1、1高等数学基础形考作业 1 答案：第 1 章 函数第 2 章 极限与连续（一）单项选择题下列各函数对中，（C）中的两个函数相等A. ， B. ，2)(xfxg(2)(xfxg)(C. ， D. ，3lnf ln1f 12设函数 的定义域为 ，则函数 的图形关于（C）对称)(xf ),()(xfA. 坐标原点 B. 轴xC. 轴 D. yy下列函数中为奇函数是（B）A. B. )1ln(2xcosC. D. ay )1ln(xy下列函数中为基本初等函数是（C ）A. B. 1xy xyC. D. 2 0,1下列极限存计算不正确的是（D ）A. B. 12limx )ln(im0xxC. D. 0
2、snlix 1silx当 时，变量（C）是无穷小量A. B. iC. D. x1sin2)ln(x若函数 在点 满足（A ），则 在点 连续。)(f0f0A. B. 在点 的某个邻域内有定义lim0fx)(xC. D. )(00xf )(limli00xffxx2（二）填空题函数 的定义域是 )1ln(39)(2xxf,3已知函数 ，则 x2-x f2f xx)1(lim21e若函数 ，在 处连续，则 e 0,)()1xkf k函数 的间断点是 ,sinxy若 ，则当 时， 称为 。Afx)(lim0 0xAf)(时 的 无 穷 小 量0x（三）计算题设函数 0,e)(xxf求： )1(,0)
3、2(ff解： ， ，1fe求函数 的定义域lgxy解： 有意义，要求 解得21lxy210x102x或则定义域为 1|02x或在半径为 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，R试将梯形的面积表示成其高的函数解： DARO h EBC3设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为 h，即 OE=h，下底 CD2R直角三角形 AOE 中，利用勾股定理得22AEORh则上底故 22hSh求 xxsin3lm0解： 000sisin3lillm22xxx132求 )1sin(lm21xx解：2111() 1lililim2sn()()snxxx求 x3tanl
4、im0解： 00si1sin31ll 3cocosxxxA求 xsin1l20解：222200 0(1)(1)lmli limi sin(1)sinxx xxx02lii()x 求 xx)31(li解：14331()()lim()li()limli31xxxxx e求 4586li24xx解： 244422limlilim11xxx4设函数 1,1,)2()xxf讨论 的连续性。)(xf解：分别对分段点 处讨论连续性1,x（1） 11limli10xxf所以 ，即 在 处不连续11lilixxfffx1（2） 2211limlixxff所以 即 在 处连续11lilixxffffx1由（1）（
5、2）得 在除点 外均连续高等数学基础作业 2 答案：第 3 章 导数与微分（一）单项选择题设 且极限 存在，则 （C）0)(fxf)(lim0xf)(li0A. B. fC. D. cvx)(xf设 在 可导，则 （D）f0 hxfxfh2)(lim00A. B. )(20xf)(0fC. D. x设 ，则 （A ）xfe)(ff)1(lim0A. B. C. D. 2e15设 ，则 （D）)9()2(1)(xxf )0(fA. B. C. D. 99!9下列结论中正确的是（C）A. 若 在点 有极限，则在点 可导 B. 若 在点 连续，则在点 可导)(xf00x)(xf00xC. 若 在点
6、可导，则在点 有极限 D. 若 在点 有极限，则在点 连续（二）填空题设函数 ，则 0 0,01sin)(2xxf )(f设 ，则 。xxfe5)e(2fd)(lx5ln2曲线 在 处的切线斜率是 。1f),(1k曲线 在 处的切线方程是 。xfsin)(,2y设 ，则xy2y)ln1(xx设 ，则 。ln（三）计算题求下列函数的导数 ：y xye)3(解: xxe3xxe2123)( ylncot2解： xxlnl2 xln2cs2 xyln2解： x22ln x2l6 32cosxy解： 233cosxx 4)2(cos3)2lnsi(xx xysinl2解： xx222sinsinll
7、xx22sincos)(l)1(i xylsin4解： xlsili4 xxlcosi43 xy3sin2解： 22233sinixx xxx2233ln)(si)(cos xyltane解： xexx lntat xex1costa2求下列函数的导数 ：y xye解： xxx e21 ycosln解： xxtancosii1 xy解：87817 xy2sin解： xx2sincosin2i 2sixy解： xxcsco2esxy解： 222sininxxx e xycos解： xnncosii )sin(cosi1 xnxnxysi5解： xsinsin 5lcslxycose解： xexc
8、oss ini在下列方程中， 是由方程确定的函数，求 ：y()y xy2ecos解： yey2inyex2cosin xylcs解： xyy1.cosln.i )lnsi(xy yx2si解： 2sin.coyx yxyxsin2)cos(222cosinxy yxl8解： 1y1y 2elnx解： yy1)2(yex xsine2解： xxeyy.si.co yexcos2in 3exy解： yxy223yex yx5解： 2lnlyx 2ln15yx求下列函数的微分 ：（注： ）dd xycsot解： ot2 dxxy)sinco1(22 xysinl解： x2sicol1 dxdy2si
