1、第四章 三角函数三角函数的图像和性质【考点阐述】正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数 y=Asin(x+)的图像正切函数的图像和性质已知三角函数值求角【考试要求】（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(x+)的简图，理解 A、 的物理意义（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinx arccosx arctanx表示【考题分类】（一）选择题（共 21题）1.（安徽卷文 8）函数 sin(2)3yx图像的对称轴方程可能是（ ）A 6xB 1C 6xD 12x解： sin(2)3y的对称轴方程为 2k，即 k，
2、0,x2.（广东卷文 5）已知函数 ()cos)in,fxxR，则 ()fx是（ ）A、最小正周期为 的奇函数 B、最小正周期为 的奇函数C、最小正周期为 的偶函数 D、最小正周期为 2的偶函数【解析】 221cos4()1cos)incosinsixfxxxx,选 D.3.（海南宁夏卷理 1）已知函数 y=2sin(x+)(0)在区间0，2的图像如下：那么 =（ ）A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 解：由图象知函数的周期 T，所以 24.（海南宁夏卷文 11）函数 ()cosinfxx的最小值和最大值分别为（ ）A. 3，1 B. 2，2 C. 3， 2D. 2， 3【标准答案
3、】：【试题解析】： 22 11sinisinfxxx当 sin2时， max3f，当 i时， min3f；故选；【高考考点】三角函数值域及二次函数值域【易错点】：忽视正弦函数的范围而出错。【全品备考提示】：高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可。5.（湖南卷理 6）函数 2()sin3sicofxx在区间 ,42上的最大值是( )A.1 B.1 C. 2 D.1+ 3【答案】C【解析】由 cos231()insi()6xfxxx, 5,46max31.2f故选 C.6.（江西卷理 6文 10）函数 tansitnsiyx在区间 (,)2内的图象是 【解析】D. 函数 2tan,
4、tsintansitansisixxyxx当 时当 时7.（江西卷文 6）函数 ()si2if是A以 4为周期的偶函数 B以 为周期的奇函数C以 2为周期的偶函数 D以 4为周期的奇函数【解析】 sin()()()2xfxfx ()(2)fxfx8.（全国卷理 8）为得到函数 cos3y的图像，只需将函数 siny的图像（ ）xo32yA2- xBo32-xo3yC- xo32yD2-A向左平移 512个长度单位 B向右平移 512个长度单位C向左平移 6个长度单位 D向右平移 6个长度单位【解析】.A. 55cossin2sin,312yxxx只需将函数sin2yx的图像向左平移 512个单
5、位得到函数 co3y的图像.9.（全国卷文 6） 2(sinco)1yx是（ ）A最小正周期为 的偶函数 B最小正周期为 2的奇函数C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 的奇函数sinxco,sinxc2y=1sin2xsiTD解 析 :本 题 主 要 考 查 了 三 角 函 数 的 化 简 ， 主 要 应 用 了 与 的 关 系 ，同 时 还 考 查 了 二 倍 角 公 式 和 函 数 的 奇 偶 性 和 利 用 公 式 法 求 周 期 。 ， ， 为 奇 函 数 。 答 案 为10.（全国卷文 9）为得到函数 cos3yx的图象，只需将函数 sinyx的图像（ ）A向左平移 6个长度单
6、位 B向右平移 6个长度单位C向左平移 5个长度单位 D向右平移 5个长度单位y=cos(x+)=sin(+x)=sin(x+)32365i C6解 析 :本 题 主 要 考 查 了 三 角 函 数 的 图 象 变 换 及 互 余 转 化 公 式 ： 可 由 向 左 平 移 得 到 答 案 为11.（全国卷理 8）若动直线 xa与函数 ()sinfx和 ()cosgx的图像分别交于MN，两点，则 的最大值为（ ）A1 B 2 C 3 D2【答案】B【解析】在同一坐标系中作出 xfsin)(1及 xgcos)(1在 ,0的图象，由图象知，当 43x，即 a时，得 21y， 2， 21yMN【高考
7、考点】三角函数的图象，两点间的距离【备考提示】函数图象问题是一个常考常新的问题12.（全国卷文 10）函数 xxfcosin)(的最大值为（ ）A1 B 2 C 3 D2【答案】B【解析】 )4sin(cosin)( xxf ，所以最大值是【高考考点】三角函数中化为一个角的三角函数问题【备考提示】三角函数中化为一个角的三角函数问题是三角函数在高考中的热点问题13.（四川卷理 10）设 sifx，其中 0，则 fx是偶函数的充要条件是( )（） 01f （） 0f （） 1f （） 0f【解】： sinx是偶函数 由函数 fx图象特征可知 0x必是 fx的极值点， 0 故选 D【点评】：此题重点
