1、1数理统计习题答案第一章1.解： 122521222940361090435016534nii iXxSx 2. 解：子样平均数 *1liiXmxn8340626子样方差 22*1liiSmxn22228403410646460.7 子样标准差 2.3S3. 解：因为 iixayc所以 ii1nix1niiiiacy1nicay所以 成立xcy221nxiisx221221niiniiniiacycy因为 所以 221nyiis成立2xysc217281203.4.21enenMXR4. 解：变换 0iiyxi1 2 3 4 5 6 7 8 9ix1939 1697 3030 2424 202
2、0 2909 1815 2020 2310iy-61 -303 1030 424 20 909 -185 20 3101nii 63014209185203924.21nyiisy222222640.340.1304.92.9.185.7034 利用 3 题的结果可知22.197xys5. 解：变换 08iixi1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13ix79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02iy-2 4 2 4 3 3 4 -3 5 3 2 0 211niiy
3、y 243453203.0221nyiisy222221.03.05.034.035.7利用 3 题的结果可知2480.15371yxs6. 解：变换 iiy*ix23.5 26.1 28.2 30.4iy-35 -9 12 34im2 3 4 11liiyn35291430.=26.8571yx221lyiismyn222235.91.541.534.04.2 1.xys7 解：身高 154 158:158 162 162 166:166 170 170 174:174 178 178 182:组中值 156 160 164 168 172 176 180学生数 10 14 26 28 12
4、 8 2*1liixmn 5601461768217802322*1liismxn222220561460164816278783.4 8 解：将子样值重新排列（由小到大）-4，-2.1，-2.1 ，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.211728123.4.21enenMXR9 解： 12112nijxxx12nx2112niisx122212221 112221112niijxxnnssxnxnns21222111212 xnxnnxns 10.某射手进行 20 次独立、重复的射手，击中靶子的环数如下表所示：环数 10 9 8 7 6 5 4频数 2
5、 3 0 9 4 0 2试写出子样的频数分布，再写出经验分布函数并作出其图形。解：环数 10 9 8 7 6 5 4频数 2 3 0 9 4 0 2频率 0.1 0.15 0 0.45 0.2 0 0.14204.1637.7599101xFxx 11.解：区间划分 频数 频率 密度估计值154 158:10 0.1 0.025158 162 14 0.14 0.035162 166 26 0.26 0.065166 170 28 0.28 0.07170 174:12 0.12 0.03174 178 8 0.08 0.02178 182 2 0.02 0.00512. 解：ixP:iExi
6、Dx1,2in1122nniiiiiiXDxxn13.解： ,ixUab:iabE21ibaD1,in在此题中1,i0ix3ix,2i0501001502001 2 3 4 5 6 7 8 9身高学 生 数511203nniiiiiiEXxEDDx14.解：因为 ,iN:0iX1iXD所以 01iX1,2in由 分布定义可知2服从 分布22211nniii iXY2所以 :15. 解：因为 0,iN,2in 1230,XN:123XE13D所以 1230,N:2131X同理 2456:由于 分布的可加性，故2221345633XXY:可知 C16. 解：（1）因为 20,iN:1,2in1iX
