1、傅 里 叶 变 换 在 应 用 中 的 局 限 性 及 克 服 方 法 摘 要：傅 里 叶 变 换 是 一 种 整 体 变 换 无 法 表 征 信 号 的 时 频 局 部 特 性 通 过 对 傅 里 叶 变 换 的 局 限 性 做 详 尽 的 分析 给 出 了 克 服 其 局 限 性 的 几 种 方 法 最 后 通 过 实 例 仿 真 对 傅 里 叶 变 换 和 小 波 变 换 在 信 号 降 噪 应 用 中 的 降 噪 效 果做 比 较 突 出 了 小 波 变 换 在 应 用 中 的 优 越 性 关 键 词：傅 里 叶 变 换；局 限 性；小 波 变 换中 图 分 类 号：T N 9 1 1
2、 文 献 标 识 码：A 文 章 编 号：1 6 7 1 1 7 8 5（2 0 0 8）1 2 0 0 4 2 0 31 引 言 基 于 傅 里 叶（F o u r i e r）变 换 的 信 号 频 域 表 示 揭示 了 时 间 函 数 和 频 谱 函 数 之 间 的 内 在 联 系 在 传 统的 平 稳 信 号 分 析 和 处 理 中 发 挥 了 极 其 重 要 的 作 用 很 多 理 论 研 究 和 应 用 研 究 都 把 傅 里 叶 变 换 当 作 最 基本 的 经 典 工 具 来 使 用 但 是 傅 里 叶 变 换 存 在 着 严 重的 缺 点：用 傅 里 叶 变 换 的 方 法
3、提 取 信 号 频 谱 时 需 要利 用 信 号 的 全 部 时 域 信 息 这 是 一 种 整 体 变 换 缺 少时 域 定 位 功 能 因 此 必 须 对 其 加 以 改 进 2 傅 里 叶 变 换 在 应 用 中 的 局 限 性2 1 傅 里 叶 变 换 缺 乏 时 间 和 频 率 的 定 位 功 能傅 里 叶 变 换 及 其 逆 变 换 表 示 如 下S（）f s（t）s（t）e j td t（1）s（t）12 s（）e j td（2）由 以 上 两 式 可 知 傅 里 叶 变 换 是 一 种 整 体 变 换 对 信 号 的 表 征 要 么 完 全 在 时 域 内 要 么 完 全 在
4、频 域内 和 t 是 互 相 排 斥 的 两 个 变 量 用 傅 里 叶 变 换 的 方法 得 到 某 一 个 频 率 0 的 频 谱 分 量 S（0）必 须 从 的 整 个 时 间 轴 上 进 行 积 分 如 果 要 从 频 谱 得 到信 号 在 某 一 时 刻 t 0 的 值 s（t 0）则 需 要 对 S（）在 整 个频 率 轴 上 进 行 积 分 因 此 傅 里 叶 变 换 得 到 的 是 信 号s（t）在 整 个 时 间 范 围 内 的 频 率 特 性 它 不 能 告 诉 人 们在 某 段 时 间 里 信 号 发 生 了 什 么 变 化 也 无 法 获 得 某一 频 率 出 现 的
5、时 刻 信 息 因 此 它 不 具 有 时 间 和 频 率的 定 位 功 能 2 2 傅 里 叶 变 换 对 于 非 平 稳 信 号 的 局 限 性信 号 的 瞬 时 频 率 表 示 了 信 号 的 谱 峰 在 时 间 频 率 平 面 上 的 位 置 及 其 随 时 间 的 变 化 情 况 一 般 平稳 信 号 的 瞬 时 频 率 为 常 数 而 非 平 稳 信 号 的 瞬 时 频率 是 时 间 t 的 函 数 从 傅 里 叶 变 换 变 换 的 表 达 式 可以 看 出 S（）是 单 变 量 的 函 数 信 号 的 傅 里 叶 变 换不 随 时 间 的 变 化 而 变 化 因 此 傅 里 叶
6、 变 换 仅 仅 适 用于 平 稳 信 号 但 是 在 实 际 工 作 中 我 们 分 析 和 处 理的 往 往 是 时 变 的 或 非 平 稳 的 信 号 它 们 的 频 率 随 时间 变 化 而 变 化 其 相 关 函 数、功 率 谱 等 也 是 时 变 信号 用 傅 里 叶 变 换 进 行 分 析 得 到 的 信 号 频 谱 反 映 的是 整 体 信 号 中 包 含 的 某 一 频 率 分 量 的 平 均 值 所 以傅 里 叶 变 换 不 能 反 映 信 号 瞬 时 频 率 随 时 间 的 变 化 情况 仅 仅 适 用 于 分 析 平 稳 信 号 对 频 率 随 时 间 变 化 的非 平