8、考察正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系；【突破】：画出函数图象草图，数形结合，利用图象的对称性以及偶函数图象关于 y轴对称的要求，分析出 0x必是 fx的极值点，从而 0f；14.（天津卷理 3）设函数 Rxf,2sin，则 xf是(A) 最小正周期为 的奇函数 (B) 最小正周期为 的偶函数 (C) 最小正周期为 2的奇函数 (D) 最小正周期为 2的偶函数解析： ()cosfx是周期为 的偶函数，选 B15.（天津卷理 9）已知函数 xf是 R上的偶函数，且在区间 ,0上是增函数.令 75tan,75cos,72sinffbfa，则(A) (B) b (C)
9、acb (D) cb解析： 5(cos)(c2s)7bff， 5(tan)(t2a)7ff因为 24，所以 0i1，所以 bc，选 A16.（天津卷文 6）把函数 sin()yxR的图象上所有的点向左平行移动 3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 2倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是（ ）A sin23yx， B sin6xyR，C iR， D i23，解析：选 C, 13 2sinsin()sin()33yxyxyx 向 左 平 移 个 单 位 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 倍17.（天津卷文 9）设 5i7a， 2cob， tan7，则（ ）A abc B
10、 C bcD bac解析： 2sin7，因为 4，所以 20si1tn7，选 D18.（浙江卷理 5文 7）在同一平面直角坐标系中，函数 )20)(3o(，xy的图象和直线 21y的交点个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）4解析：本小题主要考查三角函数图像的性质问题。原函数可化为：)0)(3cos(，xy=sin,02.x作出原函数图像，截取 0,2x部分，其与直线 1y的交点个数是 2个 .19.（浙江卷文 2）函数 2(sico)yx的最小正周期是（A） （B） （C） 3 （D） 解析：本小题主要考查正弦函数周期的求解。原函数可化为： sin2yx，故其周期为2.T20.（重庆卷理
11、 10）函数 f(x)= sin132coix(02x) 的值域是（A）- 2,0 (B)-1,0 （C）- 2,0 （D）- 3,0解：特殊值法， sin,cos1x则 f(x)= 13淘汰 A，令 i1232cosix得26(sin)4x当时 sin1x时 3cos2x所以矛盾 ()f淘汰 C， D21.（重庆卷文 12）函数 f(x)= sin54cox(0x2 )的值域是(A)- 1,4 (B)-1,3 (C)- 1,2 (D)- 2,3【答案】C【解析】本小题主要考查函数值域的求法。令 54cos()xt，则2216(5)sintx，当 0x时，24216()109sinttx，22
12、429()0si1() 4454cotttfxx当且仅当3t时取等号。同理可得当 x时， 1()2fx，综上可知 ()fx的值域为1,2，故选 C。（二）填空题（共 8题）1.（广东卷理 12）已知函数 ()sinco)sifxx， R，则 ()fx的最小正周期是 【解析】 212()sinicoinfx,此时可得函数的最小正周期2T。2.（江苏卷 1） ()cs)6fxw的最小正周期为 5，其中 0w，则 。【解析】本小题考查三角函数的周期公式. 21T【答案】103.（辽宁卷理 16）已知 ()sin(0)363fxff， ，且 ()fx在区间63，有最小值，无最大值，则 _解析：本小题主
13、要针对考查三角函数图像对称性及周期性。依题 ()sin)(0,()63fxff且 ()fx在区间 (,)63有最小值,无最大值,区间 (,)63为 (fx的一个半周期的子区间，且知 ()f的图像关于 24x对称，2,4kZ,取 0K得 14.3答案：4.（辽宁卷文 16）设 2x， ，则函数2sinxy的最小值为 解析：本小题主要考查三角函数的最值问题。2i1cos2,snixkx取 (0,2)A2sin,co)Bxy的左半圆,作图(略)易知 minta63.k答案：5.（上海卷理 6）函数 f(x) sin x +sin( +x)的最大值是 32【答案】 2【解析】由 max()sincos
14、in()(26f f.6.（上海春卷 4）方程 14x在区间 0,内的解是 .解析：原方程就是 cos2，所以 72,22311xkxkxk或故在区间 (0,)内的解是 71x。7 （四川延考理 15）已知函数 ()sin)6fx (0)在 4(,)3单调增加，在4(,2)3单调减少，则 。解：由题意 4()sin()136f412,32kkZ又 0，令 k得 12。 （如 0k，则 2， T与已知矛盾）8 （四川延考文 14）函数 ()3sincofxx的最大值是_解： 因为 3sin， 2c， 2()3sinco3fx，正好sin1,co0x时取等号。 （另2 237()3isin3si1
