1、07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料1概率论与数理统计第四章练习题1.掷两颗骰子, 表示两颗骰子出现的向上点数较大者,则 .Y )(YE解:设两颗骰子向上的点数分别为 ,显然它们是相互独立的,且 ,21X21maxX它的可能取值为:1,2,3,4,5,6,且 .于是,有:654,321;,6jijPi amax2121 kPkkYPkY(由于 相互独立,故有:), 2121kXX21X,36622121 kkPk(其中: ).6,543,k故, .361276123121)661 kkkYE点评：（1）此处引进 对于求 的分布律带来了方便.（2）对取正整数值的离散随21,XY机变量，总有
2、公式 ,这可使求含有 的概率时带1kXPkP max来方便，同时 ，可应用分布函数的信息，本题中)(xFX便于事件分解和概率的计算.（3）kkkYP2121,ma求离散型随机变量的数学期望，主要是求它的分布律，求出分布律，代公式即用定义可以求出 .)(1XEpxii )(XE2 （95 数 1-3）设 表示 10次独立重复射击中命中目标次数，每次射中目标的概率为0.4，则 .2解： 则),4.01(BX 4.2)(,4)(npqXDnpE.1822XDE点评： .此公式常考.)()(3 （90 数 1-3）若 则 .;23;ZPZE解： .4)(23)(XEZE07 年新疆财经大学数学考研辅导
3、班教学资料2点评：本题考查期望的性质，典型分布下的特征值.4 （90 数 4-3）设 且 则 的值为 .,pnBX;4.1,.2XDEpn,（A） ；（B） ；6.0,pn4.0,6（C） ；（D） .38解： .1)()(,4.2)( pnqXXE联立解之得： .60np点评：典型分布下的特征数值要记忆.5 （87 数 4-8）设 5.032.1X（1）求 的分布函数 ；（2）求 的期望与方差.xFX解： xPXxFxk3,15.02,)(9.;3.2)( 12231kkk pEpxE则， 6.0.5)()(XXD6 （92 数 3，4-7）一台设备同三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整
4、的概率相应为：0.1,0.2,0.3，假设各部件的状态相互独立，以 表示同时需要调整的部件数，试求 的XX数学期望 和方差 .E解：显然， 的取值为：0，1，2，3X989 7.029.708.1;504.7 PP同理， .63;2X则， 故 .;0.9.8.054.1X 460)(;6.)(XDE7设 则 的数学期望 .),(pnB)(;2aYX Y解： nkknnkkkknX qpCqpCqaE 000 2(07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料3.22nnnqapqap点评：本题求解过程中用到了二项式定理.8 （92 数 1-3）设 则 .,1EXxe2解： .34)(;,0)( 2
5、2 XXx eEef其 他其中： .31)(;1)(22dxfEXxX9.（00 数 3，4-8）设 是二随机事件；随机变量BA, 不 出 现若 出 现若 AX,1试证明 和 不相关的充要条件是 与 相互独立.不 出 现若 出 现若Y,1XYB解：基本思路： 不相关YX, .0),( PCOV令 则, 1221pABPpAP BYA1;1.2)()(;)()( 1 pBPYEE ;12)()(1, 212 1 pABPp APXYX;1pP124)( 12121212 pXYE;4)()(,cov2pYEX故， .012 BPAp10.设 ，则 与 的联合分布为 .81,cos,431X且 X
6、Y解： .21)(,81)()(),v(;2)(,)( EEYXYE故.211P且07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料4于是，.21401,),( YX11有两个盒子，第一盒子中装有 2个红球，1 个黑球，第二个盒中装有 2个红球，2 个黑球.现从这两盒中各任取一球放在一起，再从中任取一球，问：（1）这个球是红球的概率是多少？（2）重复上述过程 10次，记 X表示出现取出的球为红球的次数，求 .2XE解：第一问用全概率公式计算；第二问中的 服从二项分布，并注意即可.)()(22EXDE令 “取出的球为红球” ； 分别表示“从第 1，2 盒中取出一个红球”.由全概率公A21,B式： 212
