个连续可微函数 在某一点 的一阶偏导数为()fx()k* MERGEFORMAT (8-11)()()()12,kknffx它表示函数 值在 点沿各坐标轴方向的变化率。现在有一个二维函数，如图 8-5 所示，假定有一()fx()k章名 9方向 ，且其模长 与各坐标轴之间的夹角为 ，该函数

28、在 点沿 方向的s21/21()xs 12,(0)xs方向导数为* MERGEFORMAT (8-12)12(0)(0)(0)(0) 12()()()21210()0(0)2122,lim,) li, xfxfxff fxfxfx s() ()121 coscosffx对于 维函数，可以仿此推导函数 在 点沿 方向的方向导数为n(0)* MERGEFORMAT (8-13)()()1sniiiffxs式中， 称为 方向的方向余弦。上述方向导数表明了函数 在 点沿 方向的变化率。cosiixs ()fx(0)s图 8-5 函数的方向导数定义列向量* MERGEFORMAT (8-14)(0)(0

29、)(0)(0)12,Tnffffxx为函数 在 点的梯度，简记为 ，有时也记作 。()fx(0) f ()grad设 用单位向量表示为 ，这样可将函数沿 方向的方向导数表示为s12cos,cosTn s* MERGEFORMAT (8-15),Tfff式中， 和 分别表示梯度向量和 向量的模，其值为fss* MERGEFORMAT (8-16)1/21()niiffx10 书名和 ， 表示向量 和 之间的夹角。1/21cosniis,fsfs显然由* MERGEFORMAT (8-15)式可以看出，当 方向与梯度向量的方向一致时，其方向导数为最大值，也就是说，目标函数的梯度是函数值增长最快的方

30、向，且函数值最大的增长率就等于 。f函数是梯度 在优化设计中具有重要的作用，它具有如下几个性质：f(1) 梯度是在设计空间里的一个矢量。该矢量 的方向是指向函数的最速上升方向，即在梯度方向f函数的变化率为最大。(2) 函数在某点的梯度矢量指出了该点极小邻城内函数的最速上升方向，因而只具有局部性。函数在其定义域范围内的各点都对应着一个确定的梯度。就是说，不同的点 的最速上升方向也()kx不同。(3) 函数最速下降方向，在优化设计理论中占有重要地位。显见。函数负梯度 方向必为()kf函数在 点最速下降方向，不同的设计点，其各自的最速下降方向也不同。()kx(4) 梯度向量 与过 点的等值线(或等值

31、面) 的切线是正交的，如图 8-6 所示。设 方向是()fkx s点的等值线的切线 ，由于函数沿等值线切线方向(在 邻近) 的变化率为零，即由式* ()kt(kxMERGEFORMAT (8-15)可知* MERGEFORMAT (8-17)()cos,0kTfffxs此时，必有 ，即 。因此 点的梯度向量 与等值线cos,0f()()kx()kfx上过 点的切线方向垂直。()fx()k图 8-6 梯度方向的几何意义函数的局部近似表达式和平方函数设 维函数 (或 )为至少二次可微且连续的函数，则我们常称式 * MERGEFORMAT (8-18)n)fxg所示的 阶实矩阵为 Hessian 矩

32、阵。由于函数的二次偏导数值对于变量的偏导的次序无关，即，所以 是一个实对称矩阵，有时又记作 。2()2()kkijjifx()kHx2()kfx章名 11* MERGEFORMAT (8-18)2()2()2()111()()()() 22 2()2()()21kkknkkkkkkknnnfffxxxfffHxfffxxx 在讨论函数的局部性质及研究算法时，经常需要用到多元函数的线性近似和平方近似的概念，实际上就是在某一点按 Taylor 展开式取一次项或二次项来逼近该点的函数性态。设目标函数 在 点至少存在有二阶偏导数，则在这一点的 Taylor 二次近似函数为()fx()k* MERGEF

