1、第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形,中考数学 (浙江专用),1.(2017湖州,6,4分)如图,已知在RtABC中,C=90,AC=BC,AB=6,点P是RtABC的重心,则点 P到AB所在直线的距离等于 ( )A.1 B. C. D.2,考点一 等腰三角形,A组 2014-2018年浙江中考题组,五年中考,答案 A,如图,连接CP并延长交AB于D,连接BP并延长交AC于E,且延长到F,使EF=PE,连接AF, C=90,AC=BC,AB=6, AC=BC=3 , P为ABC的重心, CE=AE,AD=DB, CD= AB=3,CDB=90. 在AEF和CEP中, AEFCEP
2、. FAE=ECP=45,CP=AF=3-DP. FAD=90, CDFA, BPDBFA. = . = . PD=1. 故选A.,关键提示 三角形的重心是三条中线的交点.,2.(2017杭州,10,3分)如图,在ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,线段BE的垂直平分线交 边BC于点D.设BD=x,tanACB=y,则 ( )A.x-y2=3 B.2x-y2=9 C.3x-y2=15 D.4x-y2=21,答案 B 如图,过A作AMBC于M,过E作ENBC于N,连接ED. E为AC的中点,AMEN,EN= ,MN= , AB=AC,AMBC,CM= =6,MN=3, tanAC
3、B= =y, AM=6y,EN=3y, 直线DF是线段BE的垂直平分线, ED=BD=x,DE2=DN2+EN2, x2=(9-x)2+(3y)2,即2x-y2=9,此题选B.,3.(2016杭州,9,3分)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(mn),过锐角顶点把该纸 片剪成两个三角形.若这两个三角形都为等腰三角形,则 ( ) A.m2+2mn+n2=0 B.m2-2mn+n2=0 C.m2+2mn-n2=0 D.m2-2mn-n2=0,答案 C 根据题意画图,如图.在RtABC中,BCAB,且ABE和AEC均为等腰三角形, AB=BE=m,AE=EC=n-m,AE= AB,n-m=
4、 m,两边平方整理得,m2+2mn-n2=0,故选C.,关键提示 本题考查直角三角形与等腰三角形,涉及等式变形,关键是画出草图,挖掘条件.,4.(2017丽水,10,3分)等腰三角形的一个内角为100,则顶角的度数是 .,答案 100,解析 10090, 100的角是顶角, 故答案为100.,5.(2016杭州,14,4分)在菱形ABCD中,A=30,在同一平面内,以对角线BD为底边作顶角为120 的等腰三角形BDE,则EBC的度数为 .,答案 45或105,解析 根据题意,知点E所在位置有2种可能,如图.四边形ABCD是菱形,且A=30, ABC=150,BD平分ABC, CBD=75, 又
5、以DB为底边的等腰三角形DBE的顶角DEB=120, EDB=EBD=30,EBC=75-30=45或EBC=30+75=105.,解题关键 解题的关键是画出草图,并对点E所处位置进行分类讨论.,评析 本题考查菱形和等腰三角形的性质,以及分类讨论思想.,6.(2015绍兴,13,5分)由于木质的衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了 一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm.当衣 架收拢时,AOB=60,如图2,则此时A,B两点间的距离是 cm.,答案 18,解析 OA=OB=18 cm,收拢后,AOB=60,连接AB,则AOB
6、是正三角形,故AB=18 cm.,7.(2015嘉兴、舟山,14,4分)已知一张三角形纸片ABC,AB=AC=5.如图,折叠该纸片,使点A落在 BC的中点上,折痕交AC、AB分别于点E、F,则AE的长为 .,答案 2.5,解析 连接AA,设AA与EF交于点O.折叠问题就是轴对称问题,所以EF所在直线是AA的中垂 线,又由等腰三角形的性质可知AABC,所以EFBC,又AO=AO,所以EF是ABC的中位线. 所以AE= AC=2.5.,解题关键 证出EF是ABC的中位线是解题的关键.,8.(2018杭州,21,10分)如图,在ABC中,ACB=90,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB 于点
7、D;以点A为圆心,AD长为半径画弧,交线段AC于点E,连接CD. (1)若A=28,求ACD的度数; (2)设BC=a,AC=b. 线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗?说明理由; 若AD=EC,求 的值.,解析 (1)ACB=90,A=28, B=62, 由题意知BD=BC, BCD=BDC=59, ACD=90-BCD=31. (2)线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根.理由如下: 由勾股定理得AB= = , AD= -a, 解方程x2+2ax-b2=0,得x= = -a, 线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根. AD=AE,AD=EC, AE=EC=
