1、第 1 页 共 15 页2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效3将填空题和解答题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内答在试题卷上无效4考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交一、选择题：本大题共 10 小题，每小题
2、5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数 的最小值为（ ）23nx n3 5 6 102将 的图象按向量 平移，则平移后所得图象的解析式为（ cos3y24且a） s24xcos3xy 2co31y 2213设 和 是两个集合，定义集合 ，如果 ，PQ|PQxxQ且2|log1Px，那么 等于（ ）|2x |01|01x |2x |234平面 外有两条直线 和 ，如果 和 在平面 内的射影分别是 和 ，给出下列mnnmn四个命题： ；mn ； 与 相交 与 相交或重合； n 与 平行 与 平行或重合其中不正确的命题个数是（
3、 ）1 2 3 4第 2 页 共 15 页5已知 和 是两个不相等的正整数，且 ，则 （ ）pq2q 1limpqnA0 B1 C Dpq1pq6若数列 满足 （ 为正常数， ） ，则称 为“等方比数列” na21nnNna甲：数列 是等方比数列； 乙：数列 是等比数列，则（ ）n naA甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7双曲线 的左准线为 ，左焦点和右焦点分别为 和 ；21:(0)xyabb， l 1F2抛物线 的准线为 ，焦点为 与 的一个交点为 ，则 等于（ 2Cl21FC； 2M122）A B C
4、D1128已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 A 和 ，且 ，则使得nabnnB7453n为整数的正整数 的个数是（ ）nabA2 B3 C4 D59连掷两次骰子得到的点数分别为 和 ，记向量 与向量 的夹角mn()mn，a=(1)，b为 ，则 的概率是（ ）0，A B C D512127125610已知直线 （ 是非零常数）与圆 有公共点，且公共点的横xyab， 210xy坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）A60 条 B66 条 C72 条 D78 条第 3 页 共 15 页二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡相应位置上11已知函数 的
5、反函数是 ，则 ； 2yxa3ybxab12复数 ，且 ，若 是实数，则有序实数对 可izbR， ， 024z()ab，以是 （写出一个有序实数对即可）13设变量 满足约束条件 则目标函数 的最小值为xy， 23.xy ， xy14某篮运动员在三分线投球的命中率是 ，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的概率1 （用数值作答）15为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 （毫克）与时y间 （小时）成正比；药物释放完毕后， 与 的函数关系式为t t（ 为常数） ，如图所示据图中提供的信息，回答16tay下列问题：（I）从药物释放开始，每立方米空
6、气中的含药量 （毫克）与y时间 （小时）之间的函数关系式为 ；t（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时，学生方可进教室，那0.25么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16 （本小题满分 12 分）已知 的面积为 ，且满足 ，设 和 的夹角为 ABC 306ABC ABC（I）求 的取值范围；O0.11（毫克）y（小时）t第 4 页 共 15 页（II）求函数 的最大2()sin3cos24f值与最小值17 （本小题满分 12 分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细
7、的一种量）共有 100 个数据，将数据分组如右表：（I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II）估计纤度落在 中的概率及纤度小于1.3850)，的概率是多少？1.40（III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间 的中点值是 ）作为代.4)， 1.32表据此，估计纤度的期望18 （本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， 是 的中点，且VABC ABC DAB， ACaD02（I）求证：平面 ；（II）当解 变化时，求直线 与平面 所成的角的取值范围VBVADC19 （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 中，过定点 作直线与抛
