1、机械优化设计理论与方法多媒体教学系统主讲：黄文权2005.02.第一章 基本概念与理论基础主要内容：1 优化设计的基本思想2 优化设计的应用及发展概况3 优化设计数学模型、基本术语4 优化设计理论的数学基础5 优化设计的求解方法及其收敛判定条件要求：1 掌握优化设计的基本思想、 数学模型、基本术语、一般过程、求解方法及收敛判定条件、数学基础2 了解优化设计的应用及发展概况1.1 优化设计概述优化设计(Optimal Design)是 20 世纪 60 年代发展起来的一门新学科，将最优化原理和计算技术应用于设计领域，为工程设计提供的一种重要的科学设计方法，是现代设计理论和方法的一个重要领域。设计
2、原则：参数(过程)最优设计设计手段：计算机及其程序设计方法：最优化数学方法设计内容：物理模型-数学模型-数学模型求解 1.1.1 机械优化设计基本思想一 设计过程图 1-1 机械产品设计过程二 传统设计到优化设计1 传统设计方法：参照相同或相似产品进行估算、经验类比或试验分析准则：安全-寿命设计；破损-安全设计过程：主要由人工完成图 1-2 传统设计计算方法2 机械优化设计方法：建立产品优化模型并在约束条件下应用最优化方法求最优解准则：单(多)目标最优化过程：主要由计算机完成图 1-3 优化设计计算方法三 优化设计基本思想根据机械设计的一般理论、方法以及设计规范和行业标准等，把工程设计问题按照
3、具体要求建立一个能体现设计问题的数学模型，然后采用最优化技术与计算机计算技术自动找出它的最优方案，使问题的解决在某种意义上达到无可争议的完善化。即在规定的各种设计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值，解决设计方案参数的最佳选择问题。四 优化设计过程1 优化设计过程图 1-4 优化设计过程2 优化设计过程应用 图 1-5 优化设计过程应用1.1.2 优化设计发展状况一 优化设计方法学以数学规划、数值解法为理论基础，计算机技术和计算技术为手段，结合设计方法学，逐步发展成为一门新兴学科。1 优化数学理论与设计方法的结合2 优化设计模型研究：模型可靠性、稳健性、实用性，收敛性3 新
4、的优化方法研究：模糊优化、稳健优化、离散优化4 广义优化设计方法研究及与 CAD 的融合二 优化设计的应用1 机构优化设计 2 通用零部件、整机、系统的优化设计3 CAD 系统引入优化设计1.1.3 本课程主要内容一 优化设计基本思想和基本概念二 优化设计的数学基础三 无约束优化方法的原理、算法及程序实现四 约束优化方法的原理、算法及程序实现五 机械优化设计应用1.2 优化设计数学模型的建立1.2.1 引例一 四杆机构优化设计如图 1-6 所示，要求在给定初始位置和机架长度的条件下，当曲柄 AB 从初始位置转动 90 度时，摇杆摆角最优的实现运动规律：。图 1-6 四杆机构优化设计设计过程1
5、设计参数：x2,x3(x1,x4 已知）2 目标函数：期望值与实际输出值平方误差最小3 约束条件：二 减速器优化设计如图 1-7 所示，给定传递的功率 P、总传动比 i和输出的转数 n 减速器，要求在满足强度条件下，使其体积最小。图 1-7 二级齿轮减速器优化设计设计过程1 设计参数：z1,z3,iI,mn1,mn2,(z2,z4,iII 可由关系导出）2 目标函数：保证中心距 A 最小3 约束条件：1.2.2 基本术语一 设计变量与设计空间1 设计常量（预定参数或给定参数）：根据实际情况预先确定了数值的参数，在优化设计过程中始终保持不变。2 设计变量：保在设计中进行选择并最终必须确定的各项独
6、立参数，在优化设计过程中是变化的，一般有取值范围限制。包含连续型和离散型两大类。3 维数：设计变量的数目，n=1,2,3,.4 设计变量的表示：将所有设计变量表示为列（行）向量，其分量代表每一个设计变量,即设计向量，不同的设计向量代表不同的设计方案。4 设计空间（解空间）：由设计向量确定的欧氏实空间，以 表示，如图 1-8 所示。优化设计就是在解空间中寻求最优解向量。a)二维设计平面 b)三维设计空间 c)求解过程图 1-8 设计空间（解空间）二 目标函数1 目标函数（评价函数）：设计中预期要达到的目标（最优指标），一般表达为各设计变量的函数表达式。优化设计就是在解空间中寻求具有目标函数极值的