8、 , 由勾股定理得a2+b2= ,整理得 = .,思路分析 (1)根据三角形内角和定理求出B,再根据等腰三角形的性质求出BCD,根据 ACD为BCD的余角计算即可;(2)根据勾股定理求出AB,进而得到AD,利用求根公式解 方程,比较即可;根据勾股定理及等量关系列出等式,化简、整理即可.,方法总结 本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的求根公式、 熟练应用勾股定理是解题的关键.,1.(2016宁波,12,4分)下图是一个由5张纸片拼成的平行四边形,相邻纸片之间互不重叠也无缝 隙,其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1,另两张直角三角形纸片的面积都为S2,中间一 张正方形纸
9、片的面积为S3,则这个平行四边形的面积一定可以表示为 ( )A.4S1 B.4S2 C.4S2+S3 D.3S1+4S3,考点二 直角三角形,答案 A 设等腰直角三角形纸片的直角边长为a,中间一张正方形纸片的边长为m,则S1= a2, S3=m2,S2= (a-m)(a+m)= (a2-m2),S2= (2S1-S3),即S3=2S1-2S2,所求平行四边形的面积为2S1+ 2S2+S3=2S1+2S2+(2S1-2S2)=4S1.故选A.,解题关键 解决本题的关键是引入字母表示出纸片的边长,从而找出S1、S2、S3之间的关系.,2.(2015温州,9,4分)如图,在RtAOB的平分线ON上依
10、次取点C,F,M,过点C作DEOC,分别交 OA,OB于点D,E,以FM为对角线作菱形FGMH.已知DFE=GFH=120,FG=FE.设OC=x,图中 阴影部分面积为y,则y与x之间的函数关系式是 ( )A.y= x2 B.y= x2 C.y=2 x2 D.y=3 x2,答案 B ON是RtAOB的平分线,DEOC, DCO、ECO、ODE是等腰直角三角形,且OC=DC=CE. OC=x,DE=2x. 易得DF=EF,从而EDF=DEF. DFE=120,EDF=30. CF= x.SDEF= 2x x= x2. 在菱形FGMH中,GFH=120,又FG=FE, S菱形FGMH=2SDEF.
11、 y=3SDEF= x2.故选B.,解题关键 分析出S菱形FGMH=2SDEF,并用含x的式子表示出DE和CF的长是解题的关键.,3.(2015台州,8,4分)如果将长为6 cm,宽为5 cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可 能是 ( ) A.8 cm B.5 cm C.5.5 cm D.1 cm,答案 A 因为矩形的最长折痕是对角线,对角线长= = cm8 cm,故选A.,4.(2017丽水,13,3分)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,创造了一幅“弦图”,后人 称其为“赵爽弦图”,如图1所示.在图2中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2, 且IJAB,则
12、正方形EFGH的边长为 .,答案 10,解析 题图2中有8个全等的直角三角形,每个的面积为(1414-22)8=(196-4)8=1928=24, 则正方形EFGH的面积为244+22=96+4=100, 正方形EFGH的边长为 =10. 故答案为10.,方法指导 求得正方形EFGH的面积即可求出其边长.,5.(2016温州,15,5分)七巧板是我们祖先的一项卓越创造,被誉为“东方魔板”.小明利用七巧 板(如图1所示)中各块板的边长之间的关系将其拼成一个凸六边形(如图2所示),则该凸六边形 的周长是 cm.,答案 32 +16,解析 如图,由题图1可得,AB=BC=8 cm,CD=AH=8 c
13、m,DE=EF=FG=GH=4 cm,凸六边形的周长=8 +8 +8+4 +4 +4 +4 +8=(32 +16)cm.,方法指导 分析图形的构成,找等量关系.,6.(2017台州,24,14分)在平面直角坐标系中,借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根, 比如对于方程x2-5x+2=0,操作步骤是: 第一步:根据方程系数特征,确定一对固定点A(0,1),B(5,2); 第二步:在坐标平面中移动一个直角三角板,使一条直角边恒过点A,另一条直角边恒过点B; 第三步:在移动过程中,当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时,点C 的横坐标m即为该方程的 一个实数根(如图1); 第四步:调整三角板直角
