1、1习题 4 部分习题解答1证：（1） 在 上连续；()fx1,2（2） ， 在 内可导；4()fx1,)2（3） (1)ff在 上满足罗尔定理的条件x,2令 得 ，则满足条件的 ()0f4142证：（1） 在 上连续；x1,（2） ， 在 内可导()f()fx1,2在 上满足拉格朗日中值定理的条件x,2由 ，即 ， () ln1fflx1(,2)ln4解： 因为 ，(3)40ff在 ， ， 上满足罗尔定理的条件()fx,2,因此在 内至少存在一点 使 ， 是方程 的一个实根111()f1()0fx在 内至少存在一点 使 ， 是方程 的一个实根(,3)220在 内至少存在一点 使 ， 是方程 的
2、一个实根433()f1()fx而 为三次多项式，只能有三个实根，分别在区间 ， 和 内()fx ,2,3)(,414. 用洛必达法则求下列极限(1) 00sin55lmli88xx(2) 322111363lililim2xxx(3) 00n(cos)snlilicxx(4) 224limli1xx2(5) 211limli2nxx(6) 22cossinlilxx（7） 001limli1sncosxxee（8） 00lili2xxx（9）200 001(sin)ln(cos) sincoimli lmlixx xxaaaabbbb（10） 1liili.nnnxxx（11）2220000t
3、asectalimlilimli1soxxxx（12）20001csincosinli(cot)lilxxxsnomim2x（13）222 4300001ssinsinco2li()lillmsii 4xxxxx3220000nco1co1i1lililil466xxxx （14） 1111nnlnm() il()ll()x12lix(15 ) 2221sincoslim(sectan)llm0coixxx3（16）220001lnsinimlilmtantanl 0cotcs001lim()li 1xxxxxxeee(17) 20020coslnsiinl cos11limlnsi 0in0
4、0li(sn) xx xxxxxeee (18) 略.15. 解：，而 ，3232000sisicos3lm()llixxxaaab20li3xico,由 得：200s9sinllm362xxb 9.16求下列函数的单调区间（1） 29y解：函数 的定义域为3x(,)226(3)1yxx令 得驻点 ，012当 时， ；当 时， ；当 时，xyx0y3x0y因此函数的递增区间为 和 ，递减区间为 (,3,)1,（2） xye解：函数 的定义域为(,)， 令 得驻点 . 1xye0yx当 时， ；当 时，00y从而函数的递增区间为 ，递减区间为 (,)（3） cosyx解：函数 的定义域为x(,)
5、， 令 得驻点 （ ）1siny0y2xkZ4但除了这些点外， .从而函数的递增区间为 1sin0yx(,)（4） （ ）yx0解：函数 （ ）的定义域为 (,)， 令 得驻点 .21yxy1x当 时， ；当 时，00y从而函数的递增区间为 ，递减区间为 (,)(,17证明下列不等式（1）证：设 ，1()2(3)fxx当 时， . 单调增加，而22 0f ()fx(1)0f当 时 ，即 ，故 1x()10f 1(3x23x（2）证：设 2x()1fxx当 时， ， 在 上单调增加0()0f()fx0,)当 时 ，即 ， xf12x12x（3）证：设 ，()ln()fx则 1x当 时， 在 上单
6、调增加0()0f()fx0,)当 时 ， ，即 xln(1)x（4）证：设 ，21()cosfx则 inx当 时， 在 上单调增加0()si0fx()fx0,)5当 时 ， ，即 0x()0f()0fx21cosx20求下列函数的极值点和极值（1） 1()fx解： 的定义域为 (,0)(,)令 得驻点 ，21()xfx0fx1x2当 时， ；当 和 时， ；()0f1()0fx当 时， .3xx故 为极大值点，极大值 ； 为极小值点，极小值 1()2f1x(1)2f（3） 2()lnfx解： 的定义域为 (0,)令 得驻点()2ln2ln1fxx()0fx12xe当 时， ；当 时，10e()