7、 稳 信 号 傅 里 叶 变 换 只 能 给 出 其 总 体 效 果 不 能完 整 地 把 握 信 号 在 某 一 时 刻 的 本 质 特 征 2 3 傅 里 叶 变 换 在 时 间 和 频 率 分 辨 率 上 的 局 限 性分 辨 率 是 信 号 处 理 的 基 本 概 念 之 一 包 括 频 率分 辨 率 和 时 间 分 辨 率 在 时 域 分 析 中 信 号 处 理 的 目标 是 尽 可 能 地 同 时 获 得 高 的 时 间 分 辨 率 和 频 率 分 辨率 然 而 可 以 证 明 时 域 窗 和 频 域 窗 乘 积 恒 定 且 大 于等 于12 也 即 不 可 能 同 时 获 得 高
8、 的 时 频 分 辨 率 这 就是 著 名 的 不 确 定 性 原 理 1 傅 里 叶 变 换 在 这 方 面 的表 现 尤 其 不 尽 如 人 意 傅 里 叶 变 换 可 以 改 写 成 内 积 的 形 式 即2 0 0 8 年 1 2 月 马 耀 庭 邵 毅 全：傅 里 叶 变 换 在 应 用 中 的 局 限 性 及 克 服 方 法S（）s（t）e j td t s（t）ej t（3）由 于 傅 里 叶 变 换 等 效 于 s（t）和 基 函 数 ej t做 内积 而 ej t对 不 同 的 构 成 一 族 正 交 基 因 此 S（）精确 地 反 映 了 s（t）在 该 频 率 点 的 分
9、 量 大 小 基 函 数 ej t在 频 域 是 位 于 处 的 函 数 因 此 当 用 傅 里 叶 变 换来 分 析 信 号 的 频 域 特 性 时 具 有 最 好 的 频 率 分 辨 率 但 是 ej t在 时 域 对 应 的 是 正 弦 函 数 其 在 时 域 的 持 续时 间 是 因 此 其 时 域 分 辨 率 最 差 对 于傅 里 叶 逆 变 换 分 辨 率 的 情 况 正 好 相 反 这 一 结 果 既 体 现 了 信 号 的 时 频 不 确 定 性 原 理 也 反 映 了 傅 里 叶 变 换 在 时 域 和 频 域 分 辨 率 方 面 所 固有 的 矛 盾 显 然 傅 里 叶 变
10、 换 本 身 不 可 能 根 据 信 号 的特 性 来 自 动 调 节 时 域 和 频 域 的 分 辨 率 3 克 服 傅 里 叶 变 换 局 限 性 的 方 法3 1 短 时 傅 里 叶 变 换傅 里 叶 变 换 的 不 足 之 处 成 为 推 动 寻 找 新 的 信号 分 析 和 处 理 方 法 的 动 力 为 了 解 信 号 的 局 部 特 征 人 们 最 初 想 到 的 是 通 过 预 先 加 窗 的 办 法 使 频 谱 反 映时 间 局 部 特 征 通 常 称 为 短 时 傅 里 叶 变 换（S T F T）实 际 上 也 就 是 将 s（t）乘 以 一 个 以 为 中 心 的 分
11、析 窗g（t）的 共 轭 再 做 傅 里 叶 变 换 可 以 表 示 为 2 S T F T（）s（t）（t）d t s（t）（t）（4）其 中（t）g（t）j t s（t）称 为 被 分 析 信 号 乘 以一 个 相 当 短 的 窗 g（t）等 价 于 取 出 信 号 在 分 析点 t 附 近 的 切 片 即 分 析 窗 g（t）将 s（t）在 窗 外的 部 分 做 有 效 抑 制 所 以 短 时 傅 里 叶 变 换 是 s（t）在分 析 时 刻 附 近 的 局 部 谱 不 断 移 动 也 即 不 断 移动 窗 函 数 g（t）既 可 以 得 到 不 同 时 刻 的 傅 里 叶 变换 这 些
12、 傅 里 叶 变 换 的 集 合 即 是 短 时 傅 里 叶 变 换 因 此 短 时 傅 里 叶 变 换 的 结 果 是 关 于 时 间 t 和 频 率 的 二 维 函 数 设 窗 函 数（t）g（t）的 有 效 宽 度 是 t 由 于窗 函 数 过 滤 了 作 用 范 围 外 的 信 号 因 此 在 一 定 程 度 上 可以 反 映 信 号 在 时 间 域 12 t 12 t 的 频 谱 信 息 设 g（t）的 傅 里 叶 变 换 为 G（j）在 复 频 域 的 有效 宽 度 为 则 0（t）的 傅 里 叶 变 换 为 G（j j 0）e j（0）根 据 P a r s e v a l 定
13、理 可 得S T F T（）s（t）（t）d t 12 e j 0t F（j）G（j j 0）e j td（5）由 该 式 可 以 得 出：在 时 域 范 围 内 考 察 的 是 以 为 中 心 宽 度 为 12 t 12 t 的 局 部 信 号 信息；在 频 域 范 围 内 考 察 的 是 以 0 为 中 心 宽 度 为 0 12 0 12 的 局 部 信 息 换 句 话 说 经 过加 窗 傅 里 叶 变 换 保 留 了 信 号 的 时 间 特 征 对 信 号 进 行 时 间 和 频 率 的 联 合 分 析 时 一 般 地 对 快 变 信 号 期 望 有 好 的 时 间 分 辨 率 以 观
