1、第四章 图形的认识 4.6 特殊的平行四边形,中考数学 (安徽专用),A组 20142018年安徽中考题组,五年中考,1.(2017安徽,10,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足SPAB= S矩形ABCD.则点P到A,B两 点距离之和PA+PB的最小值为 ( )A. B. C.5 D.,答案 D 如图,过P点作MN,使MNAB,作A点关于MN的对称点A1,连接PA1,A1B,则PA1=PA,设 点P到AB的距离为h,由AB=5,AD=3,SPAB= S矩形ABCD可得h=2,则AA1=4,因为PA+PB=PA1+PBA1 B,所以当P为A1B与MN的交点时,PA+PB
2、最小,其最小值为 = ,故选D.,疑难突破 本题的突破口是根据SPAB= S矩形ABCD推出P点是在平行于AB的线段上运动,从而想 到利用轴对称的性质将问题转化.,2.(2015安徽,9,4分)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G、H在对角线 AC上,若四边形EGFH是菱形,则AE的长是 ( )A.2 B.3 C.5 D.6,答案 C 连接EF交GH于点O,由四边形EGFH为菱形,可得EFGH,OH=OG,因为四边形 ABCD为矩形,所以B=90.因为AB=8,BC=4,所以AC= =4 .易证AGECHF, 所以AG=CH,所以AO= AC=2 ,因为E
3、OGH,B=90,所以AOE=B,又因为OAE= BAC,所以AOEABC,所以 = = ,所以AE=5,故选C.,思路分析 连接EF,先证EFGH,可求AC的长,再证AGECHF,可得AG=CH,求得AO的 长,然后证AOEABC,由相似比求出AE的长.,方法指导 利用菱形的性质进行相关计算的三种题型:(1)求角度.应注意菱形的四条边相等、 对角相等和邻角互补等,可利用等腰三角形的性质和平行线的相关性质转化要求的角,直到找 到与已知角的关系; (2)求长度(线段或周长).应注意使用等腰三角形的性质,若菱形中有一个顶角为60,则连接另 外两点的对角线所分割的两个三角形为等边三角形,故在计算时可
4、借助等边三角形的性质进 行求解;若菱形中存在直角三角形,则应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半等进行求解; (3)求面积.可直接利用S=底高来求解,也可利用面积等于对角线之积的一半来进行求解.,3.(2014安徽,10,4分)如图,正方形ABCD的对角线BD长为2 ,若直线l满足:点D到直线l的距 离为 ;A、C两点到直线l的距离相等,则符合题意的直线l的条数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B 连接AC交BD于O点,则OD=OB= .在直线BD上找一点E,使得DE= ,过点E作AC 的平行线即可,可知满足条件的直线有两条,故选B.,4.(2018安徽,14
5、,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足 PBEDBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为 .,答案 3或,解析 在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD= =10,ABAD, 根据PBEDBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得 = = PE= ; 当AP=PD时,P点为BD的中点,PE= CD=3,故答案为3或 .,思路分析 根据ABAD及已知条件先判断P点在线段BD上,再根据等腰三角形腰的情况分两 种情况:AD=PD=8;AP=PD,再由相似三角形中对应边的比相等求解即可.,难点突破 判断P点在线段
6、BD上是解答本题的突破口.,5.(2016安徽,14,5分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10.点E在CD上,将BCE沿BE折叠,点 C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上,将ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处.有下 列结论: EBG=45;DEFABG;SABG= SFGH;AG+DF=FG. 其中正确的是 .(把所有正确结论的序号都选上),答案 ,解析 ABG=HBG,FBE=CBE,ABC=90, EBG=45,故正确; AB=6,BF=BC=10,AF=8, FD=AD-AF=10-8=2, 设DE=x,则EF=CE=6-x,在RtDEF中,DF2+DE2=E
