1、第二节 摸到红球的概率数学世界4.2 摸到红球的概率由博弈产生的科学概率概率的产生带有许多传奇色彩，正如著名的数学家拉普拉斯所说的那样：一门开始于研究博弈中输赢机会的学问，居然成为人类文化中最重要的科学，这无疑是令人惊讶的事情，这门科学就是概率.真正为概率奠定基础的是 17 世纪两位法国著名的数学家帕斯卡和费马.据说他们对当时一些博弈中提出的古怪问题进行了认真的讨论，发现这种偶然现象的规律用以往的数学方法无法解决，必须开创和发展新方法，并预见到这种新方法将会对自然科学和哲学产生深刻的影响.古怪问题的其中之一是“赌金分配问题” ，它直接推动了概率的产生.对与之类似的问题有的同学也许并不陌生，在上
2、学期的教科书中曾经提到过它，现在让我们再回顾一下.比如，两个人做掷硬币游戏，掷出正面甲得 1 分，掷出反面乙得 1 分，先得到 3 分的人将赢得一个大蛋糕.如果游戏因故中途结束，此时甲得了 2 分，乙得了 1 分，他们该如何分配这个蛋糕呢？甲乙二人对“蛋糕的如何分”发生了争论.乙说：“再掷出一次正面你就获胜，而再掷出两次反面我就获胜，因此你应得 块蛋糕，我应得 块.” “这不公平.”甲对此提出3231不满， “即使下一次掷出了反面，我们两人也是各得 2 分，各自得到 块蛋糕.何况下一次2还有一半的可能掷出正面，所以我应得 块蛋糕，你应得 块.”441历史上，也曾有人对类似这样的问题发生过争论，
3、他们最后决定去请教帕斯卡和费马.没想到这个问题居然一下子难住了两位大数学家，他们竟为此整整考虑了 3 年，最后终于解决了这个问题.同学们，你们一定想知道问题的答案，下面我们就尝试着讨论一下：假如上面的游戏继续下去，只要最多再掷两次硬币就一定能分出输赢.再掷两次硬币会发生什么结果呢？你完全可以用学过的知识解决它，利用“树状图”试一试！列出“树状图”后我们会发现，一共有四种可能的结果（正，正） 、 （正，反） 、 （反，正） 、 （反，反） ，其中前三种结果都是甲先得到 3 分，只有最后一种结果才能使乙先得到 3 分，因此，甲应得 块蛋糕，43乙应得 块蛋糕. 41第三课时课 题4.2 摸到红球的
4、概率教学目标（一）教学知识点通过摸球游戏，帮助学生了解计算一类事件发生可能性的方法，体会概率的意义.（二）能力训练要求通过活动，帮助学生更容易感受到数学与现实生活的联系，体验到数学在解决实际问题的作用，培养学生实事求是的态度和合作交流的能力.（三）情感与价值观要求通过学生对数据的收集、整理、描述和分析活动的创设，鼓励学生积极参与，培养学生自主、合作、探究的学习方法，培养学生的学习兴趣.教学重点概率的意义及计算方法.教学难点概率计算方法的理解.教学方法探究启发相结合.为了充分体现“以学生为主体”的教学理念，根据本节课内容主要采取了“自主、合作、探究”的探究式和启发式教学法.教具准备自制球箱（三面
5、暗，一面透明） ；红、白色乒乓球若干；蓝猫等卡通动物或人 10 个；扑克牌（分别标有 150 号） ；实物投影平台.教学过程.创设现实情景，引入新课师同学们，看我给大家带来了什么？生卡通人物.师你们想得到它吗？生想！师只是老师没带那么多，不能给每一位同学.为了使同学们有公平得到的机会，我手里有 50 张扑克牌，并标有同学们的学号（边说边展示给同学们看） ，下面老师找一位同学洗牌三次.接下来任选 10 名同学抽牌，若抽出的号码是你的学号，你就将是幸运学生，并到讲台前站好.（游戏开始）这 10 名学生是幸运学生，他们将有机会获得卡通人物.同学们，我这里有一个箱子（展示给学生） ，现在老师放两个乒乓
6、球进去，一个红色，一个白色，并把它们充分搅拌均匀.哪个同学摸到红球（边说边把“摸到红球”这四个字写到黑板上）老师就奖励他一个卡通人物.若摸到白球，老师就奖励他一个乒乓球.同学们判断一下，这 10 位同学获得卡通人物的机会相同吗？生相同.（摸球游戏开始）师让我们师生用掌声对今天最幸运的获得卡通人物的同学表示祝贺！同学们，刚才一共有几位同学摸球？生10 位.师共有几人是我们今天最幸运的？生 （根据实际情况回答）.师今天的摸球游戏与我们以前的哪个游戏相仿？生掷硬币.师若我们把今天的摸球游戏做更多次，那么摸到红球的可能性是多少？生 .21师 就表示摸到红球的可能性，我们把它称做摸到红球的概率（教师边说