7、1212121212121 )()()()()( BAPBAPAPAPBP 其中： ;34;34 B于是， .06263 2121121 2121212 )()()()()( BAPBAPAPBAP .127由题意 ，则 ；127,0X 725)(;6351270)( npqXDnpXE故 .485)(2 DE点评：若先求出 的分布律,再按定义计算 ,则计算过程将十分复杂,二项分布的2 2数字特征多次反复考查过，应特别注意.12.已知甲袋中有 2个黑球,3 个白球,乙袋中有 1个黑球,4 个白球,丙袋中有 3个黑球,2 个白球.先从甲,乙两袋中各取一球放入丙袋,求: (1)丙袋中白球数 的数学
8、期望;(2)从丙袋X中任取一球是白球的概率.解:记 “从甲袋中取出一白球放入丙袋” ； “从乙袋中取出一白球放入丙袋”.则由题AB意可知， 与 相互独立.B的可能取值为：2，3，4.而X;251PAP;25143B故， .5434BX7XE令 “从丙袋中任取一球为白球” ，则 ，于是由全概率公式有：C BAA07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料5.3517 BACPBAPBACPABPC点评:在计算 时,我们采用了定义法,即先求出 X的分布,再由定义去求 .当然,XE XE也可采用性质来计算 ,如果记 ;否 则 球从 甲 袋 中 取 出 的 球 是 白,0,1,则 与 相互独立,且 ,否
9、 则 球从 乙 袋 中 取 出 的 球 是 白,0,12X1X2 532101X.而 .于是 .这样,显然比用542 21X21EE的分布进行计算要简便得多.X13.独立地重复进行某项试验,直到首次成功为止,每次试验成功的概率为 ,假设前 5次试p验每次的试验费用为 10元,从第六次起每次的试验费用为 5元,试求该项试验的总费用的期望值 .a解:以 表示试验的总次数.首先求出 的概率分布.设 为第 次试验成功(k=1,2,),XkA则 ;于是 的概率分布为: .即 服从参数为pAPkX,21npqPX的几何分布.现在求试验的总费用的期望值 .由条件可知,试验的总费用为:a.5,2105),(5
10、01XXY该项试验的总费用是一个随机变量,其期望值为:. 51516151 2)( qnpnpqnnpqEan 其中: .1665; 2525651651051 pqdqqdtnnqn .故 .ppn1 556)(pYEa点评：本题考查了函数期望的计算,无穷级数求和的一般方法.14.任意抛掷两枚骰子,则出现的点数之和的数学期望为 .解:直接求出点数之和的分布比较复杂,而将此分解为 ,其中 分别是第一,二21X21枚骰子出现的点数,再用公式 便可得出结果.即:)()21EXE07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料6设 分别表示“第 1，2 枚骰子出现的点数” ，则21,X.,66543ii于
11、是， ，故 .2721iE 7)()(2121 XEXE点评:若将 分解为 ，则 ，但 ，不一定XniiX1nii1)( niiD1(成立，除非 相互独立.),2(i15 （97 数 1-7）从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立的，并且概率都是 .设 为途中遇到红灯的次数，求 的分布律，分布52XX函数，数学期望.解： 的可能取值为：0，1，2，3 则 .X,3B； ；57P125413CXP； .263223CX 83故， .15854170 56)(;3,1257,80,)( XExxPxXxFxk点评：途中遇红灯的次数 X服从二项分布 ，52,
12、B故 .有了分布列，则可求出其他.)3,10(5323kCkXPk16 （89 数 4-8）已知 和 的联合分布：Y07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料7 15.0.2.051.0. ,YX试求：（1） 的概率分布；（2） 的概率分布；（3） 的数学期YX2sinYXZ望.解： 15.04.1032;3.045.1X.sinsin5.2sinsi0)( ZE点评：由定义容易求得 及 的概率分布，于是套公式便可求出YX2YXZ.17 （00 数 3，4-3）设 ，则 .0,1,2xYUYD解：依题意： ； .其 他,031)(xxfX 31)()()(21dxxfE故,1)(31)(2dY
