1、集合与简易逻辑一、基础知识：(参阅金牌之路竞赛辅导高中数学第一讲：集合；第三十八讲：容斥原理；金牌之路竞赛解题指导高中数学第 2 讲：集合)1. 元素与集合：aA,bA2. 集合与集合：A B,AB,AB,AB,AB, UA,3. 差集：ABx|xA 且 xB(部分资料上用“AB”表示)4. 集合运算律：(略)5. n 个元素的集合所有子集个数为：2 n6. 覆盖与划分：如果集合 SS 1S 2S n，则 S1、S 2、S n叫做集合 S 的一个覆盖；如果同时又有 SiS j(ij),则 S1、S 2、S n叫做集合 S 的一个划分.7. 容斥原理：card(AB)card(A)card(B)
2、card(AB)card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC)该结论可以推广到 n 个集合.8. 命题与推理：简单命题与复合命题，逻辑关连词“或” 、 “且” 、 “非”的应用，逆命题、否命题、逆否命题及其真假性的判断9. 充要条件：如果 AB，则称 A 是 B 的充分条件，同时称 B 是 A 的必要条件10. 数学悖论：对于命题 p，如果 p 正确，则可以推导出“非 p”，而如果 p 错误，又可以推导出 p 正确。也称“二难问题” 。二、例题：1. 已知集合 A1，3，x，B1，x 2，AB1，3，x，则这样的
3、x 的不同的值有( )个A.1 B.2 C.3 D.4 已知集合 M 中的元素都是自然数，且如果 xM，则 8xM，则满足这样条件的集合 M 的个数为( )(注：自然数包括 0)A.64 B.32 C.16 D.8 求集合xZ| 2 x32的真子集个数.214. 在 1120 的 120 个自然数中，素数与合数各有多少个？5. 已知 Ma，ad，a2d，Na，aq，aq 2，且 MN，求 q 的值.6. 在数理化三科竞赛辅导中，高一 10、11、12 班参加数学辅导的有 168 人，参加物理辅导的有 187 人，参加化学辅导的有 155 人，数学、物理两科都参加的有 139 人，数学、化学两科
4、都参加的有 127 人，物理、化学两科都参加的有 135 人，数理化三科都参加的有 102人，问这三个班总共有多少人至少参加了一科的辅导？解：根据容斥原理，至少参加一科辅导的学生人数为：1681871551391271351022117. 求证：任意 n1 个整数中，总有两个整数的差能被 n 整除。提示：利用余数构造 n 个集合，根据抽屉原理，至少有两个整数放在一个集合里，它们同余，它们的差一定能被 n 整除.8. 证明：若购买超过 17 千克（整数千克）的粮食，只用 3 千克和 10 千克的粮票支付，而无需要找补。解：本题其实就是证明大于 17 的整数都能表示为 3m10n 的形式，其中 m
5、,n 都是非负整数.注意到：大于 17 的整数可以写成 3k,3k1,3k2(k6)的形式，而 3k13(k3)10,3k23(k6)102，因此它们都能够表示成 3m10n 的形式，其中 m,n 都是非负整数.9. 设 A 是数集，满足若 aA，则 A，且 1A.a1若 2A，则 A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.A 能否为单元素集合？分别在实数集和复数集中进行讨论.若 aA，证明：1 A.a1解：2A 1A A 2A2 A 中至少还有两个元素：1 和 1如果 A 为单元素集合，则 a 1即 a2a10该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集但该方程有两个虚数解：a i23
6、1故在复数范围内，A 可以是单元素集，A i或 A i231231aA A A，即 1 Aa1a1a10. 设 S 为集合1，2，3，50的一个子集，且 S 中任意两个元素之和不能被 7 整除，则 S 中元素最多有多少个？将这 50 个数按照 7 的余数划分成 7 个集合A0=7,14,21,28,35,42,49A1=1,8,15,22,29,36,43,50A2=2,9,16,23,30,37,44A3=3,10,17,24,31,38,45A4=4,11,18,25,32,39,46A5=5,12,19,26,33,40,47A6=6,13,20,27,34,41,48除去 A0中的 7
7、 个元素外，其余集合中的元素都不能被 7 整除，而且其余六个集合的每一个集合中任意两个元素之和也不能被 7 整除，但是，A 1和 A6、A 2和 A5、A 3和 A4中如果各取一个元素的话，这两个元素之和能够被 7 整除，因此，所求集合中的元素可以这样构成：A0中取一个，然后在 A1和 A6、A 2和 A5、A 3和 A4每一组的两个集合中取一个集合中的所有元素，为了“最多” ，必须取 A1中的 8 个，然后可以取 A2、A 3中各 7 个元素，因此 S 中元素最多有 1+8+7+7=23 个11. 已知集合 A 中有 10 个元素，且每个元素都是两位整数，证明：一定存在这样两个 A 的子集，