7、边把“概率”两个字写到黑板上）.概率用英文 probability 的第一个字母 p 来表示，如刚才游戏中摸到红球的概率就可以表示为 P（摸到红球）= .21.讲授新课体会概率的意义，理解概率的计算方法.师把刚才的摸球游戏换成 3 个红球，1 个白球再进行一次.当然这些球除颜色不同外，完全相同，找一位同学参与摸球，同学们认为这名同学摸出任意一球，摸出的球可能是什么颜色？（在这样的设问中，若学生回答不正确，教师可让学习小组讨论交流.目的是让每一个学生都能积极参与.培养学生自主、合作、探究的学习方式.）生摸到的球可能是红球，也可能是白球，摸到红球的可能性大.师若将每个球都编上号码，分别记为 1 号
8、球（红） 、2 号球（红） 、3 号球（红） 、4 号球（白） ，那么摸到每个球的可能性一样吗？生一样.由于球的形状与大小都相同，所以摸到每个球的可能性是一样的.师任意摸出一球，你能说出所有可能出现的结果吗？（举手回答）生所有可能出现的结果有：1 号球、2 号球、3 号球、4 号球.师任意摸出一球，摸到红球可能出现的结果有几种情况？生摸到红球可能出现的结果有：1 号球、2 号球、3 号球.师摸到红球的概率是多少？同学们可在自己练习本上写出来.生P（摸到红球）= .43师很好，人们通常就是这样表示摸到红球的可能性即摸到红球的概率.其中分母“4”表示摸出一球所有可能出现的结果数，分子“3”表示摸出
9、一球是红球可能出现的结果数.师你能写出摸到白球的概率吗？（学生写在练习本上，教师巡视，对写错的同学给予纠正）生P（摸到白球）= .41师若把摸球游戏换成 4 个红球，那么摸到红球、白球的概率分别是多少？生P（摸到红球）=1；P（摸到白球）=0.师为什么摸到红球的概率是 1，而摸到白球的概率为 0 呢？（小组讨论，教师巡视并积极参与小组讨论）.生因为摸到红球这一事件是必然事件，而摸到白球这一事件是不可能事件.师在你的练习本上写出必然事件和不可能事件的概率.师你能猜出不确定事件的概率吗？（小组讨论）（先提问学生回答，不完善其他同学补充，最后教师把结论投影在屏幕上）P（必然事件）=1；P（不可能事件
10、）=0；0P（不确定事件）1.应用、深化1.试一试：例题教学（实物投影）例 1掷一枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有 1，2，3，4，5，6） ，“6”朝上的概率是多少？解：任意掷一枚均匀的小立方体，所有可能出现的结果有 6 种：“1”朝上， “2”朝上， “3”朝上， “4”朝上， “5”朝上， “6”朝上，每个结果出现的可能性即概率是一样的，其中“6”朝上的结果只有一种，因此P（“6”朝上）= .612.做一做：用 4 个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏.（1）使得摸到白球的概率为 ，摸到红球的概率也是 ；221（2）摸到白球的概率为 ，摸到红球和黄球的概率都是 ；14你能用
11、8 个除颜色不同外其他完全相同的球分别设计吗？（这是一个具有挑战性的活动，学生根据要求设计游戏，这体现了概率模型的思想，教师应在学生独立思考的基础上组织小组讨论，目的是培养学生自主、合作、探究的学习方式）.解：4 个球：（1）任意摸出一球所有可能的结果数是 4，若使摸到白球的概率为 ，21则摸到白球可能出现的结果数应为 2，即 4 个球中需有 2 个白球.同理，若使摸到红球的概率也为 ，则其余 2 个球应为红球.（2）同（1）可得若使摸到白球的概率为 ，则 4 个球中需有 2 个白球；若使摸到21红球和黄球的概率都是 ，则其余 2 个球应是 1 个红球，1 个黄球.418 个球：（1）4 个白
12、球，4 个红球；（2）4 个白球，2 个红球和 2 个黄球.3.练一练（1）一个均匀的小立方体的 6 个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6，任意掷出这个小立方体，分别计算下列事件的概率：a.掷出的数字是两位数；b.掷出的数字是偶数；c.掷出的数字小于 7；d.掷出的数字是 3 的倍数.分析任意掷出一个均匀的小立方块，所有出现的可能结果有 6 种，要求出上述4 个事件的概率，则需求出上述事件可能出现的结果数.如掷出的数字是两位数可能出现的结果数是 0，即它是一个不可能事件；掷出的数字是偶数，可能出现的结果数是 3，分别是“2”朝上， “4”朝上， “6”朝上；掷出的数字小于 7 可能出现的结