14、察 信 号 的快 变 部 分；对 慢 变 信 号 可 以 降 低 其 时 间 分 辨 率 从 而可 以 获 得 较 好 的 频 率 分 辨 率 这 就 要 求 所 采 用 的 时频 分 析 方 法 能 自 动 适 应 这 一 要 求 但 是 对 于 短 时 傅里 叶 变 换 来 说 它 在 时 频 平 面 内 具 有 等 分 辨 率 特 性 对 于 给 定 的 窗 函 数 其 分 辨 率 是 特 定 的 它 的 t 和 随 t 和 变 化 而 变 化 不 能 自 动 调 节 所 以 如 果 能够 造 出 一 种 基 函 数 具 备 这 种 适 应 性 根 据 短 时 傅 里叶 变 换 的 统
15、一 形 式 造 出 一 种 新 型 的 变 换 这 就 是 所谓 的 小 波 变 换 3 2 小 波 变 换信 号 f（t）的 小 波 变 换 定 义 为 3 W（a b）s（t）a b（t）d t s（t）a b（6）上 式 也 就 是 小 波 变 换 的 时 域 表 示 式 小 波 变 换的 基 函 数 a b（t）1 a（t ba）是 窗 函 数（t）的时 间 平 移 b 和 尺 度 伸 缩 a 的 结 果 a 0 乘 积 因 子1a是 为 了 使 变 换 结 果 归 一 化 而 引 入 的 系 数 设 s（t）的傅 里 叶 变 换 为 S（j）（t）的 傅 里 叶 变 换 为（）根 据
16、 傅 里 叶 变 换 的 性 质 a b（t）的 傅 里 叶 变 换 为 a b（t）1a（t ba）a b（）a（a）e j b（7）由 傅 里 叶 变 换 的 P a r s e v a l 定 理 该 式 可 改 写 为W s（a b）12 s（）（a）e j td 12 S（）a b（）（8）即 小 波 变 换 的 频 域 表 示 式 从 小 波 变 换 的 基 函 数 a b（t）1a（t ba）可 以 看 4 3 内 江 师 范 学 院 学 报 第 2 3 卷 第 1 2 期出 时 移 b 的 作 用 是 对 s（t）进 行 时 间 定 位 也 就 是 时 间中 心 下 面 我 们
17、 来 讨 论 尺 度 参 数 a 在 频 域 的 作 用 通 过傅 里 叶 变 换 可 以 得 出 时 间 窗 函 数 的 频 域 特 性（）设（）的 频 带 为 c 则 a b（t）a（a）ej b的 频 带为 a c 即 ca 显 然 当 参 数 a 1 时 将 窗 函 数的 频 率 特 性 压 缩 带 宽 变 小；当 a 1 时 将 窗 函 数 的 频域 特 性 拉 伸 带 宽 增 大 因 此 小 波 变 换 是 将 视 窗 中 的 s（t）进 行 滤 波 处 理 并 且 此 滤 波 是 一 种 带 通 滤 波 a 越 大频 带 越 窄 平 均 频 率 越 低 好 像 是 人 观 看 景
18、 物 站 得 越远 视 窗 越 大 景 物 越 模 糊；反 之 a 越 小 分 辨 率 越 高 这便 是 多 分 辨 率 分 析 它 的 这 些 特 点 使 得 分 析 信 号 时 既可 以 看 到 信 号 的 概 貌 又 可 以 观 察 信 号 的 细 节 从 而 被人 们 广 泛 应 用 称 为“数 学 显 微 镜”4 傅 里 叶 变 换 与 小 波 变 换 降 噪 效 果 比 较傅 里 叶 变 换 和 小 波 变 换 都 可 以 用 来 对 信 号 进 行 降噪 处 理 然 而 小 波 变 换 具 有 多 分 辨 率 的 特 性 降 噪 效 果更 为 优 良 信 号 和 噪 声 在 不
19、同 的 尺 度 上 有 不 同 分 解 特点 随 着 尺 度 的 增 大 小 波 的 分 辨 率 逐 渐 的 降 低 信 号 中包 含 的 高 频 成 分 也 即 干 扰 成 分 越 来 越 少 而 剩 下 的 低 频成 分 即 信 号 所 对 应 的 模 的 极 大 值 增 大 所 以 通 过 去 除 含噪 信 号 的 高 频 细 节 部 分 就 可 以 达 到 小 波 降 噪 的 目的 4 下 面 以 一 含 噪 信 号 为 例 通 过 小 波 降 噪 和 傅 里 叶 变换 降 噪 所 得 仿 真 结 果 如 图 1 从 图 中 可 以 看 出 小 波 变换 降 噪 比 傅 里 叶 变 换