8、它们中没有相同的元素，而它们的元素之和相等.解：这 10 个元素的总和 S100101000而 A 的子集总共有 21010241000S根据抽屉原理，至少存在两个子集，他们的元素之和相等，记为 M、N，如果 M、N 没有公共元素，则 M、N 就是满足题意的子集，命题得证.如果 M、N 中有公共元素，记 MNQ,考查集合 MMQ,NNQ则 M、N中没有公共元素，且 M、N的元素之和相等，同时它们都是 A 的子集.即 M、N为所求集合.命题成立！12. 老师手中拿有三顶白色帽子和两顶红色帽子，他让三个学生按前后顺序站成一列，然后让他们闭上眼睛，给他们每人戴上一顶帽子，并将剩下的两顶帽子藏了起来，
9、三人睁开眼睛后，后面的人可以看见前面人的帽子颜色.这时老师问：“你们谁能判断出自己戴的帽子的颜色？”结果三人都说：“不能！”老师又说：“你们再考虑考虑，能判断出来吗？”三人思考了一会儿，还是都说：“不能！”老师再一次问：“真的不能吗？” ，这时，站在最前面的同学突然说：“老师，我知道我戴的帽子颜色了！”请问，这位同学戴的帽子是什么颜色的？他又是怎样判断出自己帽子的颜色的？答：白色.不妨从前到后记三人为甲乙丙，第一次问，甲乙自然无法判断，而丙也无法判断，说明甲乙二人戴的帽子颜色为“两白”或“一红一白”第二次问，丙的情形没有变化，也无法判断，这时，甲和乙可以动脑筋了，既然甲乙的帽子颜色为“两白”或
10、“一红一白” ，如果乙看到甲的帽子颜色为红色，则乙的帽子颜色肯定为白色，这样乙就应该在老师第二次提问时回答出答案，这说明乙看到的甲的帽子颜色为白色.因此乙无法判断自己帽子的颜色.这样，当老师第三次提问时，甲就可以利用前两次乙和丙“不知道”的回答给自己的提示，从而准确地判断出自己所戴帽子的颜色为白色.13. 孙膑是中国古代著名的军事学家，他的兵法众人皆知.一天，大王决定要考一考孙膑的才能，便对孙膑说：“请你用计让我走下我的宝座.”一旁的庞涓争着说：“我把大王拖下来！”大王对他的答案立即给予否定：“这不是用计！”庞涓又说：“那我用火烧！”大王也不以为然，这时孙膑说：“大王，要你走下宝座确实不易，但
11、如果你来到宝座下面的话，我可以用计让你走回去！”大王一心要试一试孙膑的智力，毫不犹豫地走了下来等待孙膑用计，这时孙膑说：“大王，我已经成功了！”大伙儿一时都糊涂了，这是怎么回事呢？其实这是孙膑给大王设下了一个“二难”的格局，如果大王不下宝座，则孙膑的的前提“如果你来到宝座下面”不成立，这样我的智力无法表现出来了，而如果大王走下宝座，则“我已经让你走下了宝座” 。因此，无论大王怎么样动作，孙膑都能够保证自己至少不输！14. 这里是五间并排的商店。它们的店员分别是高太太(她不是美容师) 、林先生(他不是水果商)、刘先生(他不是药商)、李先生(他不是杂货商) 及卢小姐( 她不是开花店的)。卢小姐的店
12、铺位于这排商店的最后一间，刘先生的隔邻是杂货店，而他跟水果商很友善，希望有一天她能把店铺转让给他。如果上面这一段文字已经能确定出每间店铺的主人，你能得出详细结果吗？解：注意：题目叙述中已经透露出水果商是女性，并注意到“这一段文字已经能确定出每间店铺的主人” ，画出推理表即可得出正确结论美容师 水果商 药商 杂货商 开花店高太太 O 林先生 O 刘先生 O李先生 O 卢小姐 O 练习：1. 集合 Aa 2，a1，3，Ba3，2a1，a 21，若 AB3，则 a 的值是( )A.0 B.1 C.2 D.12. 设 AxZ|x 2px150，BxZ|x 25xq0，若 AB2，3，5，则集合A，B
13、分别是( )A.3，5，2，3 B.2，3，3，5 C.2，5，3，5 D.3，5，2，53. 50 名学生参加跳远和铅球两项测试，成绩及格的人数分别为 40 人和 31 人，两项成绩都不及格的有 4 人，那么两项成绩都及格的有( )人A.35 B.25 C.28 D.154. 集合xN|0|x1|3的真子集个数为( )A.16 B.15 C.8 D.75. 设 Ax|2x 2pxq0，Bx|6x 2(p2)x5q0，若 AB ，求 AB.216. 已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素，AB 含有 4 个元素，试求同时满足下面两个条件的集合 C 的个数:CAB，且 C 中含有 3 个元素，CA.7. 已知集合 Ax|x 23x20，Bx|x 2ax(a1)0，Cx|x 2mx20，且ABA，ACC，求实数 a 的值和 m 的取值范围.8. (理发师悖论)某个小岛上只有一个理发师，因此小岛上的所有人理发都只好找这个理发师，一天，这个理发师自豪地说：“我给这个小岛上所有不给自己理发的人理发，也只给这些人理发！”请问：理发师的这句话有什么问题？竞赛讲座资料可以从肖宏老师个人主页下载：http:/