7、F2,22+x2=(6-x)2,x= , 即DE= ,EF= , BH=AB=6, HF=BF-BH=10-6=4, 又易知RtDEFRtHFG, = ,即 = , GF=5,AG=3,若DEFABG,则 = ,但 ,故不正确; BH=6,HF=4,SBGH= SFGH, ABGHBG, SABG= SFGH,故正确; FHGEDF, = , = ,FG=5, AG+DF=5,AG+DF=FG,故正确.,思路分析 由折叠得角相等,易得EBG= ABC=45;设DE=x,由勾股定理求出x,进一 步求出EF,再根据RtDEFRtHFG可求GF,进而求AG,由 可知DEF与ABG不 相似;由ABG与
8、FGH等高和HBGABG,得 = = ;根据FHGEDF可 求FG,从而得AG+FD=FG.,方法指导 对于以矩形为背景的相关计算,可采取以下思路:(1)矩形的四个角都是直角,一条 对角线将矩形分成两个直角三角形,可用勾股定理或三角函数求线段的长;(2)矩形的对角线相 等且互相平分,故可借助对角线的关系得到全等三角形;(3)矩形的两条对角线把矩形分成四个 等腰三角形;(4)当已知条件中有一个角为30时,应联想到“在直角三角形中,30角所对的直角 边等于斜边的一半”这一性质.,考点一 矩形,B组 20142018年全国中考题组,1.(2017新疆乌鲁木齐,9,4分)如图,在矩形ABCD中,点F在
9、AD上,点E在BC上,把这个矩形沿EF折 叠后,使点D恰好落在BC边上的G点处,若矩形面积为4 且AFG=60,GE=2BG,则折痕EF的 长为 ( )A.1 B. C.2 D.2,2.(2015山东临沂,12,3分)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC, DB.添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是 ( )A.AB=BE B.BEDC C.ADB=90 D.CEDE,答案 B 四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC,AB=CD,DEBC,又DE=AD, DE=BC,四边形DBCE是平行四边形.若AB=BE,则CD=BE,则平行四边形D
10、BCE是矩形.若CE DE,即DEC=90,则平行四边形DBCE是矩形.若ADB=90,则BDE=90,则平行四边形 DBCE是矩形.当BEDC时,平行四边形DBCE是菱形.故选B.,3.(2014内蒙古呼和浩特,9,3分)已知矩形ABCD的周长为20 cm,两条对角线AC,BD相交于点O, 过点O作AC的垂线EF,分别交两边AD,BC于E,F(不与顶点重合),则以下关于CDE与ABF判 断完全正确的一项为 ( ) A.CDE与ABF的周长都等于10 cm,但面积不一定相等 B.CDE与ABF全等,且周长都为10 cm C.CDE与ABF全等,且周长都为5 cm D.CDE与ABF全等,但它们
11、的周长和面积都不能确定,评析 本题考查了线段的垂直平分线的性质,全等三角形的判定,属容易题.,4.(2018江西,10,3分)如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AE- FG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为 .,答案 3,解析 根据旋转的性质,得BC=EF,AB=AE,又四边形ABCD为矩形,DE=EF,AD=DE=3,D=9 0, 即ADE为等腰直角三角形, 根据勾股定理得AE= =3 ,所以AB=AE=3 .,解题关键 熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键.,5.(2016广东,15,4分)如图,矩形ABCD中,对角线AC=2 ,E
12、为BC边上一点,BC=3BE.将矩形 ABCD沿AE所在的直线折叠,B点恰好落在对角线AC上的B处,则AB= .,答案,解析 由折叠和矩形的性质,可知BE=BE,ABE=ABE=90,EBC=90. BC=3BE,EC=2BE=2BE, ACB=30,AB= AC. AC=2 ,AB= .,评析 本题考查折叠和矩形的性质等知识.属中档题.,6.(2014湖北黄冈,15,3分)如图,在一张长为8 cm,宽为6 cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为5 cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩 形的边上).则剪下的等腰三角形的面积为 cm2.,答案 或5