13、E.98)()(2XXD18.（87 数 3-4）设 ，求：随机变量 的数学期望.0,02yeayfy YZ1解： dteaydeadeadyfYEZ tay 22102 11)(1)(.222tea点评：当 时，由密度函数的定义可知： .)1,0(NX 1212dte19.（89 数 3-7） ，试求：（1） ；其 他,00, yxeyxfyx YXP（2） .XYE07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料8解： 21),(0)(yxyx dedfYXP.),()( 00 yfEx点评：若 ，且 ，则 .)(xXXfYdxfYE)(20.（98 数 16）设 与 相互独立，且都服从 求,2
14、10N.:YXD解：令 ，则 ，YXZ 1)()(;)()( ZYEXZ故 .)1,0(N于是， 及ZEDE 2222;1)( .1,.022 ZdzedzeZ故21.在长为 的线段上任取两点，则两点间的距离的数学期望为： .a 解：将线段置于数轴上，使之与 重合，设 分别表示任意两点的坐标，则 与a,YX, X独立，且都在 上服从均匀分布，故Ya,0其 他,01),(,2ayxayxf. 3)()(11 02022 dyxdxadxyaXE aD 22.设 且 则 .,bU,7,)(XE63XP解： 7412)()(;2)( 2abXE；故 .5164baba36XP23.设 与 相互独立，
15、且 则 .XY),();2,(YN)XYD解：由题意： .,1)(EDE07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料9，又 与 相互独立，)()(22XYEXYD则 ，3612)()(22 XEDE.故， .9)()(22 79)(2Y点评：当 与 独立时， 与 亦独立.XY2Y24.（94 数 1-6） ，且 设 .4,0,31N1,23Z求：（1） ；（2） ；（3） 与 是否相互独立？为什么？ZDE,ZX解： ;)()(3)(Y3)(31)(4)(91 2,492 XYDYXDCOVZ),(21,2,),( YXVVCOVZ.0)(,213YXX故， 与 不相关 与 独立.0,ZZ25.（
16、1）设 与 独立，且 试求： 的密度函数；Y)1,(),21(N32YXZ（2）已知 相互独立，同服从于 求 ., ,0E解：当 和 服从正态分布时，其线性组合亦服从正态分布，且 而XY ,)(,ZDENZ，故 .9)(5)(;3)(2)( YDZEZE 95(于是， 的概率概率密度为： .1852zZezf同理， .1,0NX故 .22dxeE26.设 ,则 与 的相关系数为 .3),10(XYY07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料10(A) ；(B) ；(C) ；(D) .21341解: . .)(,YDXCovY 1)(,0XE其中： XE3232),( 23.E3223; .01
17、)(23被 积 函 数 为 奇 函 数dxeX1)()(22XDXE故, .XYCov3,23323E222)( ED.5961423EX 04042042 2288)( dtetdetdxedxet 16163135240152tt.3故, .9256134)( 2XEXEYD于是, .)(, YDCovX点评：正态分布下的概率计算经常用到 函数和 函数,一些知识点必须记忆.如: (1) ；(2) ；(3) ；012012dyedxe 11(4) ；(5) ；(6) ；!nqpdxxqpqp101)(,(7) ；(8) ；(9) ；2102 dxe 2, 2,(10) .2x07 年新疆财经
18、大学数学考研辅导班教学资料1127.人的体重 个人的平均体重记为 ，则 .10),(NXT（A） ；（B） ；,10)(YDE 10)(,)(YDE（C） ；（D） .)(10解：由题意， ，1,10iiXNX有 .故应选项为（B）.1)(,10)(iiYE 0)(01ii点评:本题考查期望与方差的性质及典型分布下的特征数字.28.已知甲袋中有 2个黑球,3 个白球,乙袋中有 1个黑球,4 个白球,丙袋中有 3个黑球,2 个白球.先从甲,乙两袋中各取一球放入丙袋,求: (1)丙袋中白球数 的数学期望;(2)从丙袋X中任取一球是白球的概率.解:记 “从甲袋中取出一白球放入丙袋” ； “从乙袋中取
