1、12003 年考研数学（三）真题评注一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）设 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是,0,1cos)(xxf若若 .2【分析】 当 0 可直接按公式求导，当 x=0 时要求用定义求导.x【详解】 当 时，有1,0,0,1sinco)(2 xxf 若若显然当 时，有 ，即其导函数在 x=0 处连续.2)()(lim0ffx【评注】 原题见考研数学大串讲P.21【例 5】 （此考题是例 5 的特殊情形）.（2）已知曲线 与 x 轴相切，则 可以通过 a 表示为 .bay23 2b2b64a【分析】 曲线在切
2、点的斜率为 0，即 ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，y再根据在切点处纵坐标为零，即可找到 与 a 的关系.2【详解】 由题设，在切点处有，有 032axy.20x又在此点 y 坐标为 0，于是有 ,023b故 .4)( 6202 axab【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.完全类似例题见文登数学全真模拟试卷数学四 P.36 第一大题第（3）小题.（3）设 a0， 而 D 表示全平面，则，xxgf其 他若 ,10,)(= .DdygxfI)(2a【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当 时，被积函数才10,xyx不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内
3、积分即可.【详解】 =DdxygfI)(daxy10,22= .)1(202102 adxadyxa【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.完全类似例题见数学复习指南P.191【例 8.16-17】 .（4）设 n 维向量 ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵0,),0(aaT， ，TEAB1其中 A 的逆矩阵为 B，则 a= -1 .【分析】 这里 为 n 阶矩阵，而 为数，直接通过 进行计算并T 2aTEAB注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有)1)(TTaEAB= T= TT)(= TaE21= ,E)(于是有
4、 ，即 ，解得 由于 A8 时，F(x)=1.对于 ，有8,1x.13)(312xdtFx设 G(y)是随机变量 Y=F(X)的分布函数. 显然，当 时，G(y)=0；当 时，G(y)0y1y=1.对于 ，有)1,0y)( yXFPyYG= )1133 = .)(y于是，Y=F(X)的分布函数为16.1,0,)(yyG若若 若【评注】 事实上，本题 X 为任意连续型随机变量均可，此时 Y=F(X)仍服从均匀分布:当 y0 时，G(y)=0;当 时，G(y)=1;1y当 0 时，)()( yXFPyYG= 1= .)(y【评注】 本题是数学复习指南 P.431【例 2.23】原题（实际上还是此题
5、的特殊情形）.十二、 （本题满分 13 分）设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为，7.0321而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】 设 F(y)是 Y 的分布函数，则由全概率公式，知 U=X+Y 的分布函数为)(uXPuG= 27.013.0 XuYP= .Y由于 X 和 Y 独立，可见G(u)= 27.013.0uYuP= )()(F由此,得 U 的概率密度 )2(7.0)1(3.0)( uuGu
6、g= .ff【评注】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.但本题是考研数学大串讲 （2002 版，世界图书出版公司）P.250【例 28】的原题，17其他参考书中从未出现过类似题型.注： 1.数学复习指南 （2003 版， 经济类）世界图书出版公司 主编: 陈文灯、黄先开2.数学题型集粹与练习题集（2003 版， 经济类）世界图书 出版公司 主编: 陈文灯、黄先开3.文登数学全真模拟试卷（2003 版， 经济类）世界图书出版公司 主编: 陈文灯、黄先开4.数学最后冲刺（2003 版，经济类 ）世界图书出版公司 主编: 陈文灯、黄先开5.考研数学大串讲（2002 版， 经济类）世界图书出版公司主编: 黄先开、曹显兵、施明存（文登学校供稿）