33、ORMAT (8-19)()() ()12()()(), knk kiiikkkijjijijfffxfx这表明，函数 在 点附近可用一个二次型函数来逼近。式* MERGEFORMAT (8-19)也可以()fx()k写成向量矩阵形式* MERGEFORMAT (8-20)()()()()()()1 2kkTkfffHxx如果上述逼近只截取 Taylor 展开式的一次项，则可得到函数 在 点的 Taylor 一次近似函数fk为* MERGEFORMAT (8-21)()()()()kkTkfffxx例 1 试将函数 在 点展开成24211121()4.5f x().0,25kTTaylor 二

34、次近似式。解： 由式* MERGEFORMAT (8-20)可得112211 2211(,),6.540 , .5329.xfx xxx将上述函数在 点线性展开，即由式* MERGEFORMAT (8-21)可得()1.5,0kTx2 122.56,.7.063.5 f x二次函数在讨论优化算法时具有重要的地位，下面简要介绍它的性质。例如，一个二维二次函数 2 212121121(,)( )fxcbxaxax12 书名若令 ，则该二次函数可以写出向量矩阵的形式111222,bxaBA* MERGEFORMAT (8-22)1()2TfcxBxA上式可以推广到 维二次函数，即 。它在形式上与式*

35、 MERGEFORMAT (8-22)一致， 是nnRA常数矩阵。这类特殊函数又称为平方函数，式* MERGEFORMAT (8-22)为它的一般形式。对于二维二次函数来说，它的等值线是椭圆簇。平方函数的梯度和 Hessian 矩阵为* MERGEFORMAT (8-23)()fHxBA以上面列举的二维二次函数为例 111222112212122()() ()() fxbaxfbaxffxaHBA8.2.2 凸集与凸函数优化设计一般总期望能获得函数的全局最优解，但在什么情况下可以获得全局最优解，这与函数的凸性有密切关系。特别是关于局部极小与全局极小之间的关系以及一些优化方法中的重要结论，都是建

36、立在函数具有凸性的基础上的。因此，凸集、凸函数在优化技术的研究中占有极其重要的地位。凸集为考虑多元函数的凸性，并对凸函数进行定义，首先应该建立凸集的概念。设 为 维欧式空间中Dn设计点的一个集合，若其中任意两点 和 得连线上的点都属于集合 ，则称 为 维欧式空间中(1)x(2)的一个凸集。图 8-7 所示为二维函数的情况，其中图 (a)为凸集，图(b)为非凸集。图 8-7 凸集的概念章名 13(a) 凸集；(b) 非凸集凸函数凸函数的定义如下：设 为定义在 维欧式空间中凸集 上的函数，若对任何实数()fxnD及 域中任意两点 和 存在如下不等式(01)D1(2)* MERGEFORMAT (8

37、-24)()()(1)(2)f ffxx则称函数 是定义在凸集 上的一个凸函数。这一概念可以用图 8-8 所示的一维函数来理解。在凸集(fx任取两点 和 ，连接该函数曲线上的两对应点成直线，若该连线上任意一点 的函数值1)(2) ()k恒大于该点的函数值 ，则 为凸函数。若将* (ff(1)(2)f fMERGEFORMAT (8-24)中的“ ”改为“ ”，则此时 称为严格凸函数。fx图 8-8 一元凸函数的定义为了判断一个函数是否为凸函数，可以用下列函数的凸性条件来判别(证明略) ：设函数 是定义在凸集 上，且存在连续二阶导数，则 的 Hessian 矩阵 ，则它在该)fxD()fx()H

38、x域上是严格凸函数的充要条件是：对于该域上一切点 ，其 Hessian 矩阵 都是正定的。而凸函xD数的充要条件是 Hessian 矩阵 都是半正定的。()Hx可以证明，如果目标函数 是凸集 上的凸函数，而且在可行域内存在极小点 ，则极小点是f *唯一的，且必是可行域 上的全局极小点。也就是说，只要目标函数 是凸集 上的凸函数，则驻()fxD点只有一个，它既是局部极小点也是全局极小点。所以凸集、凸函数在优化理论及算法的收敛性等问题的讨论中起着非常重要的作用。凸函数的基本性质如下：1) 若 为凸集 上的凸函数，则 在 上的一个极小点也就是 在 上的全局极小点；()fxD()fxD()f2) 若