14、顶点的位置,当它落在x轴上另一点D处时,点D 的横坐标n即为该方程 的另一个实数根. (1)在图2 中,按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边 的痕迹); (2)结合图1,请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2-5x+2=0的一个实数根; (3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置,若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0,b2-4ac0)的实数根,请你直接写出一对固定点的坐标; (4)实际上,(3)中的固定点有无数对,一般地,当m1,n1,m2,n2与a,b,c之间满足怎样的关系时,点P(m1,n1),Q(m2,n2)就是符合要求的一对固定点
15、?图1 图2,解析,图,(1)如图所示. (2)如图,过点B作BDx轴,交x轴于点D. 据题意可证AOCCDB, = , = .,图,m(5-m)=2,m2-5m+2=0. m是方程x2-5x+2=0的实数根. (3)方程ax2+bx+c=0(a0)可化为 x2+ x+ =0. 模仿可得A(0,1),B 或A ,B 等.,说明:当点A在y轴上时,写出形如A(0,t),B (t0)的即可.,图,(4)如图,P(m1,n1),Q(m2,n2). 解法一:设方程的根为x,根据三角形相似可得 = , 上式可化为x2-(m1+m2)x+m1m2+n1n2=0, 又ax2+bx+c=0,即x2+ x+ =
16、0,比较系数可得m1+m2=- , m1m2+n1n2= . 解法二: =- , m1+m2=- , 根据三角形相似可得 = , 上式可化为m1m2+n1n2= .,7.(2015台州,24,14分)定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的 三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点. (1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=2,MN=3求BN的长; (2)如图2,在ABC中,FG是中位线,点D,E是线段BC的勾股分割点,且ECDEBD,连接AD,AE 分别交FG于点M,N,求证:点M,N是线段FG的勾股分割点; (3)已知点
17、C是线段AB上的一定点,其位置如图3所示,请在BC上画一点D,使C,D是线段AB的勾 股分割点(要求尺规作图,保留作图痕迹,画出一种情形即可); (4)如图4,已知点M,N是线段AB的勾股分割点,MNAMBN,AMC,MND和NBE均是等边 三角形,AE分别交CM,DM,DN于点F,G,H,若H是DN的中点,试探究SAMF,SBEN和S四边形MNHG的数量 关系,并说明理由.,解析 (1)当MN为最长线段时, 点M,N是线段AB的勾股分割点, BN= = = . 当BN为最长线段时, 点M,N是线段AB的勾股分割点, BN= = = . 综上,BN= 或 . (2)证明:FG是ABC的中位线,
18、FGBC. = = =1. 点M,N分别是AD,AE的中点. BD=2FM,DE=2MN,EC=2NG. 点D,E是线段BC的勾股分割点,且ECDEBD, EC2=BD2+DE2. (2NG)2=(2FM)2+(2MN)2.,NG2=FM2+MN2. 点M,N是线段FG的勾股分割点. (3)如图.(4)S四边形MNHG=SAMF+SBEN. 理由:设AM=a,BN=b,MN=c, H是DN的中点,DH=HN= c. MND,BNE均为等边三角形, D=DNE=60.,又DHG=NHE,DH=HN, DGHNEH. DG=EN=b.MG=c-b. GMEN,AGMAEN. = . = . c2=
19、2ab-ac+bc. 点M,N是线段AB的勾股分割点,且MNAMBN, c2=a2+b2. a2+b2=2ab-ac+bc,整理得(a-b)(a-b+c)=0, 又a-b+c0,a=b. 在DGH和CAF中,D=C,DG=CA,DGH=CAF, DGHCAF. SDGH=SCAF. c2=a2+b2, c2= a2+ b2. SDMN=SACM+SENB.,SDMN=SDGH+S四边形MNHG,SACM=SCAF+SAMF, S四边形MNHG=SAMF+SBEN.,8.(2014温州,22,8分)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法” 给了小聪以灵感.他惊喜地发现:
20、当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积 法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中DAB=90.求证:a2+b2=c2.图1证明:连接DB,过点D作CBD的BC边上的高DF,则DF=EC=b-a. S四边形ADCB=SACD+SABC= b2+ ab, 又S四边形ADCB=SADB+SDCB= c2+ a(b-a), b2+ ab= c2+ a(b-a). a2+b2=c2. 请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中DAB=90. 求证:a2+b2=c2. 证明:连接 . S五边形AC
