1、1材料力学总结（单辉祖、谢传锋主编教材，彭雅轩总结）材料力学研究构件的承载能力：强度、刚度和稳定性，这三者均与材料的物性关系及截面有关。一、 构件的基本变形：1. 拉压变形（包括连接构件的剪切）2. 扭转变形3. 弯曲变形4. 压杆的稳定性（屈曲）二、 材料的物性关系：1. 塑性材料：（延伸率5%，多用于受拉构件）1) 其抗剪能力弱于抗拉能力， （塑性材料抵抗滑移的能力低于抵抗断裂的能力。 ）且 t=c，2) 材料的时效形式：塑性屈服，最大剪应力先达到极限值，在最大剪应力所在截面出现滑移线。2. 脆性材料：（延伸率5%，多用于受压构件）1) 其抗拉能力弱于抗剪能力， （脆性材料抵抗断裂的能力低
2、于抵抗滑移的能力。 ）且 t c，2) 材料的时效形式：，脆性断裂，最大拉应力先达到极限值，构件断口在最大拉应力所在截面。3. 名义屈服极限：取对应于试件卸载后产生 0.2%的残余线应变时的应力值作为材料的屈服极限，用 0.2 表示。三、 合理的截面选择（采用公式所能解决的问题）：1. 受拉、压构件（A净面积）：外力合力的作用线与轴线共线。1) 纵向与横向变形纵（轴）向线应变： ll1横向线应变： b1胡克定律： （此式的适用范围为当应力不超过材料的比例极限时，即在比例极限E内。E弹性模量，其值与材料本身有关，其单位为 GPa。 ）泊松比： ，即E 2) 两个塑性指标：延伸率： %10ll13
3、) 断面收缩率： 10A1四、 强度条件： ，对于等截面杆： ，其中：许maxNaxAF AFmax N,ax2用应力 ， u 及其值均与材料本身有关。n说明： ，截面面积越大，构件的抗拉、压能力越强。其抗拉压能力与截面形状无关A1只与截面面积有关。1) 刚度条件： ，拉压刚度 EA 越大，则其抵抗变形的能力越强。lEFlN（此式的适用范围为当应力不超过材料的比例极限时，即在比例极限内） 。拉压刚度。6) 杆件连接部分抗剪强度计算：在工程计算中，通常均假定剪切面上的切应力均匀分布，于是，连接件的切应力为其抗剪强度条件为 式中 As 为剪切面的面积， 等于连接件的抗剪AsF AsF强度极限除以安
4、全因数。2. 扭转构件：外力偶的作用面与轴线垂直。1) 动力传递与扭力偶矩之间的关系：， min/rkWmNP950M s/rkWmNnP159.2M2) 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理： （在微体的两个互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，而方向则均指向或均离开该交线。 ）剪切胡克定律： （此式的适用范围为当切应力不超过材料的剪切比例极限时，即G在比例极限内，G切变模量，其值与材料本身有关，其单位为 GPa。 ）各向同性材料有： （当已知任意两个弹性常数后，则可确定第三个弹性常12E数，即各向同性材料只有两个独立的弹性常数。 ）3) 强度条件：许用切应力： ， u 及 其值
5、均与材料本身有关n， 极惯性矩： ， ，其中pIT 32dI4p实 4p132DI空 Dd强度条件： ，对于等截面圆轴有：maxWpax pmaxaWT抗扭截面系数（模量）： ， ，其中16d3p实 43p16D空 Dd3说明： ， 越大，则轴抗剪能力越强。即构件的强度与轴的截面形状（空心pmaxW1或实心）有关。另外，轴类构件采用空心圆比实心圆省材料。对于塑性材料： 6.05对于脆性材料： t184) 刚度条件：两个横截面之间的相对扭转角： pIGlT扭转角的变化率： pIdx刚度条件： ， 对于等截面轴有：0maxp18GIT 0pmax18GIT 扭转刚度3. 弯曲构件：外力的作用线与轴