7、最优解向量。单目标函数：多目标函数：2 目标函数值的几何表示：用（n+1）维空间表示 n 维设计变量的函数值。图 1-9 目标函数与设计变量之间的函数关系3 等值线簇（二维），等值面簇（三维），超越曲面（三维以上）：由具有相同目标函数值的设计点构成，即图 1-10 二维目标函数等值线与三维线性目标函数等值面三 设计约束1 设计约束（约束条件）： 对设计变量取值的限制条件，一般以约束函数的形式出现。优化设计就是在设计约束的限制下寻求解空间中具有全局（局部）目标函数极值的最优解向量。2 约束分类（1）按表现形式：等式约束和不等式约束等式约束的个数 p 必须小于设计变量的个数 n，否则只有唯一解或
8、0 解，不符合优化设计思想。（2）按约束性质：边界约束（区域约束）和性能约束区域约束是直接限定设计变量的取值范围。性能约束是由某些必须满足的设计性能要求推导出来的约束条件。3 设计可行域与非可行域满足所有不等式约束条件和（或）等式约束的设计区域作为设计可行域，否则作为非可行域，可行域一般记作内点：可行域内的设计点，代表一个可以采用的设计方案。外点：非可行域内的设计点，代表一个不允许采用的设计方案。边界点：处于约束边界上的设计点，一般有可能是最优点。图 1-11 二维问题的可行域1.2.3 优化设计的数学模型及分类一 优化设计数学模型的一般表达式在满足一定的约束条件下，选取设计变量，使目标函数值
9、达到最小（或最大），其数学表达式一般为-n 维欧氏实空间，即设计空间s.t.-subject to,即“受约束于”二 优化设计数学模型的分类不同类型的数学模型都有其特定的求解方法优化设计方法，对优化方法的须根据模型类型正确选用。1 按数学模型中设计变量和参数的性质分类确定型模型：设计变量和参数的取值均为确定的数随机模型：某些设计变量或参数具有随机性或必须考虑它们的概率分布性质而建立的数学模型2 按目标函数和约束函数的性质分类线性规划问题：目标函数 f(x)和约束函数 gu(x)都是设计变量的线性函数非线性规划问题：目标函数 f(x)和约束函数gu(x)任一个是设计变量的非线性函数，最基本的是二
10、次规划问题。3 按数学模型中目标函数个数、设计变量和约束条件数量的分类单目标和多目标优化问题无约束优化（m=p=0）和约束优化设计问题小型（n,m,p50）优化设计问题。1.2.4 优化设计方法图 1-12 优化设计方法1.3 优化设计的一般过程及其几何解释1.3.1 一般过程优化设计的全过程一般可概括为：1 建立优化设计的数学模型（重点和难点）；2 选择适合的优化方法（重点）；3 确定必要的数据和设计初始点；4 编写计算机的语言程序（重点）；5 通过计算机求解并输出计算结果；6 最后对结果数据进行必要的分析。1.3.2 几何解释立体图 设计空间关系图图 1-12 二维非线性优化问题的几何解释
11、图 1-13 极值点所处不同位置的几何解释1.4 优化设计的数学基础1.4.1 目标函数与约束函数的某些基本性质一 等值曲面(线）可计算函数具有相同函数值的无限多个设计点在设计空间中组合成一个点集，称此点集为等值曲面（二维为等值曲线），即椭圆抛物面 等值线正定二次函数一般函数等值线 有鞍点函数等值线高次非线性函数图 1-13 函数等值线等值线特点：1 定性描述函数值变化规律2 内层等值线较外层等值线函数值更小3 等值线疏密程度反映函数值的变化率大小，愈密变化值愈大4 定性描述函数极小点位置函数性态：指函数等值线形状，椭圆，严重偏心和扭曲二 方向导数、梯度及函数值最速下降方向1 多元函数一阶偏导
12、数：表示连续可微 多元函数 在 点沿各坐标轴 （设计变量）方向的变化率大小2 方向导数：表示沿连续可微多元函数沿任一方向矢量 的 函数值变化率大小图 1-14 多元函数方向导数沿任一方向 的 方向导数（函数值变化率）的向量表示：引入： ,则：3 梯度（向量）：表示连续可微多元函数在某点函数值的最大变化率方向,负梯度方向代表了目标函数值的最速下降方向，而梯度的模表示变化率的大小,方向导数大小等于梯度在该方向的投影大小。4 梯度性质及函数值最速下降方向I 局部性II 梯度向量与过的等值线的切线正交III 某点负梯度向量方向是函数在该点的最速下降方向图 1-15 梯度几何意义三 多元函数的近似表达式-泰勒展开研究函数局部性质和算法时，在保证足够精度的前提下，为简化问题，将原目标函数在讨论点处展开成泰勒多项式。具有局部性质。1 一元函数泰勒展开：若 f(x)在包含 x0 的开区间（a，b）具有（n+1）阶导数，则： 2 多元函数泰勒展开 n 元函数矩阵表示： n*n 对称 Hessian 矩阵 多元函数二次泰勒展开矩阵表示标准形式：