7、所以 221niiYn:1 112YYyFyPy620yfxd211 21YYyfyFf因为 2200nxefxx 所以 2112 00nyYefyy （2） 因为 2,iXN:1,2in1i所以 221niiYn:22 22 0nyYnYFyPyfxd222 2YYff故 2212 00nnyYeyfy （3）因为 2,iXN:1,2in10,nii7所以 22311niiXY:23 33210ynYFyPyfxd233 21YYffn2 21 00xefx 故 23 0ynYefy （4）因为 20,iXN:1,i所以 12241,1niiniiY:242 2444 10 21yYYFyP
8、yfxdff故 24 00yYefy 17.解：因为 Xtn:存在相互独立的 ，UV0,1N:2V使 Xn21U:8则 21UXVn由定义可知 2,F:18 解：因为 20iN1,2in1,1niiX:21nmii所以 111 221nniiiimnmiiiniXYt:（2）因为 0,1iXN:,i2121niinmii n:所以 22112 21,niniiimniiiniXYFnm:19.解：用公式计算20.10.1929U查表得 .3U代入上式计算可得 20.13.62.20.解：因为 Xn:En2Dn由 分布的性质 3 可知290,12XnN:2ncPc21limcntnXcned故
9、2cPn第 二 章1. 00,()1()xxxxefEfde令从而有 2. 1112).()()kkxxEpp令 pX所以有 ） 其似然函数为1 1()()nixinXiLPp101ln()l()ln(iLPpXp0id解之得 1nii 解：因为总体服从（a，b）所以 21!()3niEXrabSX22（ a-b）（ ） D（ ） =令 （ ） （ ） ，+（ ） 4. 解：（1）设 为样本观察值则似然函数为：12,nx1()0,12,lnllniiiniLnxd（ -）解之得： 1lniiiix（2）母体 X 的期望1110()()Exfdx而样本均值为： 1()niX令 得5.。解：其似然
10、函数为： 111()2()ln0ni ixxiiiLe令得 ：（2）由于 0 0112()()xxxxnniiiEedededE 所以 为 的无偏估计量。ix6. 解：其似然函数为：(1)(1)()()!kknnxxi iLeeiiilllXii121ln()0nidLkX解得1ni(),fx解：由题意知：均匀分布的母体平均数 ，20方差 12)0(2用极大似然估计法求 得极大似然估计量似然函数： niL1)( niiii xx1)(man0选取 使 达到最大 取LLniix1a由以上结论当抽得容量为 6 的子样数值1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，时即 2.,1.2 403.1
11、222 8. 解：取子样值为 )(),(21 inxx则似然函数为： ixieL1)()(ini niii xx11)()(ln要使似然函数最大，则需 取),m2n13即 =),min(21nxx9. 解：取子样值 )0(,(2,1inxx则其似然函数 nii xixeL11)niL1l)(lnnid1)(l xni1由题中数据可知 20)654570351250124536(10 x则 .10. 解：（1）由题中子样值及题意知：极差 查表 2-1 得 故7.452.6R429.015d 025.7429.0（2）平均极差 ，查表知 1.03.10 .15.34.解：设 为其母体平均数的无偏估
12、计，则应有u x又因 4)2610348(601x即知 12. 解： )1,(NX， ， 则)(ixEixD)2,1(i 2113)(EXE21243E3)(X所以三个估计量 均为 的无偏估计321, 9514914)3()( 221 DXD同理可得 ，85)2(14可知 的方差最小也亦 最有效。3213 解： )(PX)(,XDE1)( 22*niiSE )(122XnEnii)()(122ni )(即 是 的无偏估计2*S又因为 niiniinii EXEXE111)()()即 也是 的无偏估计。X又 ,0 )1()()()( 2*2* SSa因此 也是 的无偏估计2*)1(14.解：由题
13、意： ),(2NX因为 )()()( 211 12 iini iiii XEXDCEC 21211 )(0)()( nXDnini ii要使 只需 所以当 时 为 的无偏估计。2)(E)1(nC)1(C215.证明： 参数 的无偏估计量为 ， 依赖于子样容量Dn则 由切比雪夫不等式,0故有limDn 1lipn即证 为 的相合估计量。16 证明：设 X 服从 ，则分布律为 ),(pNB kkNPXPC)1()(),21(N这时 PE)( )1(XD22ED15例 4 中 所以 （无偏）NXpPNXEP)(nD)1(22罗克拉美下界满足 nk PNKNPKNRLpI C0 2)1()1(1 NK
