线性代数(文)复习题.doc

1、线代复习题及答案Page 1 of 19线性代数(文)复习题(一)一、填空题1、设 ， ， ， ，则 。332211cbaA332211dbaBA3BBA22、已知向量 ， ，设 ，其中 是 的转置，则),(,TT。nA3、若向量组 ， ， 线性相关，则 。T)1,0(1Tk)0,3(2Tk),41(3k二、单项选择题1、矩阵 A 在( )时，其秩可能被改变。( ) 乘以奇异矩阵 ( ) 乘以非奇异矩阵B( ) 进行初等行变换 ( ) 转置CD2、要使 ， 都是线性方程组 的解，只要系数矩阵 A 为( )。20110AX( ) ( ) A)1,B102( ) ( ) C02D43、设向量组：

2、可由向量组： 线性表示，则( )。r,21 s,21( ) 当 时，向量组必线性相关 ( ) 当 时，向量组必线性相关AsrBr( ) 当 时，向量组必线性相关 ( ) 当 时，向量组必线性相关4、设 A 是 矩阵， 是非齐次线性方程组 所对应的齐次线性方程组，nm0AXbAX则下列结论正确的是( )。( ) 若 仅有零解，则 有唯一解0Xb( ) 若 有非零解，则 有无穷多解B( ) 若 有无穷多个解，则 仅有零解Cb0( ) 若 有无穷多个解，则 有非零解DAAX5、设矩阵 的秩为 ， 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是 ( )。nmnr)(E( ) A 的任意 m 个列向量必线性无关

3、( ) A 的任意 m 阶子式不等于零B( ) 若矩阵 B 满足 ，则COAB线代复习题及答案Page 2 of 19( ) A 通过初等行变换，必可以化为 的形式D),(OEm三、设行列式 ，求第四行各元素余子式之和。23507024四、设 ，且满足 ，求矩阵 B。410AAB五、已知 ， 为 3 阶矩阵，且满足 ，其中 E 是 3 阶单位矩阵。B421(1)证明：矩阵 可逆，并求其逆矩阵;E2(2)若 ，求矩阵 A。01六、设向量组 ， ， ，T),23(1T)3,1407(2T)1,02(3T)2,615(4(1)求向量组的秩;(2)求向量组的一个极大无关组，并把其余向量分别用此极大无关

4、组线性表出。七、问 为何值时，线性方程组ba,.123,)(,04314321axxb有惟一解，无解，有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解。八、设向量 可由向量组 线性表示，但不能由向量组 线性r,21 121,r表示，证明： 不能由向量组 线性表示。r1线代复习题及答案Page 3 of 19线性代数(文)复习题(二)一、单项选择题1、若 ，则 等于( )。33211a323312211aa( ) ( ) ( ) ( )A6B6C4D42、下列 n 阶行列式的值必为零的是( )。( ) 主对角元全为零( ) 三角形行列式中有一个主对角元为零B( ) 零元素的个数多于 n 个C( ) 非零

5、元素的个数小于零元素的个数D3、已知矩阵 ， ， 则下列运算可行的是( )。23A3BC( ) ( ) B( ) ( )DCA4、若 , 均为 阶非零矩阵，且 ，则必有( )。n 2)(B( ) , 为对称矩阵 ( )AB( ) ( )CEE5、设齐次线性方程组 有非零解，则 k 的值为( )。02zykx( ) ( ) ( ) ( )A2B0C1D26、若向量组 线性相关，则一定有( )。s,21( ) 线性相关 ( ) 线性相关21,s B121,s( ) 线性无关 ( ) 线性无关C1, 7、设 是同阶实对称矩阵，则 是( )。BAA( ) 对称矩阵 ( ) 非对称矩阵( ) 反对称矩阵

6、 ( ) 以上均不对D二、填空题1、行列式 。04321D2、A，B 均为 3 阶方阵， ，且 ，则 。BAB线代复习题及答案Page 4 of 193、若 A，B 为可逆矩阵，则分块矩阵 的逆矩阵为 。OBA4、设 ，则 。431120)(r5、设 ， ， ，则 线性 关。),(),(2 )1,4(3321,三、计算行列式 的值。0120四、设 ， ， ，求 。301A42B41325CCABT五、解矩阵方程 ，其中 ， 。X0A35021六、试求向量组 ， ， ，T)1,0(1T)1,(2T),1(3,3(4， 的一个最大无关组，并写出其余向量用此最大无关组的T)1,0323,25线性表示