21、BED= ,图2,又S五边形ACBED= , . a2+b2=c2.,证明,连接BD,过点B作BDE的DE边上的高BF,则BF=b-a, S五边形ACBED=SACB+SABE+SADE = ab+ b2+ ab,又S五边形ACBED=SACB+SABD+SBDE = ab+ c2+ a(b-a), ab+ b2+ ab= ab+ c2+ a(b-a), a2+b2=c2.,评析 本题主要考查了勾股定理的证明,表示出五边形面积是解题关键.,1.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在RtABC中,C=90,以ABC的一边为边画等腰三角形,使 得它的第三个顶点在ABC的其他边上,则可以画出的不同
22、的等腰三角形的个数最多为 ( )A.4 B.5 C.6 D.7,考点一 等腰三角形,B组 2014-2018年全国中考题组,答案 D 如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则BCD就是等腰三角形; 如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则ACE就是等腰三角形; 如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点M,交AC于点F,则BCM、BCF就是等腰三 角形; 如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则ACH就是等腰三角形;,如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则AGB就是等腰三角形; 如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则BCI就是等腰三角形. 故选D.,2
23、.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足 PBEDBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为 .,答案 3或,解析 在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD= =10,ABAD, 根据PBEDBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得 = = PE= ; 当AP=PD时,P点为BD的中点,PE= CD=3,故答案为3或 .,思路分析 根据ABAD及已知条件先判断P点在线段BD上,再根据等腰三角形腰的情况分两 种情况:AD=PD=8;AP=PD,再由相似三角形中对应边的比相等求解即可.,难
24、点突破 判断P点在线段BD上是解答本题的突破口.,3.(2017内蒙古包头,18,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上一点,且FC=2BF, 连接AE,EF.若AB=2,AD=3,则cosAEF的值是 .,答案,解析 连接AF. 四边形ABCD是矩形,AB=CD,B=C=90. 点E是CD的中点,AB=2,CE=1. FC=2BF,BC=3,BF=1,FC=2. 易证ABFFCE,AF=EF,AFB=FEC, FEC+EFC=90,AFB+EFC=90,AFE=90. AEF是等腰直角三角形,cosAEF=cos 45= .,4.(2016宁夏,21,6分)在等边ABC
25、中,点D,E分别在边BC,AC上,若CD=2,过点D作DEAB,过点 E作EFDE,交BC的延长线于点F.求EF的长.,解析 ABC为等边三角形, A=B=ACB=60, DEAB, EDF=B=60,DEC=A=60, CDE为等边三角形, DE=CD=2. (4分) EFDE,DEF=90, 在RtDEF中,EF=DEtan 60=2 . (6分),1.(2017内蒙古包头,12,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AF平分CAB, 交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为 ( )A. B. C. D.,考点二 直角三角形,答案 A 过F作F
26、GAB于点G, AF平分CAB,ACB=90,FC=FG. 易证ACFAGF,AC=AG.5+6=90,B+6=90,5=B. 3=1+5,4=2+B,1=2, 3=4,CE=CF. AC=3,AB=5,BC=4. 在RtBFG中,设CF=x(x0), 则FG=x,BF=4-x.BG=AB-AG=5-3=2.,由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x= ,CE=CF= .选A.,2.(2014山西,4,3分)下图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”, 它解决的数学问题是 ( )A.黄金分割 B.垂径定理 C.勾股定理 D.正弦定理,答案 C 中国是发现和研