15、(in)4fxx在 sin1x时取最大值）（三）解答题（共 16题）1.（安徽卷理 17文 17）已知函数 ()cos)si()si()34f（）求函数 ()fx的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数 在区间 ,12上的值域解：（1） ()cos)sin()si()34fxxi2incos(incos)2xx2213cosiix2incosxsin()6xT2周由 (),()23kxkZxZ周函数图象的对称轴方程为 （2） 5,2,163xx因为 ()sin)f在区间 1上单调递增，在区间 ,32上单调递减，所以 当 3x时， (fx取最大值 1又 31()()122ff，当 2x时， ()
16、fx取最小值 32所以 函数 ()fx在区间 ,上的值域为 3,12.（北京卷理 15文 15）已知函数 2 ()sinsin2fxx（ 0）的最小正周期为 （）求 的值；（）求函数 ()fx在区间 203， 上的取值范围解：（） 1cos()sin2f x1si2cos2x1sin62x因为函数 fx的最小正周期为 ，且 0，所以 2，解得 1（）由（）得 1()sin26fx因为 203 ，所以 7x ，所以 1sin216x ，因此 13sin62x ，即 ()f的取值范围为 30， 3.（广东卷理 16文 16）已知函数 sin)()fxA， ， xR的最大值是1，其图像经过点 132
17、M， （1）求 ()fx的解析式；（2）已知 02， ， ，且 3()5f， 12()3f，求 ()f的值【解析】 （1 ）依题意有 1A，则 sinfx，将点 ,M代入得 1sin()32，而 0， 36， 2，故 ()sin)co2fxx；（2）依题意有 312cos,s5，而 ,(0,)2，2245sin1(),in()3， 1456(coscsosin3f。4.（湖北卷理 16）已知函数 1 17(),()co(sin)(cos),().2tftgxfxfx（）将函数 ()gx化简成 sinAB（ 0A， ， 0,）的形式；（）求函数 的值域.解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角
18、函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分 12分）解：（） 1sin1cos()coxxgxAA22(i)()ssiinxx1in1coco.ssiAA7,c,iin,12xxx1sin1cos()coinxxgxAAsinco 2.4x（）由 17周得 5.3x周sint在 53,42上为减函数，在 5,2上为增函数，又 ii,sini()sin4x周 （当 17,2x） ，即 21sin()2i()34x周故 g(x)的值域为 2,3.5.（湖北卷文 16）已知函数 2()sincos.xxf（）将函数 ()fx化简成 )(0,2)ABA的形式，并指出的周
19、期；（）求函数 17(),2fx在 上的最大值和最小值解：() cos1323sin(sinco)sin()42xf xx.故 ()fx的周期为 2k kZ 且 k0.()由 x 17 ，得 3545x.因为 f(x) 23)4sin(2x在45,上是减函数，在 127,上是增函数.故当 x= 时， f(x)有最小值 ；而 f( )=2， f(17 ) 46 2，所以当 x= 时， f(x)有最大值2.6.（湖南卷文 17）已知函数 xxsin2icos2.（I）求函数 )(f的最小正周期；（II）当 4,0x且 524)(0xf时，求 )6(0xf的值。解：由题设有 ()cosinfsi4（
20、I）函数 x的最小正周期是 2.T（II）由 524)(0f得 0sin(),45x即 04sin(),5x因为 ,0x,所以 0,.2从而 220043cos()1sin()1().45xx于是 60f00isin466x2sin()cos()4xx3132.5207.（江苏卷 15）.如图，在平面直角坐标系 xoy中，以 x轴为始边做两个锐角 ,，它们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为25,10。（1） 求 tan()的值； （2） 求 的值。【试题解析】先由已知条件得 25cos,cs10，第（1）问求tan()的值，运用正切的和角公式；第（2）问求 2
21、的值，先求出 tan(2)的值，再根据范围确定角的值。【标准答案】 （1）由已知条件即三角函数的定义可知 5cos,cs10，因 为 锐 角 ， 故 sin0，从而 27sin同理可得 25i1co，因此 1ta,tn.所以 tan()=17tatn32A;（2） ta(2)ta()11(3),30,02,2又 故从而由 tan()1 得 4.8.（江西卷文 17）已知 t3， 5cos,(0,)（1）求 ta()的值；（2）求函数 2sin()()fxxx的最大值解：（1）由 5co,0,得 tan2， 5si 于是 tan()=1tat31. （2）因为 t,(0,)3所以 13sin,c