19、出一白球放入丙袋”.则由题AB意可知， 与 相互独立.B的可能取值为：2，3，4.X而 ;251PAP ;25143B，故 .25434BX7XE令 “从丙袋中任取一球为白球” ，则 ，于是由全概率公式有：C BAA.3517 BACPPBCPAP点评:在计算 时,我们采用了定义法,即先求出 的分布,再由定义去求 .当然,XEXXE也可采用性质来计算 ,如果记 ;否 则 球从 甲 袋 中 取 出 的 球 是 白,0,1,则 与 相互独立,且 ,否 则 球从 乙 袋 中 取 出 的 球 是 白,0,12X1X2 532101X.而 .于是 .这样,显然比用542 21X21EE的分布进行计算要简
20、便得多.X29.设随机变量 相互独立且均服从正态分布 若概率 ，Y, ,2N5.0bYaXP则 .07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料12（A） ；（B） ；5.0,.ba5.0,.ba（C） ；（D） .解：作为相互独立且服从正态分布的随机变量的线性组合， 仍服从正态分布，而bYaX正态分布随机变量在其数学期望的左右两侧取值的概率为 .50.22)(,)(,)( NbYaXENbYaX .1)(5.0)( 2222 babaP点评：（1）服从正态分布的独立变量之线性组合仍服从正态分布，且以其期望和方差为参数；（2）本题也可将条件“随机变量 相互独立且均服从正态分布 ”改为YX, 2,N
21、服从二维正态分布 ，此时， 仍服从正态分布；YX, ;,212NbYaX（3）本题若将条件“随机变量 相互独立”去掉，则 不一定满足正态分Y,布.30.已知随机变量 ， ,则 与 .1,UX3X（A）不相关且相互独立；（B）不相关且相互不独立；（C）相关且相互独立；（D）相关且相互不独立.解： “独立时，必不相关.”的逆否命题为“相关时，必不独立.”故只要验证两个变量是否相关即可. ，故 .102)(,021)( 14 dxXYExdXE )()(YEX于是， 与 相关但不独立.应选（D）.Y点评：（1）独立系指联合分布等于两个边缘分布之积，即：若 是连续型随机变量，Y,则 ；若 是离散型随机
22、变量，则 .或者对于任意的)(),(yfxyfYX, )2(1jiijP和 都有 成立.（2）两个变量不相关系指它们xyYPxXP,的相关系数为零.（3）独立时，必不相关；但不相关时，不一定独立.（4）不相关与下列条件等价：（5）对于;0),(;0),();()();()( YXCovDDYEX二维正态分布下的两个随机变量而言，不相关与独立是等价的.31.假设随机变量 ,则 和 的相关系数等于 .1UXarcsinrcos07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料13(A)-1；(B)0；(C)0.5；(D)1.解:由于 和 有明显的线性关系: 可见相关系数Xarcsinrcos Xarcos
23、2arcsin的绝对值等于 1,因为 和 的变化趋势恰好相反,所以立即可以断定ainXrcos.由于是单项选择题,所以不需要再验证选项(B),(C)和(D).1点评：本题由相关系数的概念及意义进行断定,而不须计算.32.如果随机变量 ,且 则区间 为 .baUX,34)(,)(DEba,(A) ;(B) ;(C) ;(D) .6,05,1423解:若 ,则有 解之得:ba .3412)(),)( X.5,1ba故,应选项(B).点评:要牢记典型分布下的特征数字.33.设随机变量 与 相互独立，它们都服从区间 上的均匀分布，令 ，XY,YXU求 .UD解：先求出来 的分布函数与概率密度，再计算
24、.D因为 服从区域 上的二维均匀分布，则YX,1,1, yxy.uYXPuUF当 时， ；当 时， ；0021uYXPuUF当 时， .2u 42YXPuFU 由 几 何 概 率 之 计 算 得于是， .2,104,uPU故， .其 他,021uufU于是， ；321,32200 duUEdE07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料14.922UED点评：本题考查分布函数的定义，密度函数与分布函数的关系，几何概率的计算，方差和期望的求法.34.设随机变量 与 相互独立,已知 服从指数分布 , 服从 上的均匀分布,XYX2Y0则 .2E解:由题意, , ;又 , ,又 与 相互独立,则14D1