6、线垂直，外力偶的作用面与轴线共面。1) 材料性能不同选择截面不同：塑性材料： t=c，采用中性轴对称截面，脆性材料： t c，采用中性轴非对称截面，使中性轴靠近受拉一侧。2) 强度条件及如何进行合理强度设计任一点正应力公式： zIyM强度条件：对称截面粱： ，等截面梁：maxzaxWzmaxaxWM非对称截面粱： zaxIy式中：惯性矩： ， ， 64dI,z圆 4z16D空 心 圆 12bhI3,z矩梁弯曲时的切应力和梁的切应力强度条件任一点切应力公式： 式中 Fs ：横截面上的剪力； ：距中性轴 y 的横线以外部bISzs*F *zS分的横截面积对中性轴的静矩； ：横截面对中性轴的惯性矩；
7、b：截面的宽度。1 )矩形截面梁 2 )工字型截面梁 式中 d: 腹板的厚度；As3max dzmax*axIQ4：中性轴一侧的截面面积对中性轴的静矩；比值 可直接由型钢表查出。3 )max*zS max*zSI圆形截面梁的最大切应力 式中 A:圆形截面的面积AQ34max切应力强度条件为 bISFzmax* smax抗弯截面系数： ， ， 32dW,z圆 43z12D空 心 圆 6bhW2,z矩说明： ， z 越大，则梁抗弯能力越强。即构件的强度与梁的截面形状有关。max1另外，构件采用空心圆比实心圆省材料。梁的合理强度设计： zmaxzaxmaxMIy）梁的合理截面形状使用较小的截面面积，
8、却获得较大抗弯截面系数 的截面。 竖 横 即。）塑性材料： t=c，采用中性轴对称截面，脆性材料： t c，采用中性轴非对称截面，使中性轴靠近受拉一侧。）变截面梁与等强度梁）梁的合理受力，即梁支承的合理安排与载荷的合理布置。3) 刚度条件及如何提高梁的刚度刚度条件：挠度： ， 转角：max max合理刚度设计： EIlynax系 数载 荷）合理选择截面形状：使用较小的截面面积，却获得较大惯性矩 的截面，即增大惯性矩。 竖 横 即）合理选用材料使用弹性模量大的材料，对于钢材，其值差别不大。）梁的合理加强对于梁的危险区采用局部加强的措施，以提高值。）梁跨度的选取尽量减小跨度或增加中间约束。）合理安
9、排梁的约束与加载方式简单静不定梁的计算：4. 应力状态分析及复杂应力状态强度问题：1) 解析法求任一点在任意方向的应力计算 sin2-co2xyxyx-sinxyx2) 图解法求任一点在任意方向的应力应力圆5其圆心坐标为 ，半径为02yx，2xyxR自圆心与 x 面应力值的连线为始边逆时针旋转 2角，对应于应力圆上的点的应力值即为所求的截面处的应力值。3) 极值应力与主应力 2xyxyxminax2CAO， yx0t2ymaxinx0tan最大与最小主应力所在截面相互垂直，均位于应力圆中同一直径的两端，此两截面处的切应力为零。 2xyxminaxCK最大与最小切应力所在截面相互垂直，并与正应力
10、极值截面成 450 夹角。应力状态：构件受力后，通过其内一点所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态。主应力:主平面上的正应力称为主应力，通常按其代数值，依次用 ， 与 表示，即123。321根据主应力的数值情况，可将应力状态分为三类。单向受力状态:三个主应力中，仅一个不为零的应力状态，即前述单向应力或单向受力状态；二向应力状态:三个主应力中，两个主应力不为零的应力状态，称为二向应力状态。三向应力状态:三个主应力中，三个主应力均不为零的应力状态，称为三向应力状态。二向与三向应力状态统称为复杂应力状态。纯剪切状态的最大应力：， ，Ct，max Dcmax并分别位于 与 的截面上。45纯剪切状
