1、1专题 2.9 函数模型及其应用【考纲解读】要 求 备注内 容A B C 函数概念与基本初等函数 函数模型及其应用对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用 A、B、C 表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.【直击教材】1已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y alog3(x1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第8 年它们发展到_只答案：2002用 18 m 的材料围成一块矩形
2、场地，中间有两道隔墙若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是_m2.解析：设隔墙长为 x m，则面积 S x 2 x29 x2 2 .所以当 x 时，能围成的面18 4x2 (x 94) 818 94积最大，为 m2.818答案：818【知识清单】1几种常见的函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x) ax b(a， b 为常数， a0)二次函数模型 f(x) ax2 bx c(a， b， c 为常数， a0)指数函数模型 f(x) bax c(a， b， c 为常数， a0 且 a1， b0)对数函数模型 f(x) blogax c(a， b， c 为常数， a0 且 a1， b0)2
3、幂函数模型 f(x) axn b(a， b， n 为常数， a0， n0)2三种函数模型性质比较y ax(a1) ylog ax(a1) y xn(n0)在(0，)上的单调性增函数 增函数 增函数增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳图像的变化随 x 值增大，图像与 y轴接近平行随 x 值增大，图像与 x轴接近平行随 n 值变化而不同【考点深度剖析】解答应用问题的程序概括为“四步八字” ，即审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；建模：把自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；求模：求解数学模型，得出数学结论；还原：将数学结论还原
4、为实际问题的意义【重点难点突破】考点 1 一次函数与二次函数模型【1-1】 某电信公司推出两种手机收费方式： A 种方式是月租 20 元， B 种方式是月租 0 元一个月的本地网内通话时间 t(分钟)与电话费 s(元)的函数关系如图所示，当通话 150 分钟时，这两种方式电话费相差_元【答案】103【 1-2】 将进货单价为 80 元的商品按 90 元出售时，能卖出 400 个若该商品每个涨价 1 元，其销售量就减少 20 个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个_元【答案】95【解析】设售价定为(90 x)元，卖出商品后获得利润为： y(90 x80)(40020 x)20(10 x)(20
5、x)20( x210 x200)20( x210 x200)20( x5) 2225，当 x5 时， y 取得最大值，即售价应定为：90595(元).【思想方法】(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题【温馨提醒】1易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域2注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性考点 2 分段函数模型【2-1】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般
6、情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0 千米/小时；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时研究表明：当 20 x200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数(1)当 0 x200 时，求函数 v(x)的表达式(2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时) f(x) xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/小时)【答案】(1) v(x)Error!(2) 当 x100 时， f(x)在区间
7、(20,200上取得最大值4【2-2】某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果 40 天内全部销完公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图(一条折线)、图(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图是每件样品的销售利润与上市时间的关系 (1)分别写出国外市场的日销售量 f(t)与上市时间 t 的关系及国内市场的日销售量 g(t)与上市时间 t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于 6 300 万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由【答案】(1) f(t)Erro
8、r! g(t) t26 t(0 t40) (2) 上市后的第 30 天3205 F(t)在0,20上是增函数， F(t)在此区间上的最大值为 F(20)6 0006 300.当 20t30 时， F(t)60 .(320t2 8t)由 F(t)6 300，得 3 t2160 t2 1000，解得 t (舍去)或 t30.703当 30t40 时， F(t)60 .(320t2 240)由 F(t)在 (30,40上是减函数，得 F(t)F(30)6 300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于 6 300 万元，为上市后的第 30 天【思想方法】(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个
9、关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解6(2) 分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)【温馨提醒】构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏考点 3 指数函数模型【3-1】一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 ，已知到今年为止，森林剩余14面积为原来的 .22(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？ 【答案】(1) x110(2)
10、5(3)15.(12)7【3-2】某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了 n 次涨停(每次上涨 10%)，又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%)，判定该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用).【答案】略有亏损【思想方法】(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决8(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型(3)y a(1 x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解【温馨提醒】解指数不等式时，一定要化为同底，且注意对应
11、函数的单调性考 点 二 函 数 y x ax模 型 的 应 用为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系 C(x) (0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，k3x 5设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值解：(1)由已知条件得 C(0)8，则 k40，因此 f(x)6 x
12、20 C(x)6 x (0 x10)8003x 5(2)f(x)6 x10 102 1070(万元)，8003x 5 6x 10 8003x 5当且仅当 6x10 ，8003x 5即 x5 时等号成立所以当隔热层厚度为 5 cm 时，总费用 f(x)达到最小值，最小值为 70 万元由题悟法应用函数 y x 模型的关键点ax(1)明确对勾函数是正比例函数 f(x) ax 与反比例函数 f(x) 叠加而成的bx(2)解决实际问题时一般可以直接建立 f(x) ax 的模型，有时可以将所列函数关系式转化为 f(x)bx ax 的形式bx(3)利用模型 f(x) ax 求解最值时，要注意自变量的取值范围
13、，及取得最值时等号成立的条件bx即时应用“水资源与永恒发展”是 2015 年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约 4 万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用 4 年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为 0.2.为了保证正9常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积 x(单位：平方米)之间的函数关系是 C(x) (x0， k 为常数)记 y 为该企业安装这种净水设
14、备的费用与该企业 4 年共将消耗的k50x 250水费之和(1)试解释 C(0)的实际意义，并建立 y 关于 x 的函数关系式并化简；(2)当 x 为多少平方米时， y 取得最小值，最小值是多少万元？【易错试题常警惕】数学实际应用问题，一定要正确理解题意，选择适当的函数模型；合理确定实际问题中自变量的取值范围；必须验证答案对实际问题的合理性如：如图所示，在矩形 CDA中，已知 a， Cb（ a） 在 A、 D、 C、 上分别截取 、 、 G、 F都等于 x，当 为何值时，四边形 FG的面积最大？求出这个最大面积【分析】设四边形 FG的面积为 S，则 FDG12Saxb， CFGSA21x， 2
15、21 4aSabxabx1028ab，由图形知函数的定义域为 0xb 0a， 02ab，若4，即 3时， 4abx，使面积 S取得最大值 28b；若 4，即 3时，函数Sx在 0,b上是增函数，此时当 时， 有最大值为 28ba2a综上可知，若 3ab，当 4abx时，四边形 FG的面积取得最大值2a；若3，当 x时，四边形 FG的面积取得最大值 2b 【易错点】忽略实际问题中自变量的取值范围，造成与实际问题不相符合的错误结论【练一练】某村计划建造一个室内面积为 802m的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1m宽的通道，沿前侧内墙保留 3宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？【答案】当矩形温室的边长各为 40， 2时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是 6482m