25、YE3DXY,而 ,从而有27)(YXYD123422 EX.3472E点评:当 与 独立时, ;常用公式 .XY)()(YDXYD)()(22XEDXE35设两个相互独立的随机变量 与 同服从均值为 3，方差为 的正态分布，求随机变1量 的数学期望和方差.解：因为 和 且独立，则 .令 ，X21,3NY1,0NYXTYX于是有： . 22022dtedteTE点评：本题考查独立正态变量的分布性质，二维变量下求数学期望的一般方法.36设 和 是相互独立的两个随机变量，且 ， ，则XY24,1NX23,1Y.（A） ；（B） ；（C） ；（D） .25,0N25,)7,0(),2(解：因为两个独
26、立正态变量的线性组合仍为正态变量，故 .)(),(YXEYX而容易求得： ， .025)(Y于是， .故，应选（A）.,0)(),(NDN点评：本题考查独立正态变量的性质.07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料1537 （87 数 1-3）设 则 .,112xexfXXDE;解： 故 21)(21xexf 21,NX于是， .,XDE点评：经配方后，由正态分布的定义可求得 与 的值.XED38 （90 数 4-3）设 ，且 相互独立，设随机变量1,2,3NYY,则 .,72YXZZ解：由于 是相互独立的随机变量，其线性组合仍服从正态分布.又,且 故 .,0)()EE ,5)(4)(YDXZ
27、)5,0(NZ点评：设 又 与 独立，则 仍服从正态分布，且,221NYX.22NY39 （99 数 4-3） 且 则 .,P,12XE解：由题设， ).();)(,)( 2EDDXE 13232122即， .1,340.（94 数 1-6） ，且 设 ，224,0NYX,2,YX23yxZ求：（1） ；（2） ；（3） 与 是否相互独立？为什么？ZDE,Z解： ;1)()(3)(3)(31)(4)(91 2,492 XYDYXDCOVZ07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料16.0)(,21)(3 ),(21,312, YDXXDYXCOVVCOVZ故 不相关 独立ZY,0,Z,点评：对
28、于正态分布而言，独立与不相关等价.41.设随机变量 与 相互独立,已知 服从指数分布 , 服从 上的均匀分布,XX2Y0则 .2YED解:由题意, , ;又 , ,又 与 相互独立,则14D1YE3DXY,而 ,从而有27)(X123422 EX.3472YED点评:当 与 独立时, ;)()(YDYD常用公式 .22XEX42.(04数 1,44)设随机变量 独立同分布,且其方差 ,令)1(,1n 02,则 .miinY1(A) ;(B) ;nXCov21,21,YXCov(C) ;(D) .Y21)(,n21)(,解:因为随机变量 独立同分布,则有 .)(,1nX jiXji,0,cov2
29、于是, . nnYCov iniii 21111 ,c, 故,应选(A).点评:本题考查了协方差的主要性质.共计有以下四个知识点: (1)当随机变量 与 独立时, ;(2) ;(3) X0),cov(YX)(,cov(XD07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料17;),cov(,covYXabYX(4) .bZXaZ,covZXbYa,cov,cov43.(03数 3,44)设随机变量 和 的相关系数为 0.9,若 ,则 与 的相关4.0系数为 .解: .90)()(,cov)(4.0,cov)(,cov YDXYDXYXDZYYZ 点评:本题考查的主要知识点有：（1） ；bZabZa,c