27、究勾股定理最古老的国家.周髀算经记载了古代数学家赵爽 证明勾股定理的“弦图”.故选C.,3.(2014江苏扬州,8,3分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD=6,ABBC,ADCD,BAD=60, 点M、N分别在AB、AD边上,若AMMB=ANND=12,则tanMCN= ( )A. B. C. D. -2,答案 A 连接MN,AC,在RtABC与RtADC中,AB=AD,AC=AC,所以RtABCRtADC, 因为BAD=60,所以BAC=DAC=30,在RtABC中,AB=6,BAC=30,所以BC=2 ,因为 AMBM=12,所以AM=2,BM=4,在RtBCM中,BM=4,BC=2
28、,所以MC=2 .同理可得NC=2 ,又AMN为等边三角形, 所以MN=2,过M点作MHCN,垂足为H,所以CM2-CH2=MN2-HN2. 设CH=x,则(2 )2-x2=22-(2 -x)2, 解得x= , 在RtHCM中,CM=2 ,CH= , 所以MH= ,所以tanMCN= = = .故选A.,解题关键 解决本题的关键是构造包含MCN的直角三角形.,4.(2017安徽,14,5分)在三角形纸片ABC中,A=90,C=30,AC=30 cm.将该纸片沿过点B的直 线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),剪去CDE后得到双层BDE (如图2),再沿着过BDE某顶点
29、的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是 平行四边形.则所得平行四边形的周长为 cm.,答案 40或 (只写出一个正确答案得3分),解析 由已知可知ADBEDB,又A=90,C=30,所以ABD=EBD=C=30,则CD= BD,设AD=DE=x cm,则CD=(30-x)cm,在直角三角形ABD中,sin 30= = = ,解得x=10,所 以BD=20 cm,AB=10 cm.经分析可知满足题意的剪法有以下两种:取BD的中点F,连接EF, AF,沿EF剪开所得四边形ADEF是平行四边形,也是菱形,其边长DE为10 cm,故其周长为40 cm; 作EDB的平分线DM,沿DM剪开
30、所得四边形是平行四边形,也是菱形,其边长DM= = cm,故其周长为4 = cm.综上,所求周长为40 cm或 cm.,思路分析 由轴对称的性质得ADBEDB,由已知可求AD,AB,BD,考虑到在三角形BDE 中,BED=90,EBD=30,BDE=60,故沿BD上的中线或EDB的平分线剪开可得平行四 边形,且都为菱形,求出边长即可求得周长.,5.(2017湖北武汉,15,3分)如图,在ABC中,AB=AC=2 ,BAC=120,点D,E都在边BC上, DAE=60.若BD=2CE,则DE的长为 .,答案 3 -3,解析 如图,将ABD沿AD翻折得AFD,连接EF, AB=AF=AC,BD=D
31、F,AFD=B=30, BAC=120,DAE=60,BAD+CAE=60, 又BAD=FAD,FAD+CAE=60,CAE=FAE, ACEAFE(SAS),CE=EF,AFE=C=30, DFE=60. 过点E作EHDF,交DF于点H,过点A作AMBC,交BC于点M. 设CE=2x, 则BD=2CE=4x,EF=2x,DF=4x,FH=x,EH= x,DH=3x, 又BC=2BM=2ABcos 30=6,DE=6-6x, 在RtDEH中,DE2=DH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+( x)2, 解得x1= ,x2= (舍去). DE=6-6x=3 -3.,一题多解 将ABD绕点A
32、逆时针旋转120得ACF,连接EF,CF=BD.可证ADEAFE, DE=EF. ACD=B=30,FCE=60. 过点E作EHCF,交CF于点H,设CE=2x, 则BD=4x,CH=x,CF=4x,FH=3x,EH= x. 过点A作AMBC,交BC于点M, 则BC=2CM=2ACcos 30=22 =6, FE=DE=6-6x, 在RtEFH中,FE2=FH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+( x)2, 解得x1= ,x2= (舍去). DE=6-6x=3 -3.,6.(2018安徽,23,14分)如图1,RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为 BD的