13、果数是 6，它是一个必然事件；掷出的数字是 3 的倍数，可能出现的结果数是 2，分别是“3”朝上，“6”朝上.解：a.P（掷出的数字是两位数）=0；b.P（掷出的数字是偶数）= = ；621c.P（掷出的数字小于 7）= =1；d.P（掷出的数字是 3 的倍数）= .316（2）一副扑克牌（去掉大、小王） ，任意抽取其中一张，抽到方块的概率是多少？抽到黑桃的概率呢？分析一副扑克牌去掉大、小王共 52 张，所以任意摸出一张，所有可能出现的结果数是 52，而抽到方块可能出现的结果数为 13，便可求出抽到方块的概率，抽到黑桃的概率类似求出.解：P（抽到方块）= = ；52134P（抽到黑桃）= ；4
14、.讲一讲举出日常生活中你所见到的“概率现象”.（帮助学生感受到概率与实际生活的联系，可让同学小组交流、讨论，教师可参与到学生的小组讨论中去）.5.赛一赛：（以学习小组为单位，抢答）（1）甲产品的合格率为 80%，乙产品的合格率为 98%，你认为哪一种产品更可靠？（2）在一次抽奖活动中，小明只抽了一张，就中了一等奖，能不能说这次抽奖活动中奖率为百分之百？为什么？（3）从一副扑克牌（除去大、小王）中任抽一张.P（抽到红心）= ；P（抽到黑桃 5）=_；P（抽到红心 3）=_；P（抽到 10）=_.（4）有 5 张数学卡片，它们的背面完全相同，正面标有数字 1，2，2，3，4，现将它们背面朝上，从中
15、任意抽一张卡片，则：a.P（抽到 1 号卡片） =_；b.P（抽到 2 号卡片）=_；c.P（抽到 3 号卡片） =_；d.P（抽到 4 号卡片）=_；e.P（抽到奇数号卡片）=_;f.P（抽到偶数号卡片）=_.（5）任意翻一下日历，翻出是 1 月 6 日的概率为_；翻出 4 月 31 日的概率为_.答：（1）乙产品更可靠.（2）不能.小明中奖是偶然事件，而不是必然事件.（3） ； ； ； .45213（4） ； ； ； ； ； .5（5） （一年按 365 天计算） ；0（因为 4 月 31 日不存在，翻出 4 月 31 日是不可361能事件）.课时小结师通过今天的学习，同学们都有什么收获？
16、（鼓励学生回答）师真高兴同学们有如此多收获，老师也有很多收获，同学们想听吗？通过今天的学习，老师深深地感觉到，我们都生活在一个充满概率的世界里，当我们慎重地迈出人生的每一步时，你有选择生存的方式和权利，但你不能使概率达到 100%.有的同学有 99%帮助别人的概率，但却选择了 1%的麻木不仁的概率，因为他还没有领会生命的真谛帮助别人，快乐自己.有的同学有 99%好好学习的概率，但却选择了 1%的不思进取的概率，因为他不懂得对青春的珍惜少壮不努力，老大徒伤悲.有的同学有 99%对父母说句“ 我爱你”的概率，但却选择 1%的沉默的概率，因为他还没有读懂父母对他的希冀只要你过得比我好.其实，这样的话
17、题还很多，举不胜举，我们往往忽视了自己所拥有的，殊不知这正是人生所要追求的最高境界.同学们，请珍惜自己的每一天，每一份拥有，用爱去拥抱生活，也许收获的不仅仅是赞誉，这便是概率的真谛.课后作业1.阅读教材 P107“概率小史” ；2.习题 4.3 1、2；3.课本 P108 试一试.活动与探究小明和小丽做如下游戏：任意掷出两枚均匀且完全相同的硬币，若朝上的面相同，则小明获胜；若朝上的面不同，则小丽获胜.小丽认为：朝上的面相同有“两个正面”和“两个反面”两种情况；而朝上的面不同只有“一正一反”一种情况，因此游戏对双方不公平，你认为呢？过程随意掷出两枚均匀且完全相同的硬币.我们可以编号，记为“1 号
18、”硬币，“2 号”硬币.硬币落地后出现 4 种结果：两枚都是正面朝上，记作（正，正） ；“1 号”硬币为正面朝上， “2 号”硬币反面朝上，记作（正，反） ；“1 号”硬币为反面朝上， “2号”硬币正面朝上，记作（反，正） ；两枚都为反面朝上，记作（反，反）.每种结果出现的概率相等，都是 ，即 P（正，正）=P（正，反）=P（反，正）=P（反，反）= .因41 4此抛掷两枚硬币朝上的面相同，即小明获胜的概率 P（朝上面相同）= = ；而抛掷两421枚硬币出现朝上的面不同即小丽获胜的概率 P（朝上的面不同）= = .结果抛掷两枚均匀且完全相同的硬币， “朝上的面相同”和“朝上的面不同”都出现了两
