1、 2008 级应用数学综合课程设计综合课程设计是让学生通过动手动脑解决实际问题，让学生学完本专业的基本课程后进行的一次全面的综合训练，是一个非常重要的教学实践环节，通过综合课程设计，使学生经受一次综合运用所学知识，解决实际问题的方法。培养学生使用各种计算机资料和有关参考资料，提高学生的基本设计能力。培养学生理论联系实际和独立思考的能力，并激发学生的实际开发创造的意识和能力。使学生初步尝试把实际问题按给定目的抽象成数学形式，并得出其求解结果，体会建立数学模型过程的各个环节及其相互联系，掌握建立数学模型的基本方法，并认识同一实际问题的数学模型的不唯一性，以认识模型之间的优缺点，从而体会，好的数学模
2、型具有更广泛的适用性。它是数学知识和方法与其它知识的综合运用。通过综合课程设计，培养学生综合运用数学知识和方法及相关的专业知识解决各种实际问题的能力。要求：1、各班由班长负责将下列的综合课程设计题目分给每个同学。2、每班 3 人一组（4 人一组的最多 2 组）选做 1 题撰写小论文。2、同一班的两组不能做同一题（具体由班长协调） 。3、班长负责将论文及电子文档在第 19 周星期五下午四点前交数学系办公室。4、成绩评定方法是将不同班级做同一题的论文进行比较，给出成绩，不要出现雷同的论文!一、课程设计题目 1下表给出了某露天煤矿在平面矩形区域（800m 600m）上，在纵横均匀的网格交点处测得的煤
3、层厚度（单位：m），（由于客观原因，有些点无法测量煤层厚度，这里用/标出）其中的每一网格都为 10m8m 的小矩形。（1）试根据这些数据，用不同的方法来估算该矩形区域煤矿的储藏量（体积）。（2）对你的方法进行比较，并进行误差分析。A B C D E F G H I G K1 / / 12.5 13.5 17.2 / 8.8 14.7 8.0 13.0 /2 / / / 15.6 18.2 13 6.4 8.9 9.2 11.7 /3 / 12 13.5 13.5 17.8 16.9 13.2 / / / /4 7.5 12.6 14.9 18.7 17.7 17.5 14.7 13 / / 6
4、.55 8.9 7.8 12.4 13.5 15.7 17.6 11.7 9.6 9.2 9.5 8.66 / / / 13.7 13.6 16.5 12.5 8.7 9.7 / /7 / / 8.6 11.8 12.5 11.3 13.4 / / / /-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40051015202530354045二、课程设计题目 2现要举行一场山地自行车赛，为了了解环行赛道的路况，现对一选手比赛情况进行监测，该选手从 A 地出发向东到 B，再经 C、D 回到 A 地（如下图） 。现从选手出发开始计时，每隔 15min（分）观测其位置，所得相应各点坐标如下表（假设
5、其体力是均衡分配的）：由 AB 各点的位置坐标（单位：km）横坐标x0.2 4.96 6.55 9.71 13.17 16.23 18.36 20.53 23.15 26.49纵坐标y6.66 5.28 4.68 5.19 2.34 6.94 5.55 9.86 5.28 3.87 横坐标x28.23 29.1 30.65 30.92 31.67 33.03 34.35 35.01 37.5纵坐标y3.04 2.88 3.68 2.38 2.06 2.58 2.16 1.45 6由 DCB 各点的位置坐标（单位：km）横坐标x1.8 4.90 6.51 9.73 13.18 16.20 18.