22、os010 552()sincoifxxxi()f的最大值为 5. 9.（山东卷理 17）已知函数 f(x) )0,0)(cos)sin3xx 为偶函数，且函数 y f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 .2（）求 f（ 8）的值；（）将函数 y f(x)的图象向右平移 6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的 4倍，纵坐标不变，得到函数 y g(x)的图象，求 g(x)的单调递减区间.解：（） ()3sin()cosf312sincos()2x 2i6x因为 ()fx为偶函数，所以对 R， ()fxf恒成立，因此 sin)sin66即 sincocsinsicocsin6666
23、xxxx，整理得 i0因为 0，且 xR，所以 cos06又因为 ，故 2所以 ()2sin2cosfxxx由题意得 2A，所以 故 cof因此 cos284f（）将 ()fx的图象向右平移 6个单位后，得到 6fx的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的 4倍，纵坐标不变，得到 4f的图象所以 ()2cos2cos663xxxgf当 23kk （ Z） ，即 844x （ ）时， ()gx单调递减，因此 ()g的单调递减区间为 2843k， （ kZ） 10.（山东卷文 17）已知函数 ()sin()cos()fxxx（ 0， 0）为偶函数，且函数 y图象的两相邻对称轴间的距离为 2（）求 8
24、f的值；（）将函数 ()yfx的图象向右平移 6个单位后，得到函数 ()ygx的图象，求 ()gx的单调递减区间解：（） ()3sin()cos()f x312sin()cos()2xx 2sin6x因为 ()fx为偶函数，所以对 R， ff恒成立，因此 sin)sin66x即 icocoisincocosin66x xx ，整理得 sin06因为 ，且 R，所以 0又因为 0，故 2所以 ()2sin2cosfxxx由题意得 2A，所以 故 ()cof因此 284f（）将 ()fx的图象向右平移 6个单位后，得到 6fx的图象，所以 ()2cos2cos3gfx当 23kxk （ Z） ，即
25、 6 （ ）时， ()gx单调递减，因此 ()gx的单调递减区间为 263k， （ kZ） 11.（陕西卷理 17）已知函数 2()sincosin344xxf（）求函数 ()fx的最小正周期及最值；（）令 3gf，判断函数 ()gx的奇偶性，并说明理由解：（） 2()sin(1sin)24xfi3cos2xin3()fx的最小正周期 241T当 sin23时， ()fx取得最小值 2；当 sin13x时， ()fx取得最大值 2（）由（）知 ()2sin3f又 ()gf1()2singxxi2xcos2x()co2cos()g函数 gx是偶函数12.（陕西卷文 17）已知函数 ()2sinc
26、o3s42xxf（）求函数 ()fx的最小正周期及最值；（）令 3gf，判断函数 ()gx的奇偶性，并说明理由解 ：（） ()fxsincos22in3()f的最小正周期 41T当 sin23x时， ()fx取得最小值 2；当 sin13x时， ()fx取得最大值 2（）由（）知 ()2sin3f又 ()gf1()2singxxi2xcos2x()co2cos()g 函数 ()g是偶函数13.（上海卷文 18）已知函数 f(x)sin2 x， g(x)cos(2 x+ )，直线 x t（ tR）与函数6f(x)、 g(x)的图像分别交于 M、N 两点当 t 时，求|MN|的值4求|MN|在 t
27、0, 时的最大值2【解】 （1） sincos2446N.2分31.5分（2） sin2co6MNtt3sin2costt.8分3it.11分 0,2,66tt 13分 MN的最大值为 3. 15分14.（四川卷理 17文 17）求函数 2474sinco4scoyxx的最大值与最小值。【解】： 274sincoyx221sxsicix27ni1si6x由于函数 2zu在 1， 中的最大值为max0最小值为2in16z故当 sx时 y取得最大值 10，当 sin21x时 y取得最小值 6【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破】：利用倍角公式降幂，利用
28、配方变为复合函数，复合函数中间变量的范围是关键；15.（天津卷理 17）已知 4,2,104cosxx.（）求 xsin的值；（）求 32的值.解：（）因为 4,x，所以 2,4x，于是107cos14sin25421027 4sincosini xxx（）因为 3,x，故 5341sin1cos22xx572,54cosin2si 2所以 0343sinco3si3i xxx16.（天津卷文 17）已知函数 2()icos1(0)f xxR， 的最小正周期是 2（）求 的值；（）求函数 ()fx的最大值，并且求使 ()fx取得最大值的 x的集合本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数 sin()yA的性质等基础知识，考查基本运算能力满分 12分（）解： 24sin224sincosis12sico12xxxf由题设，函数 xf的最小正周期是 ，可得 ，所以 2（）由（）知， 24sin2xf 当 kx24，即 Zk16时， 4sinx取得最大值 1，所以函数f的最大值是 ，此时 x的集合为 Zkx,216| 精品资料，你值得拥有！