13、或10,解析 不妨设重合的顶点为点A,则有以下三种情况:图(1) 图(2),图(3),如图(1),AE=AF=5,所以所求面积为 55= . 如图(2),AE=EF=5,RtBEF中,可求出BE=1,根据勾股定理可得BF= =2 ,所以所 求面积为 AEBF= 52 =5 . 如图(3),AE=EF=5,RtDEF中,可求出DE=3,根据勾股定理可得DF= =4,所以所求 面积为 AEDF= 54=10. 综上所述,剪下的等腰三角形的面积为 cm2或5 cm2或10 cm2.,7.(2017福建,24,12分)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC,BC上的点,且四边形
14、 PEFD为矩形. (1)若PCD是等腰三角形,求AP的长; (2)若AP= ,求CF的长.,解析 (1)在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,ADC=90, DC=AB=6,AC= =10. 要使PCD是等腰三角形,有如下三种情况: 当CP=CD时,CP=6,AP=AC-CP=4. 当PD=PC时,PDC=PCD, PCD+PAD=PDC+PDA=90, PAD=PDA,PD=PA, PA=PC,AP= ,即AP=5. 当DP=DC时,过D作DQAC于Q,则PQ=CQ. SADC= ADDC= ACDQ, DQ= = , CQ= = , PC=2CQ= ,AP=AC-PC= .,综上所述,若
15、PCD是等腰三角形, 则AP=4,或AP=5,或AP= . (2)连接PF,DE,记PF与DE的交点为O,连接OC. 四边形ABCD和四边形PEFD都是矩形, ADC=PDF=90, 即ADP+PDC=PDC+CDF, ADP=CDF. BCD=90,OE=OD,OC= ED.,在矩形PEFD中,PF=DE,OC= PF. OP=OF= PF,OC=OP=OF, OCF=OFC,OCP=OPC, 又OPC+OFC+PCF=180, 2OCP+2OCF=180, PCF=90,即PCD+FCD=90. 在RtADC中,PCD+PAD=90,PAD=FCD. ADPCDF, = = .AP= ,C
16、F= .,易错警示 在第(1)问中,分三种情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论,不能丢解.,一题多解 在第(2)问中,连接PF,DE,PF与DE相交于点O,连接OC. 四边形DPEF是矩形,OP=OE=OD=OF. ECD是直角三角形,OC=OE=OD. D、P、E、C、F都在以O为圆心,OC为半径的圆上. PCF=BCD=90,DCF=ACB. ADBC,ACB=DAC. DCF=DAP. 又ADC=PDF=90, CDF=ADP,CDFADP. = , = ,CF= .,8.(2015吉林长春,22,9分)在矩形ABCD中,已知ADAB.在边AD上取点E,使AE=AB,连接CE.过点
17、 E作EFCE,与边AB或其延长线交于点F. 猜想:如图,当点F在边AB上时,线段AF与DE的大小关系为 . 探究:如图,当点F在边AB的延长线上时,EF与边BC交于点G.判断线段AF与DE的大小关系, 并加以证明. 应用:如图,若AB=2,AD=5,利用探究得到的结论,求线段BG的长.,解析 猜想:AF=DE. (2分) 探究:AF=DE. 证明:EFCE,CEF=90. 1+2=90. 四边形ABCD为矩形, A=D=90,AB=CD.2+3=90.1=3. AE=AB,AE=DC.AEFDCE. AF=DE. (6分),应用:AF=DE=AD-AE=5-2=3, BF=AF-AB=3-2
18、=1. 在矩形ABCD中,ADBC, FBGFAE. = ,即 = . BG= . (9分),1.(2018河南,10,3分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿ADB以1 cm/s的速度匀速运 动到点B.图2是点F运动时,FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为 ( )图1图2 A. B.2 C. D.2,考点二 菱形,答案 C 如图,作DEBC于点E,在菱形ABCD中,当F在AD上时,y= BCDE,即a= aDE, DE=2.由题意知DB= ,在RtDEB中, BE= =1,EC=a-1. 在RtDEC中,DE2+EC2=DC2, 22+(a-1)2=a2.