6、92 20.50 23.23 25.56纵坐标y19.89 24.52 34.82 40.54 37.67 41.38 30.00 19.68 14.56 18.86横坐标x28.31 29.45 30.00 30.92 31.67 33.31 34.23 35.81 37.5纵坐标y18.55 22.66 18.28 15.06 13.42 11.86 7.68 9.45 6假设：1. 车道几乎是在平原上，但有三种路况（根据平均速度 v(km/h)大致区分）：平整沙土路（v 30） 、坑洼碎石路（10v30 ） 、松软泥泞路（v10） ；2. 车道是一条连续的可以用光滑曲线来近似的闭合路线；
7、3选手的速度是连续变化的.求解：1. 模拟比赛车道的曲线和选手的速度曲线；2估计车道的长度和所围区域的面积；3分析车道上相关路段的路面状况（在车道上用不同颜色标记出来） ；三、课程设计题目 3某地区共有 19 个村庄, 各村庄之间的距离 (单位为 km) 如图所示, 图中每条连线表示有公路相连. 现要沿公路铺设天燃气管道. 铺设管道的人工和其他动力费用为 1 万元/km, 材料费用为 2 万元/km.(1): 如果每个村庄均通天燃气, 应如何铺设管道, 才使总的铺设费用最少?(2): 天燃气公司决定在铺设管道前, 派人先查看所有公路的状况, 以便决定该公路是否可用. 他们从村庄 1 出发, 最
8、后又回到村庄 1. 问他们应如何走, 才使走的总路程最少?(3): 某检修员从村庄 1 出发 , 到每个村庄检查天燃气状况, 最后又回到村庄 1. 他应如何走, 才使走的总路程最少?四、课程设计题目 4某汽车制造厂有一大型仓库存放成品小型汽车，厂方希望将尽可能多的汽车贮存在车库内。在满足一定要求的条件下，尽可能提高仓库的利用率。设车库形状为 200 米300 米的矩形，仓库只有一个门，位于矩形长边的正中央，门宽 5 米。假设汽车只有两种型号，其长和宽分别为 4.515 米1.725米及 4.830 米1.856 米。要求：1、在任何时刻只有一辆汽车开出仓库大门，开出过程中不得有任何碰撞；2、摆
9、放时任意两辆汽车之间至少保持 40cm 的间距，不重叠；3、出门时必须车头先出，不得使用任何其他辅助设备。试建立合理的数学模型，解决以下问题。1、在每辆车都可顺利开出车库的条件下，如何摆放，可提高车库利用率。2、假设在车辆无法调出时，可以先将阻碍的车辆开出车库外，在这种情况下，给出车辆摆放的优化数学模型。对问题 2 的车俩摆放模型，假定每辆汽车开出仓库时的速度均相同，且汽车前轮可以左右转动 90 度，给出将车库 4 个角落的汽车全部开出所需最少时间的调运五、课程设计题目 5我们经常可以从电视看到这样的景象，山区的农民过河时使用溜索。由于设计问题，当滑到终点时速度还很快，所以我们看到人们在溜索时
10、手中会握着一把草用于快到终点时减速。现要求设计一个溜索，条件及要求如下。HL落差为 H，水平距离为 L。要求滑到终点时，速度降为 0。按以下几种情况讨论：1. 不考虑阻力和钢索的重量的情况；2. 考虑钢索的重量，不考虑阻力的情况；3. 考虑钢索的重量和阻力的情况。六、课程设计题目 6养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从 20 岁开始至 80 岁结束，年利率为 10。参加者的责任是，未退休时（60 岁以前）每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：20 岁29 岁每月存入 元，30 岁39 岁每月存入 元，40 岁49 岁每月存入 元，50 岁1X2X3
11、X59 岁每月存入 元。参加者的权利是，从退休（60 岁）开始，每月初领取退4休金 ，一直领取 20 年。试建立养老金计划的数学模型，并计算下列不同年龄P的计划参加者的月退休金。1、从 20 岁开始参加养老金计划，假设 元；1234202、从 35 岁开始参加养老金计划，假设 元， 元，0X350X元；40X3、从 48 岁开始参加养老金计划，假设 元， 元。34七、课程设计题目 7小王夫妇计划贷款 20 万元购买一套房子，他们打算用 20 年的时间还清贷款。目前，银行的利率是 0.6%月。他们采用等额还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。1. 在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共
12、计付了多少利息？2. 在贷款满 5 年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第 6 年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？3. 如果在第 6 年初，银行的贷款利率由 0.6%月调到 0.8%月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的 15 年内将贷款还清，那么在第 6 年后，每月的还款额应是多少？4. 小王夫妇认为，随着他们工作经历的增长，家庭收入也会随着增长，因此，打算采用逐步增加还款额的还款方式来偿还贷款，具体的办法是：如果第 1年的每月还款额是 1000 元的话，那么第 2 年的每月还款额就是 1500 元，第3 年的每月还款额是 2000 元，