8、物线 （ ）相交于xOy(0)Cp， 2xpy0两点AB，（I）若点 是点 关于坐标原点 的对称点，求 面积的最小值；NANB（II）是否存在垂直于 轴的直线 ，使得 被以 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若ll存在，求出 的方程；若不存在，说明理由l分组 频数1.304)， 48， 25.)， 301426， 9.50)， 1， 2合计 0第 5 页 共 15 页ABxyNCO（此题不要求在答题卡上画图）20 （本小题满分 13 分）已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 设21()fxax2()3lngaxb0a两曲线 ， 有公共点，且在该点处的切线相同()yfxg（I）用 表示 ，并求 的
9、最大值；ab（II）求证： （ ） ()f 0x21 （本小题满分 14 分）已知 为正整数，mn，（I）用数学归纳法证明：当 时， ；1x()1mx（II）对于 ，已知 ，求证 ，6 32n32m求证 ， ；1132mn， ， ，（III）求出满足等式 的所有正整数 4(2)(3)nnm n2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分1 2 3 4 56 7 8 9 10二、填空题：本题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 25 分11 12 （或满足 的任一组非零实数对 ）且(1)
10、且2ab()ab且第 6 页 共 15 页13 14 15 ；0.6321528106ty且且 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分16本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力解：（）设 中角 的对边分别为 ，ABC 且abc且则由 ， ，可得 ， 1sin32bc0cos6b 0ot1 42且（） 2()i324f1cs23cos(1sin)3cosinoin1， ， 42且 263且 2si3 即当 时， ；当 时， 51max()f4min()f17本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的
11、统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力解：（）分组 频数 频率1.304且4 0.04825 0.25.2且30 0.3014629 0.29.50且10 0.102 0.02合计 100 1.00样本数据频率/组距1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54第 7 页 共 15 页（）纤度落在 中的概率约为 ，纤度小于 1.40 的概1.3850且0.329.10.69率约为 0.424（）总体数据的期望约为1.3.651.03.0291.480.521.40818本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量
12、知识解决数学问题的能力解法 1：（） ， 是等腰三角形，又 是 的中点，ACBa ACB DAB，又 底面 于是 平面 D VV VC又 平面 ， 平面 平面 B（） 过点 在平面 内作 于 ，则由（）知 平面 DH连接 ，于是 就是直线 与平面 所成的角H在 中， ；CRt 2sina设 ，在 中， ， BBHCt si2sin，02， sin1 20sin又 ， 02 4即直线 与平面 所成角的取值范围为 BCVA04且ADBCHV第 8 页 共 15 页解法 2：（）以 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空CABV且 xyz间直角坐标系，则 ，2(0)(0)()0tan2a
13、aDV且且于是， ， ， 2tnaVD且C且()AB且从而 ，即 21(0) 0aABCa且 CD同理 ，21()tn02VD且即 又 ， 平面 ABCAB VCD又 平面 平面 平面 V（）设直线 与平面 所成的角为 ，平面 的一个法向量为 ，V()xyz且n则由 0ABD且n得 2tan0axyz且可取 ，又 ，(1cot)且n()BCa于是 ，2si sincota， ， 02 0sin1 0si又 ， 4即直线 与平面 所成角的取值范围为 BCVA04且解法 3：（）以点 为原点，以 所在的直线分别为 轴、 轴，建立如图所DCDB且 xyA D BCVx yz第 9 页 共 15 页示
14、的空间直角坐标系，则 ，222(0)000DAaBaCa且，于是 ， ，20tanV且 tnV且D且()AB且从而 ，即 02DCa且 0且 ABC同理 ，即 2()tan0ABV且 DV又 ， 平面 CAB VCD又 平面 ，平面 平面 V（）设直线 与平面 所成的角为 ，平面 的一个法向量为 ，VAB()xyz且n则由 ，得0ABD且n20tan0ayxz且且可取 ，又 ，(ta1)且2Ca且于是 ，tnsinsi1aB， ， 02 0sin 20sin又 ， ， 4即直线 与平面 所成角的取值范围为 BCVA04且解法 4：以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐且
