1、3.3.3 函数的最大(小)值与导数,第三章 3.3 导数在研究函数中的应用,学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 函数f(x)在闭区间a，b上的最值,如图为yf(x)，xa，b的图象.,思考1 观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.,答案 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).,思考2 结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？,答案 存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(
2、x3).,思考3 函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？,答案 不一定，也可能是区间端点的函数值.,梳理 函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 处或处取得.,端点,极值点,(1)求函数yf(x)在(a，b)内的 . (2)将函数yf(x)的各极值与 的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 .,知识点二 求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤,端点处,极值,最大值,最小值,(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极
3、大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.,知识点三 最值与极值的区别与联系,(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得. 如图是yf(x)在区间a，b上的函数图象，显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值yMf(x3)f(b)分别在xx3及xb处取得，最小值ymf(x4)在xx4处取得.,思考辨析 判断正误 1.函数的最大值一定是函数的极大值.( ) 2.开区间上的单调连续函数无最值.( ) 3.函数f(x)在区间a，b
4、上的最大值和最小值一定在两个端点处取得. ( ),题型探究,命题角度1 不含参数的函数求最值 例1 求下列各函数的最值. (1)f(x)4x33x236x5，x2，)；,类型一 求函数的最值,解答,解 f(x)12x26x36，,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,解答,所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0； 当x2时，f(x)有最大值f(2).,反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点： (1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值大小，确定最值.,跟踪训练1
5、求函数f(x)ex(3x2)，x2，5的最值.,解答,解 f(x)3exexx2， f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3) ex(x3)(x1). 在区间2，5上，f(x)ex(x3)(x1)0， 函数f(x)在区间2，5上单调递减， 当x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2； 当x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.,命题角度2 含参数的函数求最值 例2 已知函数f(x)(xk)ex. (1)求f(x)的单调区间；,解答,解 由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex， 令f(x)0，得xk1. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,所以，f(x
6、)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，).,(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.,解答,解 当k10，即k1时，函数f(x)在0，1上单调递增. 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k， 当0k11，即1k2时， 由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增， 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1. 当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减. 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e. 综上可知，当k1时，f(x)mink； 当1k2时，f(x)minek1； 当k2时，f(x)min(1k)e.,反思与感悟
7、 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.,跟踪训练2 已知函数f(x) x. (1)求函数f(x)的单调区间；,解答,令f(x)0，得x21ln x. 显然x1是上面方程的解. 令g(x)x2ln x1，x(0，)，,函数g(x)在(0，)上单调递增， x1是方程f(x)0的唯一解. 当00；当x1时，f(x)0， 函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减.,(2)设m0，求f(x)在m,2m上的最大值.,解答,解
8、由(1)知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减.,当m1时，f(x)在m,2m上单调递减，,类型二 由函数的最值求参数,例3 已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值.,解答,解 由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾. 求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)， 令f(x)0，得x10，x24(舍去). 当a0时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在1,2上的最大值，f(0)b3.,又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)， f(2)16a293，解得a
9、2. 综上可得，a2，b3或a2，b29.,反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.,解答,解 令f(x)3x23ax0，得x10，x2a. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,所以f(x)的最大值为f(0)b1.,例4 已知函数f(x)x3ax2bxc在x 与x1处都取得极值. (1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间.,类型三 与最值有关的恒成立问题,解答,解 由f(x)x3ax2bxc， 得f(x)3x22ax
10、b，,所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)，,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,(2)若对任意x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围.,解答,因为f(2)2c，所以f(2)2c为最大值. 要使f(x)f(2)2c， 解得c2. 故c的取值范围为(，1)(2，).,反思与感悟 不等式恒成立问题常用的解题方法,解答,跟踪训练4 已知函数f(x)xln x.若对所有x1都有f(x)ax1，求实数a的取值范围.,解 (1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1ln x，,(2)由题意，得f(x)ax1在1，)上恒成立，,当x1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上是增函
11、数， 所以g(x)的最小值是g(1)1. 因此ag(x)ming(1)1， 故a的取值范围为(，1.,达标检测,1.函数f(x)exx在区间1,1上的最大值是 A.1 B.1 C.e1 D.e1,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析 由题意得f(x)ex1. 令f(x)0，得x0. 当x1,0)时，f(x)0. 所以f(x)在1,0)上单调递减，在(0,1上单调递增.,所以f(1)f(1). 所以f(x)maxf(1)e1.,答案,2.函数f(x)x33x(|x|1) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值,
12、1,2,3,4,5,解析,解析 f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,由y0，得x0或x1.,所以m2.,4.若函数f(x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为_ _.,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 f(x)3x24cx1， 由f(x)0有两个不同的根，可得(4c)2120，,1,2,3,4,5,解答,5.已知函数f(x)x3ax2bx5，当x2时，f(x)有极值13. (1)求实数a，b的值；,解 由f(x)x3ax2bx5， 得f(x)3x22axb. yf(x)在x2处取得极值13，,1,2,3,4,5,解答,(2)求函数f(x)在3,0上的最值.,f(x)在3，2)上单调递增，在(2,0上单调递减， f(x)的最大值是f(2)，最小值是f(3)或f(0)，而f(2)888513，f(0)5，f(3)27181258， f(x)在3,0上的最大值为13，最小值为5.,1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值. 2.已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论. 3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.,规律与方法,