13、第 4 年的每月还款额是 2500 元，以此类推。在此情况下，如果贷款利率还是 0.6%月，那么，第 1 年的每月还款额是多少？以后各年的每月还款额又是多少？共计付了多少利息？5. 在 4 提出的还款方式下，在贷款满 5 年后，打算在第 6 年初一次还清全部余款，那么，一次的还款额是多少？如果第 6 年初，银行的贷款利率由0.6%月调到 0.8%月，从第 6 年起，以后各年的每月还款额是多少？6. 综合上述问题，为小王夫妇（实际上是打算贷款购房的人）写一份报告，帮助他们分析各种方法的利弊，和偿还贷款的计划。八、课程设计题目 8某公司在金融投资中，需要考虑如下两个问题：1）准备用数额为 1000
14、 万元的资金投资某种金融资产（如股票，外汇等）。它必须根据历史数据估计在下一个周期（如 1 天）内的损失的数额超过 10 万元的可能性有多大，以及能以 95%的置信度保证损失的数额不会超过多少。2）如果要求在一个周期内的损失超过 10 万元的可能性不大于 5%，那么初始投资额最多应为多少。下面是该公司在过去一年 255 个交易日的日收益额（单位为万元）的统计数据, 假定每天结算一次，保持每天在市场上的投资额为 1000 万元：收益额 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18天数 1 1 1 1 1 2 1 2 1 4 0 2 6 3 4 7
15、收益额 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2天数 5 8 5 7 10 14 8 19 9 11 11 14 10 6 6 8收益额 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10-11-12-13-14天数 9 5 9 3 7 4 1 6 2 5 5 3 2 2 1 0收益额 -15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30天数 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0要求：1） 参考以上数据，建立两种模型来解决前述的两个问题，并对这两个模型加以比较；2） 讨
16、论二周期情形（如今后两天内）上述两个问题的答案。3） 陈述上述两个问题的一般形式（即初始投资额为 M, 限定损失额为 L, 置信度为 1- , T 个周期）及其解决方案。九、课程设计题目 9某中学现有 30 套福利房欲分配给该校老师，该校有 50 位教师。学校经过全体老师讨论决定，分房只考虑下列因素：职称，工龄，学历，教学情况。具体情况如下表 1，请设计一个数学模型，合理分配这 30 套住房。人员 职称 工龄 学历 教学 人员 职称 工龄 学历 教学P1 1 30 3 1 P26 3 8 2 1P2 1 25 2 2 P27 3 5 2 2P3 1 21 2 2 P28 3 9 2 2P4 1
17、 20 3 1 P29 3 5 2 3P5 1 19 2 2 P30 3 6 1 2P6 1 15 1 3 P31 3 4 2 1P7 2 14 1 2 P32 3 3 2 2P8 2 16 2 2 P33 3 2 3 2P9 2 13 2 2 P34 3 5 2 1P10 2 8 2 1 P35 3 4 2 2P11 2 10 3 3 P36 3 6 3 3P12 2 9 3 1 P37 3 8 1 2P13 2 8 2 3 P38 3 5 1 1P14 2 12 2 2 P39 3 3 2 2P15 2 13 3 1 P40 3 4 2 1P16 2 11 2 2 P41 3 1 2 2P
18、17 2 10 3 3 P24 3 5 2 1P18 2 7 2 2 P43 3 2 2 2P19 2 8 3 1 P44 3 3 3 3P20 2 9 3 2 P45 3 6 1 1P21 2 10 2 2 P46 3 4 2 2P22 2 11 2 2 P47 3 2 2 1P23 2 13 2 2 P48 3 6 1 1P24 2 10 2 2 P49 3 3 2 2P25 2 8 3 3 P50 3 1 2 2说明：1、职称中的 1，2，3 分别表示高级、中级、初级；2、学历中的 1，2，3 分别表示研究生、本科、专科；3、教学中的 1，2，3 分别表示好，一般，差。十、课程设计题目
19、10药物进入机体后，在随血液输送到各个器官和组织的过程中，不断地被吸收、分布、代谢，最终被排除体外。药物在血液中的浓度，即单位体积血液中药物的含量，称为血药浓度。血药浓度的大小直接影响到药物的疗效。因此，药物动力学研究的主要对象是血药浓度随时间变化的规律药时曲线。通过建立符合药时曲线的数学模型，确定模型中的参数，这些参数反映了药物在体内的药理作用。下面是一组口服某种药物 300mg, 对不同患者随时间变化的血液浓度(ug/ml)分布情况：时间浓度0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5 6 7 8 9 10患者 1 2.78 3.51 4.22 5.10 5.32 5.21 4.65 4.0