33、中点,CM的延长线交AB于点F. (1)求证:CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如图2,若DAECEM,点N为CM的中点.求证:ANEM.,图1 图2,解析 (1)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点, CM= BD. 又DEAB,同理,EM= BD, CM=EM. (4分) (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80, EMF=180-CME=100. (9分) (3)证明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又
34、CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等边三角形, MEF=DEF-DEM=30. 证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30, = ,又NM= CM= EM= AE, FN=FM+NM= EF+ AE= (AE+EF)= AF. = = . 又AFN=EFM,AFNEFM,NAF=MEF, ANEM. (14分) 证法二:连接AM,则EAM=EMA= MEF=15,AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD, ACM= (180-30)=75. 由可知AC=AM,又N为CM的中点, ANCM,又EMCF,ANEM. (14分),思路分析 (1)
35、利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角 互余求出CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC,从而可得CME= DME+CMD=2(CBM+EBM),最后由补角性质求出EMF;(3)由DAECEM可推 出DEM为等边三角形,从而可得MEF=30,下面证ANEM有两个思路:一是根据直角三角 形30角所对直角边等于斜边的一半可得 = ,又点N是CM的中点,可推出 = ,从而可证 AFNEFM,进一步即可证明ANEM;二是连接AM,计算可得AMC=ACM,而N是CM 的中点,从而ANCM,进一步即可证明ANEM.,1.(2015陕西,6,3分)如图,
36、在ABC中,A=36,AB=AC,BD是ABC的角平分线.若在边AB上截 取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有 ( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个,考点一 等腰三角形,C组 教师专用题组,答案 D 依题意,可知题图中的ABC,AED,BDC,BDE,ADB为等腰三角形,则共有5 个等腰三角形.故选D.,2.(2015广西南宁,7,3分)如图,在ABC中,AB=AD=DC,B=70,则C的度数为 ( )A.35 B.40 C.45 D.50,答案 A AB=AD,ADB=B=70,AD=DC,C=DAC.ADB是ADC的外角, C= ADB=35.故选A.,3.(2015江苏苏
37、州,7,3分)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC中点,BAD=35,则C的度数为 ( )A.35 B.45 C.55 D.60,答案 C AB=AC,D为BC中点,CAD=BAD=35,ADDC,在ADC中,C=90- DAC=55,故选C.,4.(2015吉林长春,6,3分)如图,在ABC中,AB=AC,过点A作ADBC.若1=70,则BAC的大小 为 ( )A.30 B.40 C.50 D.70,答案 B AB=AC,B=C.ADBC,1=C=70.B=70.BAC=40.故选B.,答案 B 因为AB=AD,所以B=ADB=80,因为DC=AD,所以C=CAD,又因为ADB是 ACD的
38、外角,所以ADB=C+CAD=2C,所以C=40,故选B.,6.(2018贵州贵阳,24,12分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD= ,P是BC边上的一点,且BP=2CP. (1)用尺规在图中作出CD边上的中点E,连接AE,BE(保留作图痕迹,不写作法); (2)如图,在(1)的条件下,判断EB是否平分AEC,并说明理由; (3)如图,在(2)的条件下,连接EP并延长交AB的延长线于点F,连接AP.不添加辅助线,PFB能 否由都经过P点的两次变换与PAE组成一个等腰三角形?如果能,说明理由,并写出两种方法 (指出对称轴、旋转中心、旋转方向、旋转角或平移方向和平移距离);如果不能,也请说明
39、理 由.,解析 (1)如图所示,点E为所作的点,EA,EB为所连的线段.(2)EB平分AEC,理由如下: 如题图,由(1)及已知可知DE=1. 四边形ABCD是矩形,AD= , 在RtADE中,tanDEA= = ,AE=2, DEA=60, EAB=60,AEC=180-60=120. 由作图可知EA=EB,EAB是等边三角形, AEB=60, CEB=120-60=60, AEB=CEB,EB平分AEC. (3)PFB能由都经过P点的两次变换与PAE组成一个等腰三角形,理由如下: 如题图,BP=2CP,AD=BC= ,BP= . 由题意可知,C=PBF=90,EPC=FPB, ECPFBP