30、ov, （2） ；（3） .0,covaX)(cov,cXY44 （00 数 3，48）设 是两个随机事件；随机变量 ；BA, 不 出 现若 出 现若 A,1.试证明随机变量 和 不相关的充分必要条件是 与 相互独立. 不 出 现若 出 现若Y,1XYB证明：显然， ， ， ，APXAP1P1.BYP于是， .21)( AXE同理， .2容易确定随机变量 的取值为：1，-1.XY.121, BPBPYPPY.AB2于是， .141)( AXXYE. PEYX4)(,cov 显然， .即， 和 不相关的充分必要条件是事件BAP0Y和 独立.AB点评:两个随机变量 和 不相关的充分必要条件有：Y;
31、 ; ; .因此,只要XY,cov)(EX)()YDXD07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料18验证其中一个成立即可.于是,我们验证 .为了计算 ,需计算0,covYXYXcov和 ,而这又必须计算出随机变量 的概率分布.故解这道题应)(YEX) ,从求以上三个随机变量的概率分布开始.45.假设随机变量 独立同分布且其方差存在，记 ，521,.XW321Z，则 和 的相关系数 为 .543WZ),(Z（A） ；（B） ；（C） ；（D） .2315解：按定义求解即可.令 则 其中：,5.1,)(2iXDi.)(,),(ZDWCovZ .)(,(, 23354321 XXXCovZWv于是
32、， .1)(),( 23ZD点评：本题考查相关系数.协方差的计算公式；协方差的性质（特别是当两个变量独立时，其协方差必为零）.46.设随机变量 ，且相互独立.（1）写出随机变量),(),2(2NYX，与 的分布；（2）求随机变量 ，与 的相关系数 ；)(Y)(YX)(（3）随机变量 ，与 是否独立？()(解:利用正态分布的有关性质解题.令 ， ，由已知条件可知： 都服从正态分布.YXUVVU, ,)()(,3)()() EEYEE ,2,2DDXDD故， ).,(),23(NVU， 22222 3)()()()( YEXEYEYEV于是， .0)()()(, VDUDCov虽然 和 都服从正态
33、分布，但是 不一定服从二维正态分布，所以，即使 ，U, 007 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料19也不能得到 和 相互独立，即 与 不一定独立.UVUV点评：对于正态分布，要注意：（1）如果 服从二维正态分布，则 与 相互独立YX, XY，即 与 不相关.（2） 与 分别服从正态分布，且 ，不能得到0XY 0与 相互独立.47.已知随机变量 ， ,则 与 .1,U3Y（A）不相关且相互独立；（B）不相关且相互不独立；（C）相关且相互独立；（D）相关且相互不独立.解： “独立时，必不相关.”的逆否命题为“相关时，必不独立.”故只要验证两个变量是否相关即可. ).()(,102)(,021)
34、( 14 YEXdxXYExdXE 故于是， 和 相关但不独立.应选（D）.Y点评：（1）独立系指联合分布等于两个边缘分布之积，即：若 ， 是连续型随机变量，则 ；若 ， 是离散型随机变量，则 .或者对于任意)(),(yfxyfX )2(1jiijP的 和 都有 成立.（2）两个变量不相关系指它xyYPxXP,们的相关系数为零.（3）独立时，必不相关；但不相关时，不一定独立.（4）不相关与下列条件等价：（5）对于;0),(;0),();()();()( YXCovDYDEXY二维正态分布下的两个随机变量而言，不相关与独立是等价的.48.假设随机变量 和 的数学期望都等于 1,方差皆为 2,其相
35、关系数为 0.25,求随机变量和 的相关系数 .U2V2解:首先求 和 的数学期望及方差. .由条12,32YXEVYXEU件知: . ,1,5.02, CovovCovYXCov因此, ;,)(4)(DDU.82YXvYV注意到: ,有3)(,4222EXE6)(4),(22 2VUYXE VUCov07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料20从而,随机变量 的相关系数为: .YXVU2, 46)(,VDUCov点评：本题综合考查了协方差的性质,计算,期望与方差的关系,相关系数的计算等多个知识点.49.设随机变量 与 相互独立且都服从标准正态分布 ，则 .XY)1,0(N（A） ；（B）
