1、1专题 2.6 指数与指数函数【考纲解读】要 求 备注内 容A B C 函数概念与基本初等函数 指数函数的图象与性质1理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算2了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知道指数函数是一重要的函数模型【直击教材】1若函数 f(x) ax(a0，且 a1)的图象经过点 A ，则 f(1)_.(2，13)【答案】 32已知 0.2m”或“3 (1)2 _.3 31.5 612(2) _.(2a23b12)( 6a12b13) ( 3a16b56)【答案】(1)6 (2)4 a【知识清单】1 根式与指数
2、幂的运算1()(*)0()nnaNan为 奇 数 ） 为 偶 数 ）2. 有理数指数幂的运算性质: rsrsa(0,)Q; ()rsr; rrb(,)abr.22 指数函数的图象与性质y ax a1 00 时， y1；x0 时，01性质在区间(，)上是增函数在区间(，)上是减函数【考点深度剖析】与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论【重点难点突破】考点 1 根式与指数幂的运算【1-1】给出下列命题: na与 ()n都等于 a(nN *); 2aba；函数 32xy与 1x都不是指数函数；若m（ 01且
3、 ） ，则 mn其中正确的是 .【答案】【 1-2】 化简：160.250342()()8(.1)9 【答案】98【解析】原式116323324771983【 1-3】31221m4.， 求【答案】15【解析】1212()6 14m，311221 2(m)()1m45【思想方法】指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.【温馨提醒】运算结果不能同时含有根
4、号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.考 点 二 指 数 函 数 的 图 象 及 应 用1已知 a0，且 a1，若函数 y| ax2|与 y3 a 的图象有两个交点，则实数 a 的取值范围是_【答案】 (0，23)【解析】当 01 时，作出函数 y| ax2|的图象，如图 b，若直线 y3 a 与函数 y| ax2|( a1)的图象有两个交点，则由图象可知 00， a1)的图象，应抓住三个关键点：(1， a)，(0,1)， .( 1，1a)(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数
5、型函数图象数形结合求解即时应用1若曲线| y|2 x1 与直线 y b 没有公共点，则 b 的取值范围是_【答案】1,1【解析】作出曲线| y|2 x1 与直线 y b 的图象如图所示，由图象可得：如果| y|2 x1 与直线 y b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b1,12若函数 y|3 x1|在(， k上单调递减，则 k 的取值范围为_【答案】(，0【解析】函数 y|3 x1|的图象是由函数 y3 x的图象向下平移一个单位后，再把位于 x 轴下方的图象沿5x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函数图象如图所示由图象知，其在(，0上单调递减，所以 k 的取值范围是(，0考 点 三 指 数 函
6、 数 的 性 质 及 应 用角度一：比较指数式的大小1设 a0.6 0.6， b0.6 1.5， c1.5 0.6，则 a， b， c 的大小关系是_【答案】 cab角度二：解简单指数方程或不等式2设函数 f(x)Error!若 f(a)3，此时30， a1)的图象经过点 A(1,6)， B(3,24)(1)试确定 f(x)；(2)若不等式 x x m0 在 x(，1上恒成立，求实数 m 的取值范围(1a) (1b)解：(1)因为 f(x) bax的图象过点 A(1,6)， B(3,24)，7【易错试题常警惕】利用指数函数的性质求参数问题，一般是利用指数函数的单调性求最值，特别是指数函数的底数
7、不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分 1a和 0两种情况讨论如：若函数 xfa（ 0且 ）在 ,2上的最大值为 4，最小值为 m，且函数14gxm在 ,上是增函数，则 【分析】函数 xx在 ,上是增函数，则 10，即 14当 a时，函数fx在 ,2上单调递增，最小值为 1ma，最大值为 24a，解得 2a， ，与 14矛盾；当 01a时，函数 fx在 ,2上单调递减，最小值为 m，最大值为 1，解得 a，6m所以 4【易错点】本题容易忽视了对参数 a的讨论，以为 1a而致误【练一练】函数 f(x)log a(ax3)在1，3上单调递增，则 a 的取值范围是_.【答案】(，1 (3，)【解析】由于 a0，且 a1， u ax3 为增函数，若函数 f(x)为增函数，则 f(x)log au 必为增函数，因此 a1.又 y ax3 在1，3上恒为正， a30，即 a3， a 的取值范围是(3，).
