1、数学实验报告书实验者：庞树江试验单位：保定学院资源与环境系。实验序号：01实验名称：田鼠和猫头鹰的共存关系的探讨。问题背景：在研究生态系统时，经常要遇到两个物种相互作用的情况，本书中问题如下：在某种环境下，猫头鹰的主要食物来源是田鼠，设田鼠的年平均增长率为 r1,猫头鹰的存在引起田鼠增长率的减小，其数值与猫头鹰的数量成正比，比例系数为 a1;猫头鹰在没有田鼠的情况下，其年减少率为 r2,同时田鼠的存在引起猫头鹰减少率的增加，其数值与田鼠的数量成正比，比例系数为 a2。实验要求：建立差分方程，描述田鼠与猫头鹰共处时的数量变化规律，对以下条件进行 50 年的数值模拟，1， r1=0.2,r2=0.
2、3,a1=0.001,a2=0.002,开始时有 100 只田鼠和 50 只猫头鹰。2， r1,r2,a1,a2 同上，开始有 100 只田鼠和 200 只猫头鹰。3， 适当改变参数 a1,a2,初始值同上。4， 求差分方程的平衡点，及其稳定性的判别。实验目的：学会建立差分方程，使用 matlab 进行数值模拟，对其规律性进行阐述。实验步骤：1， 模型假设及其符号说明（1） ，假设在变化过程中，田鼠和猫头鹰的数量均是在每年末发生变化的，即不考虑一年中的增减，变化过程的离散化导致的。（2） ，假设忽略其他环境因素，只考虑田鼠和猫头鹰的相互作用关系。记 t(k),m(k)分别为时刻 t 的田鼠的数
3、量和猫头鹰的数量。r1,r2,a1,a2,t0,m0 分别为田鼠的年均增长率，猫头鹰的年减少率，田鼠减少的系数，猫头鹰的增加系数，田鼠的初始值，猫头鹰的初始值。2，模型的建立如前所述，假设在没有猫头鹰的情况下，田鼠以年均增长率 r1 增长，即 t(k+1)=(1+r1)*t(k)。一旦有猫头鹰的捕食作用，田鼠的减少量与二者的见面概率成正比，比例系数为 a1，即 t(k+1)=(1+r1)*t(k)-a1*t(k)*m(k)。同样，假设在没有田鼠的情况下，猫头鹰以年减少率 r2衰减，即 m(k+1)=(1-r2)*m(k),如果有田鼠作为其食源，猫头鹰的减少率将会增加，其数值与二者见面的概率成正
4、比，比例系数为 a2,即 m(k+1)=(1-r2)*m(k)+a2*t(k)*m(k)。所以，我们建立如下模型：t(k+1)=(1+r1)*t(k)-a1*t(k)*m(k)，m(k+1)=(1-r2)*m(k)+a2*t(k)*m(k)，t0,m0 为初始时刻的田鼠数量和猫头鹰的数量。3 模型的求解运用matlab进行数值模拟和数据可视化，其程序代码为：n=input(年限： );r1=input(田鼠的增长率： );r2=input(猫头鹰的减少率： );a1=input(田鼠的减少系数： );a2=input(猫头鹰的增加系数： );t0=input(田鼠的初始值 :);m0=inpu
5、t(猫头鹰的初始值： );t=t0;m=m0;for k=1:nt(k+1)=(1+r1)*t(k)-a1*t(k)*m(k);m(k+1)=(1-r2)*m(k)+a2*t(k)*m(k);endz=t,m;round(z)k=0:n;plot(k,z(:,1),k,z(:,2);grid onxlabel(时间（年） ),ylabel(数量（只） );title(猫头鹰与田鼠共存关系图 );gtext(田鼠的数量 );gtext(猫头鹰的数量 );数值模拟1.r1=0.2,r2=0.3,a1=0.001,a2=0.002,t0=100,m0=50，n=50, 输入程序得到结果如下：时间 田
6、鼠的数量 猫头鹰数量0 100 501 115 452 133 423 154 404 178 415 207 436 239 487 276 568 315 719 356 9410 394 13311 420 19712 421 30413 377 46914 276 68215 143 85416 49 84217 18 67218 9 49419 7 35520 6 25321 5 18022 5 12823 6 9124 6 6525 7 4626 8 3327 10 2428 11 1729 14 1230 16 931 19 732 23 533 27 434 33 335 39
7、 236 47 237 56 138 68 139 81 140 97 141 116 142 140 143 167 144 201 145 241 146 289 147 364 148 415 149 498 250 596 4图形显示为：2.r1=0.2,r2=0.3,a1=0.001,a2=0.002,t0=100,m0=200，n=50,输入程序得到结果如下：时间 田鼠的数量 猫头鹰数量0 100 2001 100 1802 102 1623 106 1464 112 1345 119 1236 128 1167 139 1118 151 1089 165 10810 180 11