9、ncol1 xy2in解： cos xddycosi xyeta解： x2sc dxexey22scsc33求下列函数的二阶导数：9 xy解： 21 232341 xy xy3解： ln xxy3ln3l2 xy解： 12 xysin解： cos xxxy sinco2sincos（四）证明题设 是可导的奇函数，试证 是偶函数)(xf )(f证：因为 f(x)是奇函数 所以 x两边导数得： )()()1( fffxf 所以 是偶函数。)(f高等数学基础形考作业 3 答案：第 4 章 导数的应用（一）单项选择题若函数 满足条件（D ），则存在 ，使得 )(xf ),(baabff)()(A. 在
10、 内连续 B. 在 内可导,baC. 在 内连续且可导 D. 在 内连续，在 内可导)( ,),(函数 的单调增加区间是（D ）142xfA. B. ),()1,(C. D. 22函数 在区间 内满足（A ）542xy)6,(A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升10函数 满足 的点，一定是 的（C ）)(xf0)(f )(xfA. 间断点 B. 极值点C. 驻点 D. 拐点设 在 内有连续的二阶导数， ，若 满足（ C ），则 在 取到极小)(xf,ba),(0bax)(xf )(xf0值A. B. 0)(,)(0ff 0)(,)(0ffC. D
11、. xx xx设 在 内有连续的二阶导数，且 ，则 在此区间内是（ A ）)(f,ba )(,)(ff )(xfA. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的（二）填空题设 在 内可导， ，且当 时 ，当 时 ，则 是)(xf,ba),(0bax0x)(f0x)(f0x的 极小值 点若函数 在点 可导，且 是 的极值点，则 0 )(xf00x)(f )(xf函数 的单调减少区间是 1ln2y,函数 的单调增加区间是2e)(xf ),(若函数 在 内恒有 ，则 在 上的最大值是 ,ba0xf(xf,ba)(af函数 的拐点是352)(xf2,（三）计
12、算题求函数 的单调区间和极值2(1)y解：令 )1(53)()5 xxx,驻 点列表：极大值： 32)1(f极小值： 05求函数 在区间 内的极值点，23yx,0并求最大值和最小值X ),(1 (1,5) 5 ),(y+ 0 0 +y 上升 极大值 32 下降 极小值 0 上升11解：令： ，列表：。xxy驻 点(102（0,1） 1 （1,3）+ 0 y上升 极大值 2 下降1322xxy21f极 值 点 ： 6)3(最 大 值 f最 小 值3.求曲线 上的点，使其到点 的距离最短xy2)0,2(A解： ，d 为 p 到 A 点的距离，则：上 的 点是设 p),(xyxd)(22 10)(1
13、)(22 xx令 2y。Axy 的 距 离 最 短到 点，或上 点 ),(-,124.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？L解：设园柱体半径为 R，高为 h，则体积 hhRV)(22LhLV。 3303)2( 22 令 。LRhLR时 其 体 积 最 大当 ,335.一体积为 V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解：设园柱体半径为 R，高为 h，则体积 hV222RS表 面 积332 204VRV。令 34h)(6)()0( fff12答：当 时表面积最大。32VR34h6.欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容
14、器，怎样做法用料最省？解：设底长为 x，高为 h。则： 225.65.6x侧面积为： S042令 51032 xx答：当底连长为 5 米，高为 2.5 米时用料最省。（四）证明题当 时，证明不等式 )ln(x证：在区间 应 用 拉 格 朗 日 定 理 ， 有上 对 函 数 fx1,lnl其中 ，于是由上式可得1,1故x )1ln(x当 时，证明不等式 0ex证： )1()(xf设 0)()(,00 fxf。xe 单 调 上 升 且时当时当 )(,0)(xfx即高等数学基础形考作业 4 答案：第 5 章 不定积分第 6 章 定积分及其应用（一）单项选择题若 的一个原函数是 ，则 （D ）)(xf
15、x1)(fA. B. ln2C. D. x13x下列等式成立的是（D）13A B. C. )(d)(xff )(dxffD. x若 ，则 （B）fcos)(xf)(A. B. sincosC. D. x （B）fd)(32A. B. )(32xfC. D. )(31xf 1若 ，则 （B）cFf)(dxfd)(A. B. x)( cF2C. D. c2 x)(1下列无穷限积分收敛的是（D ）A. B. dx1 dxe0C. D. 1 12（二）填空题函数 的不定积分是 。)(xf dxf)(若函数 与 是同一函数的原函数，则 与 之间有关系式 。F)(G)(xFGcxGF常 数()( 。xde
16、22 。)(tanct若 ，则 。xxf3os)(xf)3cos(9x 335d)21(si若无穷积分 收敛，则 。1xp0p（三）计算题14 cxdxx 1sin)(1cosd1cos2 ee2e cxdxx)ln()(ln1l cxxd2sin41co2cos21s2cos2si e1 1e1 7)ln3()ld()ln3(dl3 exxx 4134222021002 exxxx 1lnl1dln 21221e1 eedeee eexdxx112e12ll（四）证明题证明：若 在 上可积并为奇函数，则 )(f,a0d)(axf证: aaaa tftdtfdxftx )()()(令证毕0)( aa xdf证明：若 在 上可积并为偶函数，则 x, aaxfxf0d)(2d)(证： aaa xfxff 00d)()()( aa xftfttx 0)()(d, 是 偶 函 数则令 证 毕 aaaa xfxxfxff 0000 d)(2d)()()(