19、 解得a= .故选C.,思路分析 当点F在AD上运动时,y不变,值为a,可求得菱形的BC边上的高为2,由点F在BD上运 动的时间为 ,得出BD的长,作出菱形的BC边上的高,由勾股定理可求a值.,解后反思 本题为菱形中的动点和函数图象问题,关键要根据菱形的各边都相等以及y的意义 求出菱形的BC边上的高和BD的长,再构造直角三角形,用勾股定理求解.,2.(2016宁夏,5,3分)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中点,连接 EF.若EF= ,BD=2,则菱形ABCD的面积为 ( )A.2 B.4 C.6 D.8,答案 A 因为E,F分别是AD,CD边上的中点,所
20、以EFAC,且EF= AC,所以AC=2EF=2 .所 以S菱形ABCD= ACBD= 2 2=2 .故选A.,3.(2015甘肃兰州,10,4分)如图,菱形ABCD中,AB=4,B=60,AEBC,AFCD,垂足分别为E,F, 连接EF,则AEF的面积是 ( )A.4 B.3 C.2 D.,答案 B 连接AC,在菱形ABCD中,AB=BC,B=60,ABC是等边三角形,AEBC, AE=2 ,EAC=30,同理可得AF=2 ,CAF=30,则EAF为等边三角形, SAEF= (2 )2=3 .故选B.,4.(2014陕西,9,3分)如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作
21、AEBC,垂足为E,则AE 的长为 ( )A.4 B. C. D.5,答案 C 连接BD,交AC于点O, 四边形ABCD是菱形,ACBD, AB=5,AC=2AO=6. OB= =4,BD=2OB=8. S菱形ABCD= 68=24. S菱形ABCD=BCAE,BC=AB=5,AE= ,故选C.,5.(2018四川成都,24,4分)如图,在菱形ABCD中,tan A= ,M,N分别在边AD,BC上,将四边形AMNB 沿MN翻折,使AB的对应线段EF经过顶点D,当EFAD时, 的值为 .,答案,解析 延长NF与DC交于点H, ADF=90,A+FDH=90, DFN+DFH=180,A+B=18
22、0,B=DFN, A=DFH, FDH+DFH=90,NHDC. 在RtEDM中,tan E=tan A= , 设DM=4k(k0),则DE=3k,EM=5k, AD=9k=DC,DF=6k. tan A=tanDFH= , 则sinDFH= , DH= DF= k,CH=9k- k= k, cos C=cos A= = , CN= CH=7k,BN=2k, = .,思路分析 延长NF与DC交于点H,由菱形的性质及翻折变换的性质得出NHDC,构造出Rt NHC,在RtNHC和RtDHF中,利用边角关系求得相应线段的长,再求出BN,CN的长,得出答案.,解题关键 本题主要考查了菱形的性质,翻折变
23、换以及解直角三角形,灵活运用锐角三角函数 表示线段之间的关系是解题的关键.,6.(2016黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在菱形ABCD中,BAD=120,点E、F分别在边AB、BC上, BEF与GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,且点G在边AD上.若EGAC,AB=6 , 则FG的长为 .,答案 3,解析 设AC与EG相交于点O, 四边形ABCD是菱形,BAD=120, EAC=DAC=60,B=60,AB=BC.ABC是等边三角形.又AB=6 ,ABC的面积 为18 . 菱形ABCD的面积为36 , EGAC,AOE=AOG=90. AGE=90-60=30.BEF与GEF关于直线
24、EF对称,点B的对称点是点G, EGF=B=60,AGF=EGF+AGE=90.FGAD,FG= = =3 .,7.(2018北京,21,5分)如图,在四边形ABCD中,ABDC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分 BAD,过点C作CEAB交AB的延长线于点E,连接OE. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若AB= ,BD=2,求OE的长.,解析 (1)证明:ABCD, OAB=DCA. AC平分BAD, OAB=DAC, DCA=DAC, CD=AD. 又AB=AD,AB=CD,四边形ABCD为平行四边形. 又CD=AD=AB,四边形ABCD为菱形. (2)四边形ABCD
25、为菱形, OA=OC,BDAC. CEAE,OE=AO=OC. BD=2,OB= BD=1. 在RtAOB中,AB= ,OB=1, OA= =2,OE=2.,8.(2017北京,22,5分)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,ADBC,AD=2BC,ABD=90,E 为AD的中点,连接BE. (1)求证:四边形BCDE为菱形; (2)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长.,解析 (1)证明:E为AD的中点, AD=2ED.AD=2BC,ED=BC. ADBC,四边形BCDE为平行四边形. 又在ABD中,E为AD的中点,ABD=90, BE=ED,BCDE为菱形.,ADBC,