11、态在微体的纵、横截面上，切应力取极值，其绝对值均等于 ，即minax4) 广义胡克定律二向应力状态下：xyyxE1三向应力状态下：6yxzzzyyxxE115) 强度理论：最大拉应力理论第一强度理论：认为引起材料断裂的主要因素是最大拉应力。强度条件： ，适用于脆性材料，其最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多。1最大拉应变理论第二强度理论：认为引起材料断裂的主要因素是最大拉应变。强度条件： ，适用于某些脆性材料在双向拉伸-压缩应力状态下，321r2且最大压应力值超过最大拉应力值时。最大切应力理论第三强度理论：认为引起材料屈服的主要因素是最大切应力。 231max强度条件： ，适用于塑性材料3
12、1r3畸变能理论第四强度理论：认为引起材料屈服的主要因素是畸变能。畸变能密度： 2132321d6E 强度条件： ，适应于塑性材料。2132321r4单向与纯剪切组合应力状态的强度条件：，23120按第三强度理论： 2r34按第四强度理论： r46) 弯拉（压）组合、弯扭组合与弯拉（压）扭组合的强度计算弯拉（压）组合（包括偏心压缩）的强度条件（单向受力）： zmaxNmaxWMAF弯扭组合的强度条件： ，WTM2r3 75T.022r4弯拉（压）扭组合的强度条件： 2Nr32NMr475. 偏心拉伸（ 压缩 )与截面核心作用在直杆上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起偏心拉伸或压
13、缩，中性轴的位置也将发生改变，经计算推导可得到8中性轴的方程为 ，分别令012yzie， ；于是得 ，0zyyzea即可得到中性轴和 z 轴 y 轴的交点zyzeia2坐标。 yzWMAFmax斜弯曲 zyzy WMIIMmaxaxmaxmaxmax矩形截面和圆形截面截面核心的位置6. 压杆稳定（A不需考虑被削弱的面积）：根据柔度将杆分为三大类，杆类型不同则其所采用的临界应力公式不同：临界应力总图：压杆的分类：a) 细长压杆（即大柔度杆，） ，用欧拉公式P2crE b) 中长杆（即中柔度杆，） ，采用经验公式SP直线公式 ，式中系数 a、b 为与材料b-acr性能有关的常数。抛物线公式 ， （
14、 ）系数21cr-0Pa 、b 为与材料性能有关的常数。c) 短粗杆（即小柔度杆，） ，用压缩强度公式（按强度问题处理）Scr杆的临界压力： ，对于大柔度杆：AFcrr2crlEIF惯性半径： ，AIi柔度： ， 柔度越大对杆的稳定越不利，il柔度越小对杆的稳定越有利。长度系数，与杆端约束有关。如何提高压杆的稳定性：）合理选择材料使用弹性模量大的材料，对于钢材，其值差别不大，对提高细长压杆9的稳定性作用不大，但高强度钢材，其屈服极限明显增大，故对于短粗杆采用高强度钢材可大大提高其强度。）合理选择截面对于细长杆及中长杆，其柔度越大临界力越小，对杆的稳定越不利，柔度越小临界力越大，对杆的稳定越有利
15、，而，对于一定长度与支承IAli方式的压杆，在横截面面积保持一定的情况下，应选择惯性矩较大的截面形状。在选择截面形状与尺寸的同时，还应考虑失稳的方向性。如果压杆两端为球形铰或固定端，宜选择主形心惯性矩 y x 的截面，若不然，应使得，即 。理AIlIlyzyzIlIl想的设计是使压杆在上述两个方向的柔度相等。）合理安排压杆的约束与选择杆长减少长度系数、减少支承长度，可提高压杆的临界力。7. 以下哪些量与材料的物性关系有关：摩擦系数、热膨胀系数、载荷、内力、内力偶矩、比例极限、屈服极限、名义屈服极限、强度极限、许用应力、极限应力、纵向变形系数、横向变形系数、泊松比、延伸率、断面收缩率、中性轴、惯