8、211 196 11812 212 12913 227 14614 240 16815 247 19816 248 23717 239 28318 219 33319 190 37920 156 40921 123 41422 97 39223 78 35024 67 30025 60 25026 57 20527 57 16728 59 13529 62 11130 68 9131 75 7632 85 6533 96 5634 110 5035 126 4636 146 4437 168 4438 195 4539 225 4940 259 5741 296 6942 334 8943 3
9、72 12244 401 17645 410 26446 384 40247 306 58948 187 77449 80 83150 29 714图形显示为：令a1=0.004,a2=0.005,将t0=100,m0=200,r1,r2,n同上，输入程序得到结果如下：时间 田鼠的数量 猫头鹰数量0 100 2001 40 2402 10 2163 3 1624 2 1165 1 826 1 587 1 418 1 299 1 2010 1 1411 2 1012 2 713 2 514 3 415 3 316 4 217 4 118 5 119 6 120 7 121 9 022 11 02
10、3 13 024 15 025 18 026 22 027 26 028 31 029 38 030 45 031 54 032 65 033 78 034 94 035 113 036 135 037 162 038 194 039 233 040 279 041 335 142 400 243 477 744 559 2045 626 7046 576 26947 71 96348 -188 101649 538 -24450 1171 -827图形显示为：3.稳定性的分析假设该动力系统的平衡点是存在的，设为（t,m）,该点应该满足t=(1+r1)*t-a1*t*m和m=(1-r2)*m+
11、a2*t*m，用matlab解得，t=150,m=200. 经过对差分方程组的线性代替方程组的特征值的分析，可以得到1， 2（1=0.000496 ，2=0.201503）。可见1，20，所以该差分方程组的稳定点是不稳定的，这个结果从图上可以看出，即我们给参数以一定的合理的变化幅度，结果是运行的结果具有很大的波动性，由此可以说明：这个生态系统是脆弱的，易受外界干扰。在（150,200）处时，将此过程进行数值模拟得到（r1=0.2,r2=0.3,a1=0.001,a2=0.002,t0=150,m0=200，n=50）：时间 田鼠的数量 猫头鹰数量0 150 2001 150 2002 150
12、2003 150 2004 150 2005 150 2006 150 2007 150 2008 150 2009 150 20010 150 20011 150 20012 150 20013 150 20014 150 20015 150 20016 150 20017 150 20018 150 20019 150 20020 150 20021 150 20022 150 20023 150 20024 150 20025 150 20026 150 20027 150 20028 150 20029 150 20030 150 20031 150 20032 150 20033 1
13、50 20034 150 20035 150 20036 150 20037 150 20038 150 20039 150 20040 150 20041 150 20042 150 20043 150 20044 150 20045 150 20046 150 20047 150 20048 150 20049 150 20050 150 200图形显示为：可以看到，在（150,200）时，二者的数值达到稳定。一旦离开这个值，该系统将发生动荡。结论：通过上述三种不同情况下的数值模拟和稳定性分析，我们得出如下结论：1.该差分动力系统是全局不稳定的，对参数的改变是敏感的，具有突变性。2.只有在（150，200）时，实现局部的稳定。实验报告完毕，请指导老师批阅，并予以斧正。2011-10-25