26、DAC=ACB. AC平分BAD,BAC=DAC, BAC=ACB,BA=BC, 由(1)可知,BE=AE=BC, AB=BE=AE,ABE为等边三角形, BAC=30,ACBE,AH=CH. 在RtABH中,AH=ABcosBAH= ,(2)设AC与BE交于点H,如图.,AC=2AH= .,9.(2015贵州遵义,24,10分)在RtABC中,BAC=90,D是BC的中点,E是AD的中点.过点A作AF BC交BE的延长线于点F. (1)求证:AEFDEB; (2)证明四边形ADCF是菱形; (3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.,解析 (1)证明:在RtABC中,BAC=90,D
27、是BC的中点, AD= BC=DC=BD. (1分) AFBC,DBE=AFE, E是AD的中点,ED=EA. 又BED=FEA, (2分) BDEFAE(AAS). (3分) (2)证明:由(1)知AF=BD=DC, (4分) AFDC,四边形ADCF是平行四边形. (5分) 又AD=DC, 四边形ADCF是菱形. (6分) (3)解法一:连接DF,1.(2018天津,11,3分)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个 动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是 ( )A.AB B.DE C.BD D.AF,考点三 正方形,答案 D 在正方形ABCD
28、中,连接CE、PC.点A与点C关于直线BD对称, AP=CP, AP+EP的最小值为EC. E,F分别为AD,BC的中点, DE=BF= AD. AB=CD,ABF=ADC=90, ABFCDE.AF=CE.,故选D.,解后反思 本题考查轴对称,正方形的性质,主要依据“两点之间线段最短”.只要作出点A(或 点E)关于直线BD的对称点C(或G),再连接EC(或AG),所得的线段长为两条线段和的最小值.,思路分析 点A关于直线BD的对称点为点C,连接CE,AP+EP的最小值就是线段CE的长度;通 过证明CDEABF,得CE=AF,即可得到PA+PE的最小值等于线段AF的长.,2.(2016陕西,8
29、,3分)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点.若M、N是边AD上的两 点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M、N,则 的全等三角形共有 ( )A.2对 B.3对 C.4对 D.5对,答案 C 易知ABDCBD,MONMON,DONBON,DOMBOM,故 选C.,3.(2014山西,10,3分)如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的两 直角边EF,EG分别交BC,DC于点M,N,若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面 积为 ( )A. a2 B. a2 C. a2 D. a2,答案 D 过点E作EOCD,EHBC,
30、显然四边形EHCO为正方形,EH=EO,HEO=90.GEF=HEO=90,OEN=MEH. EHM=EON=90, EHMEON, S四边形EMCN=S正方形EHCO. EC=2AE, = . AB=a,S正方形ABCD=a2, S正方形EHCO= S正方形ABCD= a2, 重叠部分四边形EMCN的面积为 a2.故选D.,4.(2018江西,12,3分)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若 PD=2AP,则AP的长为 .,答案 2, - 或2,解析 四边形ABCD是正方形,AB=6,ACBD,AC=BD=6 ,OA=OD=3 . 有三种情况:点P在
31、AD上时,AD=6,PD=2AP,AP= AD=2; 点P在AC上时,不妨设AP=x(x0),则DP=2x,在RtDPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2, 即(2x)2=(3 )2+(3 -x)2,解得x= - (负值舍去),即AP= - ; 点P在AB上时,PAD=90,PD=2AP,ADP=30,AP=ADtan 30=6 =2 . 综上所述,AP的长为2, - 或2 .,思路分析 根据正方形的性质得出ACBD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,画出符合题意的三种情 况,根据正方形的性质、勾股定理及锐角三角函数求解即可.,解题关键 熟记正方形的性质,分析符合题意的情况,并准确画出图
32、形是解题的关键.,易错警示 此题没有给出图形,需将点P的位置分类讨论,做题时,往往会因只画出点P在正方 形边上而致错.,5.(2016山东青岛,13,3分)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE =5,F为DE的中点.若CEF的周长为18,则OF的长为 .,答案,解析 四边形ABCD是正方形,BO=DO,BC=CD,BCD=90.在RtDCE中,F为DE的中 点,CF= DE=EF=DF.CEF的周长为18,CE+CF+EF=18,又CE=5,CF+EF=18-5=1 3,DE=DF+EF=13,DC= =12,BC=12,BE=12-5=7.在BDE中,B