20、 降 噪 后 的 效 果 要 好 图 1 小 波 降 噪 与 傅 里 叶 变 换 降 噪 效 果 比 较5 总 结传 统 的 信 号 分 析 是 建 立 在 傅 里 叶 变 换 的 基 础 上的 它 无 法 描 述 信 号 的 时 频 局 部 特 性 而 短 时 傅 里 叶变 换、小 波 变 换 却 有 效 地 克 服 了 这 些 局 限：它 们 都 是关 于 时 间 t 和 频 率 的 二 维 函 数 在 时 域 和 频 域 都具 有 表 征 信 号 局 部 特 征 的 能 力 其 中 小 波 变 换 的 优点 尤 为 明 显 它 具 有 多 分 辨 率 特 性 可 以 展 示 信 号 的细
21、 节 参 考 文 献：1 彭 启 琮 邵 怀 宗 李 明 奇 信 号 分 析 M 北 京：电 子 工 业出 版 社 2 0 0 6 1 0 5-1 0 8；1 1 8-1 1 9 2 刘 顺 兰 吴 杰 数 字 信 号 处 理 M 西 安：西 安 电 子 科 技大 学 出 版 社 2 0 0 3 2 2 6-2 2 8 3 刘 素 美 李 书 光 小 波 分 析 的 理 论 发 展 及 应 用 J 河 北理 工 学 院 学 报 2 0 0 5 5（5）：6 0-6 2 4 王 立 国 张 奇 军 基 于 多 分 辨 分 析 的 信 号 趋 势 征 兆 的 提 取 J 吉 林 化 工 学 院 学
22、 报 2 0 0 3 2 0（1）：4 1-4 2 T h e L i m i t a t i o n o f F o u r i e r T r a n s f o r m i n P r a c t i c e a n dt h e M e t h o d s o f S o l u t i o nM A Y a o-t i n g S H A O Y-i q u a n（S c h o o l o f P h y s i c s E l e c t r o n i c I n f o r m a t i o n E n g i n e e r i n g N e i j i a n g
23、N o r m a l U n i v e r s i t y N e i j i a n g S i c h u a n 6 4 1 1 1 2 C h i n a）A b s t r a c t：F o u r i e r t r a n s f o r m i s a w h o l e t r a n s f o r m I t c a n n o t d e n o t e t h e p a r t i a l c h a r a c t e r i s t i c o f t h e s i g n a l i n b o t h t i m e a n df r e q u e
24、 n c y d o m a i n T h e p a p e r m a k e s a d e t a i l e d a n a l y s i s o f t h e l i m i t a t i o n s o f F o u r i e r t r a n s f o r m a n d g i v e s t h e m e t h o d o f h o w t oo v e r c o m e t h e l i m i t a t i o n s F i n a l l y i t c o m p a r e s t h e n o i s e r e d u c t
25、i o n e f f e c t s i n s i g n a l n o i s e r e d u c t i o n a p p l i c a t i o n b e t w e e n F o u r i e rt r a n s f o r m a n d w a v e l e t t r a n s f o r m w i t h e x p e r i m e n t a l s i m u l a t i o n I t p r o v e s t h e s u p e r i o r i t y o f w a v e l e t t r a n s f o r m K e y w o r d s：F o u r i e r t r a n s f o r m；l i m i t a t i o n s；s h o r t-t i m e w a v e l e t t r a n s f o r m（责 任 编 辑：李 伟 男 英 文 审 译：李 笛）4 4