36、；410P4YXP（C） ；（D） .,max,min解：显然，只有通过计算才能确定正确的选项.令 ，则 与 相0,YBXAAB互独立，且 .21)(0dxBPA在选项（A）中，由题设可知： 且 ，,0NYX2,0NY因此 .同理，可类似地计算出（B）中答511YX案为： .20P对于选项（C） .431,max BPAPA对于选项（D） .综合以上分析，应选（D）.4inBYX点评：计算概率 ，P， ， ，是概率论考题中经常出现的，aYXa,xaYXP,min其附加条件常常是 与 相互独立，其概率密度分别为 ，这时我们可以利用Y)(,21yfx积分或者是事件的关系来计算上面四个概率值.如同本
37、题那样.50.设随机变量 都服从正态分布，且它们不相关，则 ., （A） 一定独立；（B） 服从二维正态分布；YX, ),(YX（C） 不一定独立；（D） 服从一维正态分布.解：不相关，即 对于二维正态向量 而言，不相关与独立是等价的，但当随机.0),(变量 都服从正态分布时，不一定二维向量 服从二维正态分布，因此 不一YX, YXYX,定独立.07 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料21点评：对于二元正态变量 且22112),(),( 21221 yxxeyxYX显然，当 时，有 221 2211 )(; yx eexX 0即 与 独立.同理可证， 与 独立时， .近年来的考研题,21yX
38、YXY已多次考过这个知识点，务必注意.51.设二维随机变量 ，则 .ZN,41;62, ),(ZCov解： .;,;,;, 21YX )(),(),(),(),(),( YDXXDYCovXvYCovZv .241点评：本题考查协方差的性质.计算；相关系数的计算；二维正态分布的记号.52设随机变量 独立同分布，且其方差为 .令随机变量)1(,21nX 02，则 .niiY1（A） ；（B） ；2D21nYXD（C） ；（D） .nYX1,cov21,cov解： nkknii XXX21111 ,cov,c,.nDXn2110,cov点评：本题考查了协方差的性质： ；niinii XX11,co
39、v,cov.X,cov53设两个相互独立的随机变量 与 同服从均值为 3，方差为 的正态分布，求随机变Y207 年新疆财经大学数学考研辅导班教学资料22量 的数学期望和方差.YX解：因为 且独立，则 .令 ，于是有：21,3N和 1,0NYXTYX. 22022dtedteTEYX点评：本题考查独立正态变量的分布性质，二维变量下求数学期望的一般方法.54设随机变量 与 相互独立， 服从参数为 的二项分布， .12Xi )1(,pi 2,1i令随机变量 ， .试确定 的值，使 与 的协,0211Y2,1012XY1Y2方差达到最小.解： 与 的协方差 .由于 ， ， 均为 0-1分1221212
40、1,covYE121布，其数学期望均为随机变量取值 1时的概率.这样只需求出概率 ， ，P2Y即可，这样 是关于 的函数，21YP,c 2122PYp再按通常方法求最小值. 01101 2121 XXE,同理 .2230pqXPqpYPE220121121 YY0,02P.qpXP 2221 31故， qpYEY 22212121 13,cov .)(33pgp则， .9)(2注意到 是二项分布的参数，因此 的定义域为 .)(pg1,0在 内 有唯一驻点： ，且当 时， ；当 时，1,0)(pg5.05)(pg5.0.故， 是函数 在 内唯一极小值点.即，当 时， 与.)(, 1Y07 年新疆
41、财经大学数学考研辅导班教学资料23的协方差达到最小.2Y点评：0-1 分布的一个重要特征是其数学期望等于随机变量取值为 1时的概率.另外，若服从 0-1分布，则 等仍服从 0-1分布.X, 22,YX55 （95 数 33）设随机变量 和 独立同分布，记 ，则随机变YXVU,量 和 必然 .UV（A）不独立；（B）独立；（C）相关系数不为零；（D）相关系数为零.解：由于 与 独立，同分布，则 ， ，则XY)(YEX22YE， ，0)()()EE )(V.综上， ，从而UV22 0,VUCov.故，应选（D）.0,56设 是两个随机事件，随机变量 ，已知 与 不21,A2,1,1iAXii不 发 生若 发 生若 1X2相关，则 .（A） 与 不一定独立；（B） 与 一定独立；1X21A2（C） 与 不一定独立；（D） 与 一定不独立；解：由题意有： ， .111AP2221APX则 .221,XEAPXE显然， 的取值为：-1 和 1.2212121211 , APXP.22APA.11