16、性矩、极惯性矩、抗扭截面系数、抗弯截面系数、弹性模量 E、剪切弹性模量 G、临界力、惯性半径、柔度、材料的强度、材料的刚度、长度系数。8. 为工程技术解决实际问题：1.用静力平衡方程求外力（理论力学范畴）2. 用截面法求内力3. 根据内力求应力、应变4. 为工程技术解决实际问题：a) 强度校核（刚度校核）b) 选择截面c) 确定许用载荷9. 实验结论分析：根据物性关系分析破坏截面位置。10. 压杆的稳定校核稳定因数法在压杆设计中，将压杆的稳定许用应力 写做st材料的强度许用应力 乘以一个随压杆柔度 而改变的稳定因数 ，即= 。stcrnt/安全系数法对于工程中的压杆，为保证其能安全正常工作而不
17、丧失稳定，应使压杆实际承受的轴向压力 F 小于相应的临界压力，而且应具有一定的安全储备。故稳定条件为 stwnFcr其中 F 是压杆的工作压力 压杆的w工作安全因数压杆的临界压力 规定的稳定安全crst因数11. 在运用欧拉公式计算压杆临界压力或压应力时，必须判断杆的柔度 和的关系是否满足 。 （p 是与比pp例极限 对应的柔度） 由可求得2pE，其中 钢制成的压杆 =101。35Q九. 能量法的总结功能定理 为广VWniF12i义的力 为广义的位移i应变能 1. 对于轴向拉压杆 F 等于杆的轴力 ，N 等于杆的轴向变形 所以应变能为EAlNL2. 对于扭转变形的圆轴 F 等于横截EAl2FV
18、N面上的扭矩 T， 等于轴两端的相对扭转角，所以圆轴扭转的应变能为 PGIlPGIl2TV3. 对于纯弯曲的梁 F 等于横截面上的弯矩 M，等于梁两端截面的相对转角 ，所以梁在纯EIl弯曲时的应变能为 l2V应变能密度 1. 单向应力状态下能量密度E2102. 纯切应力状态下能量密度 G2由应变能密度求解应变能 Vd余能 功和余功之和 FfWc0V余能密度 可以通过求余能密度0cd来求解余能大小。卡式第一定理 应该认识到 是kFk与 相对应的位移。k余能定理 对于线弹性体，弹性体kVc的余能数值等于应变能，进一步得到 kFV称为卡式第二定理。 为便于计算线弹性体杆件或杆系结构的位移，经推导可得
19、到下列具体公式对于拉压杆或桁架结构，有 dxFEAkNlk对于梁或平面钢架，有 dxFEklMI对于圆轴有 xklTGIpk单位载荷法，有对于拉压杆或桁架结构，有 dxEAFlNk对于梁或平面钢架，有 dxElIMk对于圆轴有 dxTlpkGI值得注意的是 是在没有添加单FN位载荷前的计算结果。十. 动载荷对于作等加速度直线运动的构件，动载荷系数为 ，gad1K杆件受冲击时动载荷系数为 ， 代表将冲击物体自stHd21Kt重视为静载荷作用在被冲击的弹性体上时相应的静位移。 ; ; sdFstdKstd十一 . 附录 A 平面图形的几何性质bn静矩和形心 xySAydxS形心坐标公式 由A上式可
20、以看出，若截面对于其一轴的静矩等于零，则该轴必通过截面的形心；反之，截面对于通过其形心的轴的静矩恒等于零。 对于组合图形的静矩等于每个图形的静矩之和，即 niixAy1SniiyAx1S组合图形截面形心坐标公式 niiiiAx1niiiiAy1极惯性矩 惯性矩 dp2IdAxIy2由于 ，所以yA22= = 惯性积 Iyx2yxI惯性半径 dyAx AiyIix平行移轴公式 aIxc2bIyc2abAyIxc组合截面的惯性矩即惯性积 nixxI11niyI1nixyiI1x12惯性矩和惯性积的转轴公式2sinco2I1 IxyIyxIx 2sinco2I1 IxyIyxIsinI1IIy主惯性轴位置的确定 设 角为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角则 0 Iyx2tan0主惯性矩的计算公式 xyIIxIx20 421Iy x20 41I十二 . 叠加法求挠度常用公式