14、 KNKNLnnP0 2)1()()( KNKNPn02)1(1 )1(2)( 222 PEXPEXEX222222 )()()( NPN )1(n所以 即 为优效估计PDNIRp17 解：设总体 X 的密度函数2)(1)(xexf似然函数为 ni xnxiii eeL1 2)(22)(2 1)( 2122)()(ninLn 02)(412nixdLiix122)因为 =dxfLn)(2dxe2)(2421)( 16= =2)()(41448 XE42n故 的罗 克拉美下界242nIR又因 niiXE122)(niiXE12)(且 niiD122)()(4n所以 是 的无偏估计量且 故 是 的
15、优效估计2 )(2DIR218 解：由题意：n=100，可以认为此为大子样，所以 近似服从nSXU)1,0(N12uP得置信区间为 nsx2()2nsux已知 s=40 =1000 查表知 代入计算得95.01 96.12u所求置信区间为（992.16 1007.84）19.解：（1）已知 则由cm01.)1,0(NnXU2uP解之得置信区间 nX2()2nuX将 n=16 =2.125 645.105.2u01.代入计算得置信区间（2.1209 2.1291）（2） 未知 )1(ntSXT1712tTP解得置信区间为 2(tnsX)2tns将 n=16 代入计算得753.1)()15(0.2
16、tt 09.S置信区间为（2.1175 2.1325） 。20解：用 T 估计法 )1(ntSXT)1(2ntP解之得置信区间 2(tSX)2*tnS将 n=10 查表6720XS 6.9(05.t代入得置信区间为（6562.618 6877.382） 。21解：因 n=60 属于大样本且是来自（01）分布的总体，故由中心极限定理知 近似服从 即)()1(pnXpni )1,0(N)1(2uP解得置信区间为 2)(npX)1(2unpX本题中将 代替上式中的 由题设条件知nU5.0U查表知05.)()1(2pn 96.1025.n代入计算的所求置信区间为（0.1404 0.3596）22 解：
17、 未知 故2)1,0(NnXU18由 解得12uUP置信区间为 2(nX)2un区间长度为 于是2uL2计算得 即为所求24ULn23解： 未知，用 估计法 )1()1(222nSn 221P解得 的置信区间为 2)1(Sn)1(2Sn（1）当 n=10， =5.1 时 查表 =23.59 =1.73S)9(205. )9(25.0代入计算得 的置信区间为（3.150 11.616）（2）当 n=46， =14 时 查表 =73.166 24.311 )4(205.)4(295.0代入计算可得 的置信区间为（10.979 19.047）24解：（1）先求 的置信区间 由于 未知)1(ntSXT
18、2tP得置信区间为 2(tnSX)2tnS经计算 查表 n=20 203.15SX093.)1(025.t代入计算得置信区间为（5.1069 5.3131）19（2） 未知 用统计量 )1()1(222nSn221P得 的置信区间为 2)1(Sn)1(2Sn查表 =32.85 =8.91)19(205.)9(275.0代入计算得 的置信区间为（0.1675 0.3217）25解：因 与 相互独立，所以 与 相互独立，故1nXnX,2 1nX)1(02N又因 且与 相互独立，有 T 分布的定义知)(2nSn1)1()1(121 ntSXnXn26 解：因 ),NXi mi,2),(2NYj nj
19、,1所以 ， ,0()(21 ),0()(22nY由于 与 相互独立，则XY)(,0)()( 221 nmN即 又因 )1,(21nmY)1(2msx)1(2nsy则 )(22syx20构造 t 分布 =nmYX21)()( )2(2)()(21 nmtnmsYXyx27 证明：因抽取 n45 为大子样)1()1(22*2nsn由 分布的性质 3 知近似服从正态分布)1(2nU)1,0(N所以 2uP得 或22)1(n 222)1(unsu可得 的置信区间为2221,1unsuns28 解： 因 未知，故用 统计量2T)(1)(mntnsYXTw其中 而 2)()(12s05.2mn查表 4.