7、式。七、设方程组，223358146744332xx解此方程组，并用其导出组的基础解系表示全部解。八、设 是齐次线性方程组 的一个基础解系，证明： ，321,OAX12， 也是 的一个基础解系。213九、证明：如果 ，但 不是单位矩阵，则 必为奇异矩阵。A线代复习题及答案Page 5 of 19线性代数(文)复习题(三)一、填空题1、设四阶行列式 ，则 = 。102187354D34A2、 。fedcba03、设 。1,5231AA则4、三阶矩阵 按列分块为 ，且 ，则),(3211A1232,A= 。5、 为三阶矩阵， 为 的伴随矩阵，已知 ，则 。A*A6、设 ，则 = 。10306242

8、1)(Ar7、A 为三阶矩阵，且 ，则 = 。121列列8、设 ， ， ， ，且有T)1,(T),(2 T),(3T列6,53(1x，则 ; ; 。32xxx9、若向量组 ， ， 线性相关，则 。)3,(1 )2,1(2),(3aa二、单项选择题1、设 是 的解， 是 的解，则( )。21,OAX21,BAX( ) 是 的解 ( ) 是 的解21( ) 是 的解 ( ) 是 的解C21 D2、向量组 线性无关的充分条件是( )。s,( ) 均不是零向量A21( ) 中有部分向量线性无关Bs,( ) 中任意一个向量均不能由其余 个向量线性表示C21 1s( ) 有一组数 ，使得D021skk 0

9、1sk线代复习题及答案Page 6 of 193、设 A 是 n 阶可逆矩阵，B 是 n 阶不可逆矩阵，则( )。( ) 是可逆矩阵 ( ) 是不可逆矩阵BA( ) 是可逆矩阵 ( ) 是不可逆矩阵CD4、已知 为可逆阵，则 = ( )。T1( ) ( ) ( ) ( )ABTCTB1三、计算行列式 的值。324150四、已知 ，求 。2A)4()(21EA五、设向量组 ， ， ， ，)4,1(),30(2)14,703()0,2(。求它们的秩，及其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组表示。)10,52(5六、已知 ， ，求 。20A301BTBA七、设 ，求 。943711*)(A八、

10、已知 线性无关，设 ， ，21,321321214，判断 是线性相关的。323九、对于线性方程组，23321x讨论 取何值时，方程组无解，有唯一解和有无穷多组解。在方程组有无穷多组解时，试用其导出组的基础解系表示全部解。十、证明题已知 可逆，试证 也可逆，且 。ABEABE ABEBAE11)()( 线代复习题及答案Page 7 of 19线性代数(文)复习题(一) 参考答案一、填空题1、解 = = 。BA2 332211321332211 dbacbadcba 1BA2、解 注意到 ，故),1(T= = = 。nATnT个 )( TnT个)1() AnTn113注：若先写出 ，再求 ， ，此

11、法不可取。2A3、解 由 ， ， 线性相关，则有123= = = 。321,k0414k04)1(3k由此解得 。k二、单项选择题1、解：答案为 。A2、解 我们知道，若 ， ， 是齐次线性方程组 的 k 个线性无关的解向12kOAX量， 的任一解为向量 ， ， 的线性组合，则 ， ， 为 的OX 12OAX基础解系，且所含解向量的数目 ，其中 n 为矩阵 A 的列数。)(Arn由于 ， 为 的解，知 。又因 与 是线性无关的，故 。因而12A312k，而(A)、(B) 、(C) 、(D) 四个选项中满足 的矩阵只有(A)项中的 。)(Ar )()1,2(3、解 根据定理“ 若 ， ， 可由

12、， ， 线性表出，并且 ，则 ，12s12t ts， 必线性相关”，即若多数向量可以由少数向量线性表出，则这多数向量必线性相2s关，故应选( )。D4、解 方程组 与其对应的齐次线性方程组 的解之间有密切的关系。正确bAXOAX作答本题要求掌握以下结论：(1)非齐次线性方程组 有解的充要条件为方程组的增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。(2)在非齐次线性方程组 有解的条件下，解惟一的充分必要条件是齐次线性方程b组 只有零解。OAX(3)非齐次线性方程组 的任意两个解之差是齐次线性方程组 的解。AX 0AX由于题干及( )、( )项中均未指明 有解，即 的秩不一定等于增广矩阵 的秩，B线代复习题及答案