33、O=DO,F为DE 的中点,OF为BDE的中位线,OF= BE= .,6.(2015上海,16,4分)已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点,AE=AD,过点E作AC的垂线,交边 CD于点F,那么FAD= 度.,答案 22.5,解析 如图,由题意可得ADFAEF,所以FAD= DAC=22.5度.,7.(2014重庆,18,4分)如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上, 且DE=2CE,连接BE.过点C作CFBE,垂足是F,连接OF,则OF的长为 .,答案,解析 如图,在BE上截取BG=CF,连接OG,CFBE,EBC+BCF=90. 又ECF+BCF=9
34、0, EBC=ECF, OBC=OCD=45,OBG=OCF. 在OBG与OCF中, OBGOCF(SAS), OG=OF,BOG=COF,OGOF. BC=DC=6,DE=2EC,EC=2,BE= = =2 , BC2=BFBE,62=BF2 , 解得BF= , EF=BE-BF= , CF2=BFEF,CF= , GF=BF-BG=BF-CF= . 在等腰直角OGF中,OF2= GF2,OF= .,8.(2017上海,23,12分)已知:如图,四边形ABCD中,ADBC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA= EC. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)如果BE=BC,且CBEB
35、CE=23,求证:四边形ABCD是正方形.,证明 (1)在ADE和CDE中, ADECDE(SSS). ADE=CDE. ADBC, ADE=CBD,CBD=CDE,BC=CD, AD=BC,四边形ABCD为平行四边形. 又AD=CD, 四边形ABCD为菱形. (2)CBEBCE=23, 设CBE=2x,BCE=3x, BE=BC,BEC=BCE=3x, 2x+3x+3x=180, x=22.5,CBE=45.,ADB=CDB=CBE,ADC=90. 四边形ABCD为菱形, 四边形ABCD为正方形.,思路分析 (1)先证四边形ABCD为平行四边形,再由一组邻边相等,便可证得四边形ABCD为 菱
36、形. (2)证菱形ABCD的一个角为直角,便可证得菱形ABCD为正方形.,9.(2015山东临沂,25,11分)如图1,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ADE和DCF,连接 AF,BE. (1)请判断:AF与BE的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)如图2,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA =ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明; (3)若三角形ADE和DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗?请直 接写出你的判断.,解析 (1)AF=BE,AFBE. (2分) (2
37、)结论成立. (3分)证明:四边形ABCD是正方形, BA=AD=DC,BAD=ADC=90. 在EAD和FDC中, EADFDC.EAD=FDC. EAD+DAB=FDC+CDA, 即BAE=ADF. (4分) 在BAE和ADF中,BAEADF. BE=AF,ABE=DAF. (6分) DAF+BAF=90, ABE+BAF=90, AFBE. (9分) (3)结论都能成立. (11分),考点一 矩形,C组 教师专用题组,1.(2016四川南充,8,3分)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再 一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后D
38、AG的大小为 ( )A.30 B.45 C.60 D.75,答案 C 如图,根据第二次折叠可知,1=2,MGA=90,由第一次折叠可知,MN=AN,即NG 是RtAMG的中线,故AN=GN,所以2=3.又EFAB,所以3=4,故1=2=4,又因为 1+2+4=90,所以1=2=4=30,所以1+2=DAG=60,故选C.,2.(2015江西南昌,5,3分)如图,小贤为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩 形框架ABCD,B与D两点之间用一根 拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变 化.下列判断 的是 ( )A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B.BD的长度增大 C.四