15、xyz标系，则 (0)(0)()02aaBD且 A D BCV x y第 10 页 共 15 页设 (0)Vt且（） ，0(0)2aCtDABa且，(0)(ABVat且即 ，2()02aCD且即 AB又 ， 平面 VAB VCD又 平面 ，平面 平面 （）设直线 与平面 所成的角为 ，C设 是平面 的一个非零法向量，()xyz且nVAB则 取 ，得 (0)0()ABaxayzttz且 axyt可取 ，又 ，t且n()CB且于是 ，22221si tatat， 关于 递增(0)t且 sint， 1i2 04且即直线 与平面 所成角的取值范围为 BCVA04且19本小题主要考查直线、圆和抛物线等平
16、面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解法 1：（）依题意，点 的坐标为 ，可设 ，N(0)p且12()()AxyB且ADBCVxyz第 11 页 共 15 页直线 的方程为 ，与 联立得 消去 得ABykxp2y2xpyk且220xpk由韦达定理得 ， 12xpk212xp于是 2ABNCANSS 21211()4pxxx，48kpk当 时， 02min()ABNS（）假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，lya的中点为 ， 与 为直径的圆相交于点 ， 的中点为 ，ACOlCPQ且H则 ， 点的坐标为 HPQ12xyp且，22111()2A，11ypOa
17、ayp222PH 2 211()()4ayp，1()paya22()PQ 14()pya令 ，得 ，此时 为定值，故满足条件的直线 存在，其方程为0paaPQl，2y即抛物线的通径所在的直线解法 2：（）前同解法 1，再由弦长公式得22222111()448ABkxkxxkp NOACByxNOACByxl第 12 页 共 15 页，21pk又由点到直线的距离公式得 21pdk从而 ，2121ABN pS k 当 时， 0k2min()ABNp（）假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，则以 为直径的圆的方程为lyaAC，11()()0xy将直线方程 代入得 ，a21()0xpy则 21114(
18、)4()xpyaa设直线 与以 为直径的圆的交点为 ，lAC34PxyQxy且则有 341 1()2()2ppPQxaaa令 ，得 ，此时 为定值，故满足条件的直线 存在，其方程为02paPl，y即抛物线的通径所在的直线20本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力解：（）设 与 在公共点 处的切线相同()yfx()0gx0()xy且， ，由题意 ， ()2fxa 23 00)fg00()fgx即 由 得： ，或 （舍去） 220001ln3xbax且且 2003ax003xa即有 22215lnlnb第 13 页 共 15 页令 ，则 于是25()3ln
19、(0)htt()213ln)htt当 ，即 时， ；1ltt13te0t当 ，即 时， (3n)0()h故 在 为增函数，在 为减函数，ht13e且13e且于是 在 的最大值为 ()t0)且 1233h（）设 ，22( ln(0)Fxfgxaxbx则 ()23)(30)a故 在 为减函数，在 为增函数，x0且(且于是函数 在 上的最小值是 ()F) 00()()Faxfgx故当 时，有 ，即当 时， x(0fxg 21本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力解法 1：（）证：用数学归纳法证明：（）当 时，原不等式成立；当 时，左边 ，右边
20、 ，m2m21x1x因为 ，所以左边 右边，原不等式成立；20x （）假设当 时，不等式成立，即 ，则当 时，k(1)kx mk， ，于是在不等式 两边同乘以 得1x x 1x，2()()1()()kkkxk 所以 即当 时，不等式也成立1xx 1m综合（） （）知，对一切正整数 ，不等式都成立（）证：当 时，由（）得 ，6nn且 1033mnn第 14 页 共 15 页于是 ， 1133nnmm 132mn1n且（）解：由（）知，当 时，6，2121113332nnnnn nnn即 即当 时，不存在满足该等式的正整数 34(2)(3)nnn 6 n故只需要讨论 的情形：145且当 时， ，等
21、式不成立；当 时， ，等式成立；2n23当 时， ，等式成立；3456当 时， 为偶数，而 为奇数，故 ，等式不成4474443567立；当 时，同 的情形可分析出，等式不成立5n综上，所求的 只有 23n且解法 2：（）证：当 或 时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：0x1m当 ，且 时， ， 1x ()x（）当 时，左边 ，右边 ，因为 ，所以 ，即左边2m211x020x右边，不等式成立；（）假设当 时，不等式成立，即 ，则当 时，()k ()1k1mk因为 ，所以 又因为 ，所以 1x0x02xk且 20x于是在不等式 两边同乘以 得()k1，2()(1)()(1)kxxkxkx所以 即当 时，不等式也成立1km综上所述，所证不等式成立第 15 页 共 15 页（）证：当 ， 时， ， ，6n mn 132n 132nm而由（） ， ，103112nnm （）解：假设存在正整数 使等式 成立，06 0 0034(2)(3)nnn即有 0 03413nn又由（）可得00023nnn00 011133nnn，与式矛盾00 0122nnn故当 时，不存在满足该等式的正整数 6下同解法 1