19、种情况，即它们的概率都为 ，因此游戏对双方是公平的.21板书设计4.2 摸到红球的概率其中 m:进行一次操作可能出现结果 A 的总数；n:进行一次操作可能出现的所有结果总数 .参考练习4.2 摸到红球的概率1.现 有 数 学 、 语 文 、 英 语 、 物 理 和 化 学 书 各 1 本 ， 从 中 任 取 1 本 ， 求 取 出 的 是 理 科 书 的概 率 .2.一个小立方体的六个面，分别标有 1、2、3、4、5、6，也就是每个面代表一个数，把这个小立方块随意抛掷，（1）写出 3 的这面向上的概率.（2）如果甲、乙两人做游戏，每人连续抛两次，甲说：“如果两次向上的面上的数相加是 3 或 4
20、，我就获胜.”乙说：“如果向上的面上的数的和是 7 或 8，我就获胜.”如果不是这几个数，他们重新开始，直到一方获胜为止，问哪一个获胜的可能性较大？获胜的概率是多少？答案1.从 5 本书中任取 1 本，共有 5 种结果；取出的是理科书有 3 种结果.所以P（取出理科书）= .32.（1）P（写着 3 的面朝上）= .6（2）每人连续抛两次，共有 66=36 种结果，其中“两次向上的面上的数相加是 3或 4”记作事件 A.A 发生的所有可能的结果共有 5 种即（1，2） ， （1，3） ， （2，2） ，（2，1） ， （3，1） ，所以 P（A）= ；“两次向上的面上的数相加是 7 或 8”记
21、作事件 B.B365发生的所有可能的结果共有 11 种即（4，4） ， （3，5） （2，6） ， （5，3） ， （6，2） ， （2，5） ，（3，4） ， （1，6） ， （5，2） ， （4，3） ， （6，1） ，所以 P（B）= .由此可知乙获胜的概率1较大，即乙获胜的可能性大.2.摸到红球的概率（5 分钟练习）老师为了丰富同学们的业余生活，有个让同学们互相学习、互相促进的机会，提高自主学习的能力，发挥学生主观能动性，根据大家的爱好，分成了若干个课外学习小组.下面是某个学习小组成员，他们一共 8 人，其中有 5 名男生，有 3 名女生.现在要在他们中间抽一名学生去参加比赛.请问：1
22、.抽到男生和抽到女生的可能性一样吗？_.2.如果把每个学生都编上号码：1 号(男生） ，2 号( 男生） ， 3 号(男生） ，4号(男生） ，5 号(男生） ，6 号( 女生） ，7 号( 女生） ，8 号(女生） ，那么抽到每个人的可能性一样吗？_.3.任意抽一人，说出所有可能出现的结果._.2.摸到红球的概率1.不一样 2.一样 3.略2.摸到红球的概率（15 分钟练习）一、任意掷一个均匀的骰子，偶数点朝上的概率为_.整数点朝上的概率为_.大于等于 4 个点朝上的概率为_.小于等于 3 个点朝上的概率为_.大于 2 个点朝上的概率为_.二、盒 子 里 有 4 个 白 球 ， 3 个 红
23、球 ， 1 个 黄 球 ， 每 个 球 除 颜 色 外 都 相 同 ， 从 中 任 意 摸 出一 个 球 ， 则P（摸到白球）=_.P（摸到红球）=_.P（摸到黄球）=_.三、一副扑克牌共 54 张，其中，红桃、黑桃、红方、梅花各 13 张，还有大小王各一张.任意抽取其中一张，则P（抽到红桃）=_.P（抽到黑桃）=_.P（抽到小王）=_.P（抽到大王）=_.四、十分钟内有 5 辆 5 路公共汽车开出，其中 4 辆是双开门，1 辆是单开门.小张在车站等车，等来的是双开门的 5 路车的概率为 P1=_，是单开门的 5 路车的概率为P2=_.五、初一（2）班共有 6 名学生干部，其中 4 名男生，2 名女生.任意抽一名学生干部去参加一个会议，其中是女生的概率为 P1=_，其中是男生的概率为P2=_.六、选做题学校教学楼内一层楼有 10 个教室，小丁、小新、小丽分别在其中的一个教室内，王老师有事想找他们，请你算出王老师任意走进一个教室找到他们中一个的概率.2.摸到红球的概率一、 1 232二、 8三、 543541四、 1五、 32六、 10