39、边形ABCD的面积不变 D.四边形ABCD的周长不变,答案 C 向右扭动框架ABCD的过程中,AD与BC的距离逐渐减小,即ABCD的高发生变化, 所以面积改变,选项C错误,故选C.,3.(2014江苏南京,6,2分)如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(-2,1),点C的纵坐标是4,则B、C两 点的坐标分别是 ( )A. 、 B. 、 C. 、 D. 、,答案 B 过点A作AA1x轴于点A1,过点B作BB1x轴于点B1,过点C作B1B的垂线,交B1B的延长 线于点D,如图所示,易知AOA1BCD,故点B的纵坐标是4-1=3,从而由AOA1OBB1得 = ,解得OB1= ,所以B ,故点C的横坐
40、标为 -2=- ,即C ,故选B.,4.(2015江苏苏州,18,3分)如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线 于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则x2+(y-4)2的值为 .,答案 16,解析 由题意知DF是RtBDE的中线,所以DF=BF=FE=4.矩形ABCD中,AB=DC=x,BC=AD=y, 在RtCDF中,CF=BF-BC=4-y,CD=x,DF=4,由勾股定理得CF2+CD2=DF2,即x2+(y-4)2=42=16.,评析 本题考查勾股定理的应用,直角三角形的性质,综合性较强,对学生能力要求较高,属难题.,5.(20
41、15内蒙古包头,20,3分)如图,在矩形ABCD中,BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线 于点F,取EF的中点G,连接CG,BG,BD,DG,下列结论:BE=CD; DGF=135; ABG+ADG=180; 若 = ,则3SBDG=13SDGF. 其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号),答案 ,解析 因为BAD=ADF=90,AE平分BAD,所以BAE=DAF=F=45,所以AD=DF= BC,AB=BE=CD.在DGF中,F=45,所以DGF135.在等腰RtEFC中,因为G为EF的中 点,所以GF=GC,F=BCG=45,又因为DF=BC,所以BGCDGF(SAS),所以G
42、BC= GDF.又因为DBC+BDC=90,所以GBD+GDB=GBC+CBD+GDB=CBD+ GDB+CDG=90,所以BGD=90,在四边形ABGD中,BAD=BGD=90,所以ABG+ ADG=180.因为 = ,所以可设AB=2k,则AD=3k,所以BD= = k.所以SBDG= BD2 = k2.作GMCF于M,则GM= CF= k.所以SDGF= DFGM= k2.所以3SBDG=13SDGF.故 正确.,评析 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质与判定、三角形全等的性质与判定、三 角形的面积等知识.考查内容较多、较复杂.属难题.,6.(2015重庆,18,4分)如图,在矩形A
43、BCD中,AB=4 ,AD=10,连接BD,DBC的角平分线BE交DC 于点E,现把BCE绕点B逆时针旋转,记旋转后的BCE为BCE.当射线BE和射线BC都与线 段AD相交时,设交点分别为F,G.若BFD为等腰三角形,则线段DG长为 .,答案,解析 过点F作FHBD交BG的延长线于点H,在矩形ABCD中,BD= =14,AD BC,ADB=DBC,BE平分DBC,FBG=EBC= DBC,FBG= FDB,由题 可得BF=FD,FBD=FDB,FBG= FBD,FBG=GBD,FHBD,H= GBD,H=FBG,FB=FH=FD,设FD=x(x0),在RtABF中,由勾股定理得BF2=AF2+
44、AB2,即 x2=(10-x)2+(4 )2,解得x= ,FB=FH=FD= .FHBD,FHGDBG, = ,设 GD=y(y0), = ,解得y= ,GD= .,评析 本题重点考查勾股定理,矩形的性质,相似三角形的性质与判定,方程思想等,综合性较 强,属于难题.,7.(2014河南,15,3分)如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把ADE沿AE折叠, 当点D的对应点D落在ABC的角平分线上时,DE的长为 .,答案 或,解析 如图,连接BD,过点D作PQAB,交AB于点Q,交CD于点P.点D在ABC的角平分线上,四边形ABCD为矩形,ABD= ABC=45,BQ=
45、QD,设BQ =x,由折叠得,AD=AD=5,DE=DE,ADE=90,易得EDPDAQ, = ,在RtAQD 中,AD2=AQ2+QD2,即52=(7-x)2+x2,x1=3,x2=4. 当DQ=3时, = ,即 = ,解得DE= ,即DE= .当DQ=4时, = ,即 = , 解得DE= ,即DE= .DE的长为 或 .,8.(2014上海,18,4分)如图,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直 线翻折后,点C、D分别落在边BC下方的点C、D处,且点C、D、B在同一直线上,折痕与边 AD交于点F,DF与BE交于点G.设AB=t,那么EFG的周长为 (用含t的代数式表示).,答案 2 t,解析 连接BD,点C、D、B在同一直线上, D=FDC=GDB=90,由翻折知,CE=CE, BE=2CE=2CE,EBC=30,BGD=60, BGD=FGE,FGE=60. ADBC,AFG=BGD. AFG=60,易得GFE=60,EFG为等边三角形. AB=t,FG= t,CEFG=2 t.,
