1、习题三1、根据导数定义证明：（1） 证 )()(1Nnxn xxyn)(limli00;limlim1010 nxnx（2） 证 sin)(co xyxx cos)cos(lili00 ;sin2ilm)sin(l2)lim000xxxx （3） 证 2)1(v ;1)(li1li)1(li 2000 vvvvxyx（4） 证 xln xyxx ln)l(im)(lnli00.1)l(1imli0 xxxx 2、用定义讨论函数 在点 处的连续性和可导性 .)f0解 给 一个增量 ，则函数值的增量为0xx xxffy 1)(不可导lim,1lim001xxx 又 当)0()()()( xffff
2、 时又 在点 处连续1x0函数 在 处连续但不可导)(xf3、已知抛物线 ，32y（1）求抛物线在点 处的切线方程和法线方程；)1,2(0M（2）抛物线上哪一点处的切线平行于直线 ?2xy解 设抛物线 在点（2，11）处的切线斜率为 ，法线斜率为 ，则32xy 1k2k61,21kkx切线方程为 ，法线方程为y .068yx（2）设平行于已知直线的切线与抛物线的交点为 ，则由定义知此切线的斜率为2),(.令 则 .2)(xf 2)(f 3yx在抛物线上点（2，3）处的切线平行于直线 .x4、求下列函数的导数：（1） 解 ；xycos3xysin3)cos(322（2） 解 ；lni1（3） 解
3、 ；l3xy32xy（4） 解 ；nnaa110 122110)( nnn axxaxay（5） 解 ；)5(3xy 235xy（6） 解 ；ln2xl2（7） 解 ；xysi xxysinlconsi（8） 解 ；cot2)ico(（9） 解 ；2xy 22)(4)( xxy（10） 解 ；sin1co xsin12)sin1(cosi2（11） 且 解 ；0(laxy)xayxl（12） 解 ；xxy2log)n(xy12lnlog（13） 解 ；tasecx32csi)si(（14） 解 .xyoty3ino15、求下列函数的导数：（1） 解 ；21xy 222121 1)()()( x
4、xxy （2） 解 ；sinlcotsin（3） 解 ；)1co(2xy )1sin()12(2xxy（4） 解 ；564630（5） 解 ；)1ln(2xy 222211)( xxxy （6） 解 ；21arctnxy 2224)1( xxxy（7） 解 ；3)2(arcsiy 224)(arcsin3)(arcsin)(arcsi xy （8） 解 ；tanlxyxsin12cosin21)(ttan1（9） 解 ；2lx,xy（10） 解 ；)sin(y cos)s(in（11） 解 ；xe 22)(4)( xxx eey （12） 解 ；xey 22)(4)( xxx eey (13)
5、 解 )4(321 4ln213l2ln1l2xxy)4llll(4ln213l2ln1l2 xeyxx 411)4(3xxx（14） siny解 xesin1l3)sin1l3(sin1l3xeyx33 ico2)si(isi x（15） 解 xy)1( ;1)ln()1()(ln()l)ln xxexx（16） 解 .xy)(l)ln1(l)nl(l)(nlln xeyxx 6、据测定，某种细菌的个数 随时间 （天）的繁殖规律为 求:t tey17.04（1）开始时的细菌个数；（2）第 5 天的繁殖速度.解（1） ，则 时 . 开始时的细菌个数为 400 个.tey17.0440y（2）
6、)/(159./7.05: 天个t7、由方程 求 .yxln解 由 得 .ly11y8、求下列方程所确定的隐函数 在给定点处的导数：)(xf（1） ； （2） ；)1,(023xy )0,(sinyx（3） ； （4） .,lns 1le解（1）方程两端对 求导，有，解得 ，即有 ；022yyy23 523)1,(2)1,( y（2）方程两端对 求导，有x， 解得 ，即有cos1yy ycos1 2cos1)0,()0,(y（3）方程两端对 求导，有x解得 ，即有0lnyxyyx1ln01ln),(),0(yx（4）方程两端对 求导，有 ，解得 ，即有0yeyx yex1 21),0()1,0
7、( yex9、 （1）验证函数 满足 ；xxsinco2x（2）验证函数 满足关系式2y013y证（1） ，xxesic xxxx eee)sin(co)(cs)si( 函数0)in(coino)n( 22 xxxx yy满足关系式 .xxeysico2ye（2） ， ，2221xxy ,)2(1)2(12)( 332 xxxy 函数 满足关系式 .,01)2()2(1333 xxy 2xy013y10、求下列函数的 n 阶导数：解（1） ， 由此类推知 xey3解xxx eeyey333,9,xne3)(（2） 解 ， ， 由此可知 aaa2lnlnayxlnnxny)(l)(（3） 解 ，
8、cosxyxy )cos(),2cos(in ， 由此可知 )23(inxy )2s()(nn（4） , 解 , , , 由此可知)1l(xy12)1(xy 3)1(xy.nnnxy)(!)(11、求下列各函数的微分：解（1） 解 123ydxy26（2） 解 lncosxdxe1（3） )10)(12aayx且解 dxxadxd 2)1(ln2l （4） 解 xeysineyxcossi(（5） 解 21dd2)1(（6） 解 xeyxexy（7） 解 2cosd2sin（8） 解 2xyxy2（9） 解 )1sin(2xy dxxdy)1cos(22（10） 解)(co2dxxdx)1(sin41sin2212、已知一平面圆环的内径为 10cm，外径为 10.1cm，求（1）圆环面积的精确值；（2）圆环面积的近似值.解（1）圆环的面积 ，圆环面积的精确值)(412dDS2210.)0.(4S )(502.1.42cm（2） 圆环的近似面积为 ，.)(4122 DSds2).(5708.11,.0,12 cScmDc 13、求下列各式的近似值:（1） ； （2）0.43sin解（1）令 ,取 ,则 ,xy01.,4xxyx025.210.4x（2）令 ,取 ，sin365.8,65072.cosin)(sii03si 360xx