13、Page 8 of 19故( )、( )两项为干扰项。由结论 (3)知( )为正确选项。ABD6、解 应选( )。C由于 ，表明矩阵 的秩等于行数，即 的行向量必线性无关。根据矩阵秩的mrnAA性质：行向量的秩等于列向量的秩，因此 的列向量的秩等于 。由于 (列数)，故一mn定存在 个列向量线性无关，但并不是任意 个列向量线性无关，故( )不成立。mA根据矩阵秩的等价定义， 表明 至少存在一个 阶子式不等于零，但并不要求r)(任意一个 阶子式均不等于零，故( )不成立。B( )也是不成立的。若 ( )成立，则存在 个行变换 ， ， ， ，使DDk1P2 k21P= ，即 A= ，说明 的后 列

14、均为零向量，显然题目未作这种APk,OEm,121OPm An要求。( )为正确选项。设 的 个列向量为 ， ， ， ，则 ， ， ， 线性CTA12 m12 m无关，因此，方程组 仅有零解。若 ， 是 维行向量满足 ，即XTmB2i OBA，即 故 。),(21TmTTAB ,1iOATi O三、解 设 ( )为第四行各元素余子式，对应代数余子式记为iM4,3 i4( = )，则i,3=4342143421= = =1107010723）（ 2014314327= 。8)4(234四、解 由 可得 。矩阵BA,)2ABE（， 21014102E又 ，故 可逆，从而 。2AEAAEB1)2(下

15、面用初等行变换法求 。1)(=)|2(EA 10210021012r线代复习题及答案Page 9 of 19。 1102100132123)1( rr于是 。12)(1EA因此 。3245103)(B注 因为 也可以不求 而用初等行变换直接求出 B。方法如,21AE1)(EA下：=)|2(A 41021034102332r， 325323223)1( rr所以 。3245B五、解 (1) 由 知， ，EBA41OBA24从而 ，或 ， E8)4( E)(81)(故 可逆，且A2.21(2) 由(1)知， ，而)4(EBA， 2108342013)4( 1EB故 。 201208314201A六

16、、解 线代复习题及答案Page 10 of 19=),(4321 2130475210657132r 052130572432)4(7rr， 01301721321 rr 0132213r所以向量组的秩为 3。， ， 为其一个极大无关组，且 。123 32143七、解 对方程组的增广矩阵进行初等行变换：=A123100ab 132100143abr， 0102243 abr当 时， ，方程组有惟一解。1a4)(Ar当 ， 时， ，方程组无解。b3)(2r当 ， 时， ，方程组有无穷多组解，这时，得同解方程组：)(.12,0431xx令 ，由此得到一个特解为： 。043 T)0,1(0另外，原方

17、程组的导出组的同解方程组为：.2,4231xx依次令 ， ; ， 得到一个基础解系：30431， = 。T),(12T),(于是原方程组的通解为：线代复习题及答案Page 11 of 19。10201210 kk九、证 用反证法。若(1),121rr kk又已知(2),121 rrlll将(2)代入(1)，整理得。,)()1111 rrr lkllk（这与 不能由向量组 线性表示的假设矛盾，所以得证 不能由向量组2, r线性表示。 。121,r线代复习题及答案Page 12 of 19线性代数(文)复习题(二) 参考答案一、单项选择题1、解 根据行列式的性质，有= = 。32331221aa)

18、(33211a243)(故选( )。C2、解 答案为 。B3、解 两矩阵 可以相乘的条件是：矩阵 A 的列等于矩阵 B 的行，依此条件，应选A与( )。4、解 因为 ，矩阵的乘法一般不满足交换律，只有当22)(B( 与 可交换)时，上式成立，故选( )。BA5、解 该齐次线性方程组有 个方程， 个未知数，则根据克莱姆法则，当系数行列式3=D04210kk时，有非零解。故选( )。A6、解 本题要求掌握以下结论：(1)若在向量组 中，由部分向量构成的向量组线性相关，则整个向量组必线n,21性相关(部分相关整体必相关);(2)若向量组 线性无关，则任意抽取部分向量构成的向量组必无关(整体无关n,2

19、1部分必无关)。因此，( )、 ( )均不能肯定， ( )也是不一定的。故选( )。ACDB7、解 答案为 。二、填空题1、解法 1 利用反对角行列式 = 。naa 21nna21)(解法 2 由于此行列式只有 4 阶，也可以按某一行(列)展开后计算结果。2、解 因为 ，所以 。AB183)21(AB3、应填 。O1注 应记住以下几个常用结论：线代复习题及答案Page 13 of 19(1)若 ，且 均可逆，则 。sAA21 i 1121sAA(2)若 ，且 均可逆，则 。s 21i 12A(3)若 ，且 ， 均可逆，则 。CBOAX 111CBOX(4)若 ，且 ， 均可逆，则 。 11(5