7、0f12e故 为极小值点，极小值 2x()f（4） 3()1f解： 的定义域为x(,)有不可导点 .23()1)f1x在 的两侧均有 ，故 无极值点x()0f()f22 ，由于 在 处取得极值()cos3fax3x故 ，1 cs32a2由 得：()inifxx()sini30f 6所以，极大值 .1()2sini33f23求下列函数在给定区间上的最值（1） ，42()5fx,解： 3 (1)x令 ，得驻点 ， ，()0fx0231x， ， ， ，5)4f()f()5f(2)f比较可知： 在 上的最大值为 ，(x,0()5f最小值为 1)(4ff（2） ，()54fx,解： 0， 在 上单调减少
8、f ()fx1,因此， 在 上的最大值为 ，最小值为 ()fx1,)3f(1)f（4） ，sin2,解： ， 在 上单调减少， ()co0fx()fx,2由此可知， 在 上的最大值为 ，最小值()f,2()1f为 ()12f24在面积为 的一切矩形中，求周长最小值S解：设矩形的长为 ，则其宽为 ，周长为 ，xSx2()SLx(0,)，令 ，得驻点 （ 舍去）22()(1)L0则函数在 上有唯一驻点0,xS34|0xSxSL当 时周长最小，最小值为 4S725设圆柱体底面半径为 ，高为 ，造价为 ，依题意有 ， .Rhy2VRh2V造价 22byabaR(0)令 得驻点 240VR3又 ，知 为
9、最小值点此时，有 ，即有 ，3bya234aVhbRbha即底面直径与高的比例为 时，造价最省:a28. 判定下列曲线的凹凸性并求出拐点（1） 2ln()yx解：函数的定义域 ， ，,21xy2(1)xy令 ，得 ，0y1x2当 时， ；当 时， ；当 时，x0y1x0y曲线的凸区间为 和 ，凹区间为(,1,),拐点为 和 (1,ln2)l)（2） 4yx解：函数的定义域为 ， ，(,)28yxy由于 ，故曲线在 上为凸的，无拐点0y,（3） xe解：函数的定义域为 ， ，(,)(1)xye(2)xye令 ，得0y2x当 时， ； 当 时， . 2x0y曲线的凸区间为 ，凹区间为 . 拐点为
10、(,)2(,)e（4） 426yx解：函数的定义域为 ， ，(,)3412yx221(1)yxx8令 ，得 ，0y1x2当 时， ；当 时， ；当 时， .1x0y1x0y曲线的凸区间为 ，凹区间为 和 ，拐点为 和 ,(,)(,7)(1,3)29. 已知点 是曲线 的拐点，且在 点取得极值，求 ， ，(2,4)32yxabc3xab？c解：由于 是曲线的拐点，故 在曲线上，即 ，且 (,)(,4)2|4xy2|0xy由 是函数的极值点得： 3x3|0xy，2yab62a解得8476012c9bc30. 求下列曲线的渐近线(1) yx解：由于 ，故 为曲线的一条铅直渐近线；21lim2x由于
11、，故 为曲线的一条水平渐近线；0xy(3)231y解：由于 ，故 为曲线的一条铅直渐近线；21limx1x由于 ， ，2()3lili()xxf a3lim()li1xxyb故 为曲线的一条斜渐近线1y(4) sinx解：由于 ，故 为曲线的一条水平渐近线.1sinlimlxx1y934由题意， ，()201CQ5012QP2R()()40L， 240Q1Q由 ，得 ，又 ，即当产量为 240 单位时，利润最大，()()L最大利润为： （元）2()40208635 （1） ()1075CQQ5()7CQ当 时, 边际成本为： （元）2(10)9.0（2） 5()7CQQ当 时，平均单位成本为：
12、 （元）1010510()72C自测题 4一、填空题1 ，由 得所求的 = 0 2()xf()0f2 00limli1n()xx3 ，令 得函数在区间 的驻点为： .2f()f(0,2)1x4 ，曲线 的铅直渐近线为 4lix4yx4二、选择题1.A 2. A 3. C 4. C 5. D三、计算1求下列函数的极限10（1） 0001ln()imlilim1.cossn()sinxxxx（2） 111lnlili1liixxxee2略.3判定曲线 的凹凸性与拐点32()4f解：函数 的定义域为 . ，x(,)2(61fx()126fx令 ，得()0f12当 时， ，曲线在 上是凸的,x()0fx(,2当 时， ，曲线在 上是凹的1()21)由于在 的两侧二阶导数的符号发生了改变，故 为拐点x 1(,)4求曲线 的渐近线2()1xf解： ，故 为铅直渐近线；1limxf ， ，()2lili1xx22lim()li1xxxf故 为斜渐近线1y5 ，由 得： ()2afxb(1)0,(2)ff2104ab21,.36ab五. 略.