40、, = = ,FB=2EC=DC=2, B是AF的中点, PB是线段AF的垂直平分线, PBFPBA. 在RtPFB中,tan F= = , F=30, AEP=180-F-EAF=90. AE=AB,AP=AP,AEP=ABP=90,RtPEARtPBA, PBFPBAPEA, 可将PFB作如下变换后与PAE组成一个等腰三角形. PFB关于PF对称,再以点P为旋转中心,逆时针旋转120; PFB以点P为旋转中心,顺时针旋转120,再关于PE对称.,7.(2018辽宁沈阳,24,12分)已知:ABC是等腰三角形,CA=CB,0ACB90,点M在边AC上, 点N在边BC上(点M、点N不与所在线段
41、端点重合),BN=AM,连接AN,BM.射线AGBC,延长BM 交射线AG于点D,点E在直线AN上,且AE=DE. (1)如图,当ACB=90时: 求证:BCMACN; 求BDE的度数; (2)当ACB=,其他条件不变时,BDE的度数是 ;(用含的代数式表示) (3)若ABC是等边三角形,AB=3 ,点N是BC边上的三等分点,直线ED与直线BC交于点F,请 直接写出线段CF的长.,备用图1 备用图2,解析 (1)证明:CA=CB,BN=AM, CB-BN=CA-AM, 即CN=CM, BC=AC,MCB=ACN,CM=CN, BCMACN. BCMACN, MBC=NAC, EA=ED, EA
42、D=EDA, AGBC, GAC=ACB=90,ADB=DBC, ADB=NAC, ADB+EDA=NAC+EAD=180-90=90, BDE=90.,(2)或180-. (3)4 或 . 详解:(2)由E在直线AN上,可知,分两种情况讨论:如图1,E与N在点A异侧,可得BDE=180-; 如图2,E与N在点A同侧,可得BDE=.图1 图2,(3)由点N是BC边上的三等分点可知,分两种情况讨论:如图3,当CN=MC= BC=2 时,由AD BC可得ADMCBM, = , = = = ,AD= .由EA=ED得AN=DF, 又由BCMACN可得AN=BM.过点A作AHBC于H,由勾股定理可得,
43、AN= .由(2)知 BDE=120BDF=60,从而可得BCMBDF, = , = ,BF= , CF=BF-BC= .,图3 图4 如图4,当CN= BC= 时,与同法可求得CF=4 .,思路分析 (1)由“边角边”可证三角形全等.BDE=EDA+ADM,由等边对等角可 得EAD=EDA.由BCMACN,可得CBM=CAN,由两直线平行,内错角相等,可得 ADM=CBM,DAM=C=90.而CAN+EAD+DAM=180,CAN+EAD=90, BDE=90. (2)分E与N在点A同侧和异侧两种情况讨论求解. (3)N为BC的三等分点,分类讨论BN= BC和BN= BC两种情况.,易错警示
44、 本题的易错点在于审题,第(2)问E在直线AN上,第(3)问点N是BC边上的三等分点, 都需要分类讨论.,8.(2014温州,20,10分)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DEAB,过点E作 EFDE,交BC的延长线于点F. (1)求F的度数; (2)若CD=2,求DF的长.,解析 (1)ABC是等边三角形, B=60. DEAB, EDC=B=60. EFDE, DEF=90. F=90-EDC=30. (2)ACB=60,EDC=60, EDC是等边三角形. ED=DC=2. DEF=90,F=30, DF=2DE=4.,9.(2015北京,20,5分)如图,在
45、ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BEAC于点E. 求证:CBE=BAD.,证明 AB=AC,AD是BC边上的中线, ADBC,BAD=CAD. BEAC, BEC=ADC=90. CBE=90-C,CAD=90-C. CBE=CAD. CBE=BAD.,10.(2015福建龙岩,24,13分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,点D以每秒1个单位长 度的速度由点A向点B匀速运动,到达B点即停止运动.M,N分别是AD,CD的中点,连接MN.设点D 运动的时间为t. (1)判断MN与AC的位置关系; (2)求点D由点A向点B匀速运动的过程中,线段MN所扫过区域的面积; (3)若DMN是等腰三角形,求t的值.,解析 (1)在ADC中,M是AD的中点,N是DC的中点, MNAC. (3分) (2)如图,分别取ABC三边中点E,F,G,并连接EG,FG.根据题意可知线段MN扫过区域的面积就是AFGE的面积. AC=6,BC=8,AE=3,GC=4, ACB=90,SAFGE=AEGC=12, 线段MN扫过区域的面积为12. (7分) (3)解法一:依题意可知,MD= AD,DN= DC,MN= AC=3. i)当MD=MN=3时,DMN为等腰三角形,此时AD=AC=6,t=6. (9分) ii)当MD=DN时,AD=DC,