20、)若 ，且 ， 可逆，则 。BAX OAX11(6)若 ，且 ， 可逆，则 。OCC11BC4、解 因为，A 21r 132430r 56402 23r 0056412所以 A 的秩为 2。5、线性 相 关。解 因为 ，所以 线性相关。0143221321,三、解 原式 = 。413026413四、解 = = ，所以 。TAB21587178653CABT五、解 由 ，可得 ，而XXEA)(，35012)|(BEA 31024线代复习题及答案Page 14 of 19所以 。3245X六、解 由( )1234 3102310 153r 54103620 253r 020432620318235

21、41r 4521r 00134 4123r 0013。 312r 00132所以取 ， ， ， 为一个极大无关组，且 。1234 3215七、解 ，21231350867A004917令 ，由此得到原方程组的一个特解：054x。049127令 ， ; ， 得到导出组的一个基础解系：14x054x15线代复习题及答案Page 15 of 19， 。01432191042所以原方程组的全部解为 ，其中 为任意常数。21k2,k八、证 显然 均为 的解。321,OAX令 ，即021kk，0)()(321321k。(321 因为 是 的一个基础解系，则 线性无关，所以321,AX321,。0321k解

22、得 .0321k所以 线性无关， 且个数与原基础解系中所含的向量个数同为 3，故也为基础,解系九、证 用反证法。假设 A 可逆，且其逆矩阵为 。因为 。所以A1A2，OE)(2即 。OE)(1由此得 ， = ，这与 A 不是单位矩阵矛盾！因此 A 不可逆，即 ，所以0A 必为奇异矩阵。线代复习题及答案Page 16 of 19线性代数(文)复习题(三) 参考答案一、填空题1、解 602135434A2、应填 。abdf解 按第一行或第一列展开即可。3、解 设 ， ，则 ， 。)2(1B53121B 12351512于是 。 01460210121A4、解 交换该行列式中两列的位置，则原式= =

23、 = = 。32121,AA321,A321,A2)(5、解 。4)(6、解 ，103410362A 0413所以 。)(r7、解 原式= 。83)2()(2)(111 AA8、 ; ; 。1x23x9、解 因为向量组 ， ， 线性相关，则有123，0573a解得 。5a二、单项选择题1、解 根据非齐次方程组解的性质可知选(C)。线代复习题及答案Page 17 of 192、解 选项( )，( )都只是向量组线性无关的必要条件，而不是充分条件。选项( )AB D是错误的，若将“有一组数”改为“当且仅当”时才为正确。所以选( )。C3、解 由题设知 ， ，所以 ，即 是不可逆矩阵，应选( )。0

24、0BA但是当 可逆， 不可逆时， 是否可逆不能一概而论，例如，若取 ， ，则 可逆， 不可逆，但 是不可逆的。10A0B 10若取 ，则 不可逆的，但 是可逆的。故 是不正确的。C10CA)(,BA4、解 = ，故选( )。TB)(1 BT)()(1三、解 原式 015)(010532241 列r。40526)(25631 c四、解 =4()(1EA )2(1EA= = = 。)2)(2110五、解 ， 00132104257132),(54321 TT所以所求向量组的秩为 ，取 为其一个极大无关组，且41,， 。23215六、解 。71301TBA七、 解 由 和 ，又因为 的逆矩阵，可以求

25、得A1)(11A是，所以 。1032A 1032)(1线代复习题及答案Page 18 of 19八、解 若 是线性相关的，则存在一组不全为零的数 使得321, 321,k，0321kk即方程组 ，2431k有非零解。又因为该方程组的系数矩阵，01421324A所以 A 的秩为 ，方程组有非零解。所以存在一组不全为零的数 。故 321,k是线性相关的。321,九、解 因为系数行列式，2)1(1(1)当 时，由克莱姆法则知方程组有唯一解。2(2)当 时，对增广矩阵作高斯消元，有，2190215_A第一个方程矛盾，故方程组无解。(3)当 时，有，021A可见 ，故方程组有无穷多组解。又由此可得与原方程组同解的方程组为3)(r。令 ，得其特解 。21xx02xTu),2(0与原方程组的导出组同解的方程组为 。由此可得基础解系为 ，31x Tv)0,1(。Tv),0(2原方程组的全部解为，其中 是任意常数。100221210 kvkux 21,k十、证 因为线代复习题及答案Page 19 of 19=)()(1ABEBA ABEABE11)()( = = 。1(故可知 是可逆，且 。1)()注 本题若没有给出条件：已知 可逆，一般的证法如下：因为 ，故()( BAEABE，)(1而 = = = 。)()1 )()(1BAEBE由此知 也可逆，且 。11