20、)(025.t计算 681X15.7Y， ， 代入得9.21s02s625.32ws97.1)(2 mnntYw故得置信区间 )4237.1,.62129 解： 因 故用 T统计量221其中)()(2mntnsYXTwBA2)1()(12mnSSW12tP计算得置信区间为mntSXWBA 1)2(2 )1)2(2mntSXWBA 把 =0.000006571 =2.364 2 )7(2t代入可得所求置信区间为（-0.002016 0.008616） 。30解：由题意 用 U 统计量)1,0()(21NmSnX计算得置信区间为2uPSnX2121( )2121mSnuX把 7.1X6.22103
21、5.038.0代入计算得 置信区间905.2u )51.,9(31解：由题意， 未知，则21,u则),(1221*2nFS 1),()1,( 1221 nFnFP经计算得 ),(),( 2*1221*2121 SSP22解得 的置信区间为21 2*122*121 ),(,),( SnFSnF61n9245.02*1S357.0*205.查表： 8.),5(0.F 27.8.41),(),8(025.975.0 F带入计算得 的置信区间为： 。21639.,14(32. 解： 未知，则 即：)*ntSXT1)(ntTP有： 则单侧置信下限为：1)(ntP nStX*)(将 带入计算得6720X*
22、S083.)9(5.t 471.6592即钢索所能承受平均张力在概率为 的置信度下的置信下限为 。%.33.解：总体服从（0，1）分布且样本容量 n=100 为大子样。令 为样本均值，由中心极限定理X又因为 所以)1,0(2NnP2S12unSpXP则相应的单侧置信区间为 ， ()2unX将 =0.06 X94.06)12nmS 645.105.代入计算得所求置信上限为 0.0991即为这批货物次品率在置信概率为 95%情况下置信上限为 0.0991。34.解：由题意： )1()1(222nSn1)(12nP解得 的单侧置信上限为)(21S其中 n=10， =45， 查表 3.325S9)5.
23、0n代入计算得 的单侧置信上限为 74.035。23第五章1.解： 对一元回归的线性模型为 iiYx1,2in离差平方和为21niiiQy对 求 的偏导数，并令其为 0，即1niiiyx变换得 211nnii解此方程得 2xy因为 DEiiiyx所以 221niiiyx2212222niiiiyxyx2xy其中 1nixy221nix221niy2. 解：将 2690.4736.5y245.xm234.65y代入得222 2.129087690.4876.53.0.410.78xyxym243 证明：00211duv012niiiiivdu100 21 110212112ni iiiiniii
24、niiixcycdddxydxyx 001 010011dcvucdcdyx2522012001 21001 2 00 11121niiini iin iiini iiniiidvudxcycdyx 4.解：15202530354045505601801902021020230240250260品质指标支 数B将 3.x.y761.xy213.xm23457.6y代入得22 220.355.9810.98.76.143457630.6xyxm为 的无偏估计量*2*220786.94.101n265. 解：将 6x210.4y158xy2xm2109.84y代入得2*222586.3.910.4
25、1.9.865.373.57xmyn假设 0:38H1:38H用 检验法 拒绝域为T20*1niixtn查表得 0.253.84t将上面的数据代入得 0.251.9tt所以 接受 即认为 为 38H6. 解：（1）由散点图看， 的回归函数具有线性函数形式，认为长度对于质量的回归是线性的。x5105205307891012长度 质 量B（2）将 .x9.4y179.3xy27.9xm2.45y代入得 2.540.182xm9.40187.63y635.2xx（3）当 时 16x00yab27由 分布定义T002*1niiYxTtn:000.252*1 0.95niiYxPtn所以 的预测区间为0
26、Y2 20 0* *0.25 0.251 1,n ni ii ix xxtnxtn 查表得 0.254.76t将（2）的数据代入得 *222.450187.90.750.86n计算得 的预测区间为 0Y951,79. 解：利用第八题得到的公式 将 21x41.2y318xy290xm代入得23184.990.21.8xym10.。解：二元线性回归模型为 1,2,iiiiYxn离差平方和为211niiiiQyx对 求 的偏导数并令其为 0Q12,281211 0niiiiiiiiyx可变换为21112221110nnniiiiiixyxx正规方程为2121xxy最小二乘估计为221121212x
27、yxx其中 11nixy221nixy1212nixx21njijx,11 解：（1） 2p15n采用线性回归模型 2Yxx15248.iy16.5y152.315i 1920ix1526734ix16.x 521i28.291523489ix152436ix1570iy 152095iy215152634.637.4iiLx2151522 89510.52.iix 151512221436097i iiLx5155111705yi iixxy 5155222112639.103.256yi iiL于是 6.3074215.L1263y可得 1256L所以 120.4.0.4yx12.解 3p8n采用线性回归模型 123Yxxx18463iy8.7y1825i1.9x125ix24.x