39、为凸集 上的凸函数，则 也是 上的凸函数；,0a3) 若 和 为凸集 上的两个凸函数，则对 和 ，函数 仍为凸1()f2f a0b12()afbfx集 上的凸函数。8.3 优化计算的数值解法及收敛条件最优化技术总体包含两个方面，首先是根据实际的生产或科技问题构造出优化的数学模型，再采取恰当的优化方法对数学模型进行求解。无论是无约束优化问题还是约束优化问题，其本质上都是求极值的数学问题。从理论上，其求解可用解析法，即微积分学和变分法中的极值理论，但由于实际中的优化数学模型多种多样，往往目标函数及约束函数都是非线性的，采用解析法求解变得非常复杂和困难，甚至在有些时候无法求解数学模型。因此，随着优化

40、技术和电子计算机技术的不断发展，逐渐产生了以计14 书名算机程序计算为主的一种更为实用的求优方法数值计算法，通常也称为求解非线性规划的最优化方法。8.3.1 数值计算法的迭代过程最优化方法是与电子计算机及计算技术的发展紧密相联系的，数值计算法的迭代过程也是依赖于计算机的运算特点而形成的。所以，计算过程完全有别于解析法的求解过程。优化方法的迭代特点是：按照某种人为规定的逻辑结构，以一定的格式反复的数值计算，寻求函数值逐次下降的设计点，直到满足规定的精度时才终止迭代计算，最后的设计点即为欲求的最优点，所得到的解是满足规定精度的近似解。图 8-9 二维优化问题的迭代过程总体做法如图 8-9 所示，由

41、选定的 初始点 出发，沿着某种优化方法所规定的搜寻方向 ，以一(0)x (0)s定的步长 ，按迭代格式产生第一个新的设计点 ， ，且同时满足(0)1()(0)()0=xs，则 是优于 的设计点。同理，再以 为新的起点，按照相同的格式产生第二(1)Fx(1)x(0) 1个设计点 ， 。这样，依次得到的设计点 称为计算(2)()1=s()2(3)()1),k x中的迭代点，产生迭代点的一般格式为* MERGEFORMAT (8-25)(1)()()kkkxs式* MERGEFORMAT (8-25)称为优化计算的基本迭代公式。其中的第 次搜寻方向 及步长()ks是根据 点目标函数值和约束函数值等信

42、息依据某种算法而确定的，其最终目的是使()k()kx成立。按式* MERGEFORMAT (8-25)反复迭代计算后产生的点列1F各点的函数值依次下降，即(1)2(3)()1),k 很显然，迭代点必将不断向理论最优点逼近，最后必将达23()kF x到满足预定精度要求的近似最优点，记作 。*由迭代算法的基本迭代公式可见，优化方法的主要问题乃是解决迭代方向 和迭代步()1,2)ks长 的问题，由于 与 的确定方法及特性的不同而构成了不同的优化方法，即最优()1,)k()ks()化方法。已有的各种优化方法尽管在选取方向和步长的原则上各有不同，但有一点是共同的，就是各种方法都是以保证目标函数值稳定的下

43、降为前提，按照基本迭代公式通过计算机进行迭代计算并最终获得理论最优点的近似解。8.3.2 迭代计算的终止准则数值计算采用迭代法产生设计点的点列 是无穷的，但在解决实际问(1)2(3)()1),k xx题的时候必须在适当的时候结束这种迭代计算，这就是迭代终止准则问题。章名 15优化设计是要求出设计问题的最优解，从理论上，人们当然希望最终迭代点到达理论的极小点，或者使最终迭代点与理论极小点之间的距离足够小时即可终止迭代。但这在实际计算中是办不到的，因为对于一个待求的优化问题，其理论极小点在哪里是未知的。因此，只能通过迭代计算获得的点列所提供的各种信息来判断是否应该结束迭代计算，不同的判断依据就构成