20、2 3.21 3.11 2.57 1.88 1.12患者 2 2.65 2.98 4.08 5.21 5.42 5.31 4.54 4.20 3.12 2.97 2.32 1.65 1.01患者 3 2.38 3.48 3.99 4.89 5.06 5.18 5.11 4.97 3.86 3.03 2.76 1.82 1.341试建立该药物浓度随时间变化的数学模型。2如果两次服药的浓度符合简单的叠加原理，并且服用不同剂量的药物其浓度相应地成比例。假设只有 200mg 和 300mg 两种剂量, 要使血液中药物浓度大约维持在 48 之间，给出两次服药的合适间隔。3若两次服同类药物，第二次服药的浓
21、度只有 80%的效应，其它与上述条件相同。要使血液中药物浓度一天都大约维持在 48 之间，给出一天服药合适的给药时间间隔。十一、课程设计题目 11在论文评选中，如何使论文评选更公正、有效及可操作性一直是组委会所关心的问题。现有 n 份竞赛论文需要评奖，竞赛组委会聘请 m(mn)名专家进行评审，但由于论文多而专家少不可能每个专家都给每篇论文打分，假设每个专家评阅 k 份试卷并给出分数（百分制） ，而每份论文有 r 个专家评阅过。而问题是虽然每个专家都很公正，但由于把握的尺度不同，同一份试卷不同的专家分数有很大的差别，有的专家给 70 份就认为是优秀的试卷，而有的专家给 90 分才认为是优秀的。（
22、1）试建立数学模型研究论文评选结果的各种统计方法并编制软件给出具体操作步骤，研究各统计方法的公平性及优劣。（2）下表给出 32 分试卷的 10 位专家的评选结果，如果设奖比例为一等奖 10%，二等奖为 15%,三等奖为 20%，给出评选结果。（3）针对问题（2）的结果，如果你认为有些队的结果不合理（举出 3 个队） ，请给出微调的解决方案。队号 评委 1 评委 2 评委 3 评委 4 评委 5 评委 6 评委 7 评委 8 评委 9 评委患者 4 2.98 3.65 4.94 5.35 5.20 5.11 4.78 4.15 3.69 3.07 2.87 2.01 1.41患者 5 2.47
23、3.37 4.14 4.77 5.22 5.56 5.15 4.96 4.01 3.65 3.01 2.48 1.82患者 6 1.43 2.61 3.54 4.90 5.31 5.20 4.93 4.41 3.88 3.03 2.75 2.08 1.92患者 7 2.58 3.54 4.32 5.21 5.33 5.21 4.64 4.23 3.42 2.96 2.37 1.97 1.02患者 8 2.20 3.42 4.35 5.21 5.65 5.33 4.85 4.21 3.51 3.05 2.67 1.80 0.98患者 9 2.18 3.31 4.02 4.99 5.32 5.25
24、 4.84 4.12 3.31 3.01 2.66 1.98 1.22患者102.38 3.01 4.55 5.22 5.38 5.13 4.75 4.12 3.41 3.01 2.35 1.84 1.10患者111.79 2.98 3.28 4.39 5.06 5.28 5.14 4.97 4.06 3.53 3.16 2.22 1.35患者122.38 3.15 4.94 5.35 5.20 5.11 4.78 4.15 3.69 3.07 2.87 2.01 1.41患者132.47 3.37 4.14 4.77 5.22 5.56 5.15 4.96 4.01 3.65 3.01 2.
25、48 1.82患者141.88 3.01 4.14 5.38 5.21 5.12 4.81 4.24 3.48 3.13 2.45 1.58 0.98患者152.18 3.34 4.13 5.08 5.30 5.22 4.44 4.03 3.12 2.66 2.26 2.01 1.32患者161.67 2.49 3.65 5.27 5.17 4.97 4.64 4.10 3.32 2.95 2.11 1.65 0.82101 61 53 702 82 75 903 46 38 50 274 73 64 84 535 58 50 60 346 45 38 57 407 71 63 80 78 5
26、78 66 51 73 63 479 85 70 89 80 6010 55 40 60 52 3511 60 47 58 44 4012 42 39 53 51 38 6013 64 75 57 70 68 7814 70 78 53 69 48 62 6915 31 56 47 38 43 6716 48 60 36 40 50 4517 79 52 47 70 7818 60 52 35 41 5919 53 46 36 50 4820 95 80 62 9321 70 48 39 6822 52 60 47 5023 45 48 28 3824 86 69 57 7625 50 47 34 4326 48 32 29 5027 78 60 49 6328 80 55 33 4729 88 74 53 7230 73 59 48 6531 50 36 4632 80 52 69