44、了不同的终止准则。由于实际问题具有多样性，且迭代过程与目标函数的性质密切相关，所以很难建立一个统一的迭代终止准则，往往还需要根据实际计算的具体情况进行判断和选择。经常被采用的终止准则如下：点距准则若相邻的两个迭代点 之间的距离已达到充分小，即满足()(1)k、x* MERGEFORMAT (8-26)()(1)kx式中 是给定的收敛精度，取 为最优点，即 。1()k *kx函数下降量准则由于最优点的很小邻域里函数值的变化很小，所以当相邻两次迭代点的函数值下下降量已达到充分小时，预示着已很接近最优点了当 时，采用函数值绝对下降量准则()1kFx* MERGEFORMAT (8-27)()(1)k

45、kFx当 时，采用函数相对下降量准则()k* MERGEFORMAT (8-28)()(1)2)kk其中 为收敛精度，取 为最优点，即 。12,()kx(*kx梯度准则按函数极值理论，在极值点处函数的梯度为零。当目标函数在 点处的梯度的模已达到充分小时，()kx即* MERGEFORMAT (8-29)()1kFx可以认为 ， 是收敛精度。这一准则对凸集凸函数是完全正确的，若为非凸函数，有可能会误()*kx1把鞍点当作最优点。上述准则是无约束优化问题迭代收敛准则。由于约束优化问题与无约束优化问题的最优解的条件不同，所以迭代终止准则也不一样，但以上各终止准则对约束优化问题的求解仍然有着重要的意义

46、。8.4 常用的无约束优化方法无约束优化计算方法是优化设计中的最基本方法。无约束优化问题的一般形式为* MERGEFORMAT (8-30)min()nfRx求其最优解 和 的方法称为无约束优化计算方法。这种方法可以分为两大类：一类是仅要求计算*x()f目标函数值，而不必去求函数的导数的方法，即所谓的非梯度算法，如随机搜索法，坐标轮换法，Powell法，模式搜索法和单纯形法等；另一类是需要目标函数的一阶、甚至二阶导数信息的方法，即所谓的梯度算法。一般后一类算法要比前一类算法的计算效率高，求解问题的维数亦可以更高一些。但这两类方法从计算性质上说都是迭代性的，它们都包括如下基本步骤：1）从某一初始

47、点 开始迭代计算；2）在(0)x当前点 的邻域内按式* MERGEFORMAT * MERGEFORMAT 产生新点 ，各种方法的具体函数构()kx 1k造不同；3）检验点 是否满足最优性条件，如满足则输出结果，如不满足则转步骤 2）。(1)kx在工程实际中，尽管所有的设计问题几乎都是有约束的，但是约束优化问题的可以通过适当方法转16 书名化为无约束优化问题来求解。此外，有些约束优化方法也是借助无约束优化方法的策略思想来构造的。本节将介绍常用的一维优化计算方法和多变量优化计算方法。8.4.1 一维黄金分割法根据式* MERGEFORMAT (8-25)，对于任一次迭代计算，总是希望从已知的点 出发，沿给定的()kx方向 搜索该方向上到目标函数值最小的点 ，即求步长因子 的最优值，使()ks (1)kx()k* MERGEFORMAT (8-31)()()()minkffs这种在确定的搜索方向 上求步长因子 的最优取值使得目标函数在该方向上达到极小值的过程()ks()k称为一维搜索优化计算方法或称为单变量优化计算方法。当目标函数可以精确求导时，其最优步长因子 可以由解析法求得()k* MERGEFORMAT (8-32)()()()TkkkfHxss在工程优化设计中，上述解析方法并不适用，因为其需要的函数的一阶和二