1、1第一章 函数 极限 连续一求极限方法小结极限是整个微积分的基础，要理解微积分，首先要很好地理解极限的概念.有多种求极限的方法，究竟该用哪种方法求极限，关键是要判断极限属于哪一种类型.1. 知识要点（1）利用极限的定义求极限.（2）利用极限运算法则求极限.（3）利用不等式求极限.（4）利用变量代换法求极限.（5）利用两个重要极限求极限.（6）利用单调有界准则求极限.（7）利用函数的连续性求极限.（8）利用等价无穷小代换求极限.（9）利用单侧极限求极限.（10） 利用罗必达法则求极限.（11） 利用导数定义求极限.（12） 利用定积分定义求极限.（13） 利用 公式求极限.Taylor2典型例子
2、例 1：设 求证： 存在，并求其值. ,12,12,1nnxxx nxlim)(答 案 ：例 2：求 （答案：1） nnn 222 11lim例 3：求 （答案：1） nn 121)()(li 例 4：求 （答案：0）nn64531lim例 5：求 （答案： ）xx1lli2 212例 6： （答案： ）xcoslim0 21e例 7：求常数 ，使 （ ）dtecxc2li 25c例 8：已知 ,证明数列 收敛，并求 1,1,12 nnxx nx出此数列的极限. 5例 9：设 ，求 （答案： ）)0(31,0nxxn nxlim3例 10：求 （答案：1）1tatalim0xxe例 11：求
3、（答案：1）xxcos)ln()ln(i 220 例 12: （答案：1）xexsi1li410例 13：设 ，证明：当 时， 与xgtdf 6702sin)(,an)( 0x)(xf是同阶无穷小量.)(xg例 14： （答案： ）xx20cot1lim32例 15：求 （答案： ）nnn 1si2si1il 例 16：求 （答案： ） nn 222 sisi1silim 1cosin3例 17：设 在原点的邻域内二次可导，且 ，求)(xf 0)(3sinlm20xfx及 （答案： ）)0(“,)(ff 2)(3limxfx 9,例 18：设 在 的某邻域内具有二阶导数，且 ，求)(f 310
4、)(1liexfx及 .（答案： ，)0(,)(ff xxf1)(li 4)(,)(,)(fff）210limefx例 19：设 ， ， 均为非负数列，且 ， ，nabnc0limna1linb，则必有ncli对任意 成立； 对任意 成立；)(Aba)(Bncb极限 不存在； 极限 不存在.CnclimDli（2003 年数学一）例 20：已知 ，求 （答案： ）01lnart2li0 cxpx cp, 34,cp例 21：设函数 在 的某邻域内具有二阶连续导数，且 ，)(f 0)(f， .证明：存在惟一的一组实数 ，使得当 时，)0(f 321,是比 高阶的无穷小 .)03()2(1 fhf
5、fh2h例 22：求极限 （答案： ）)1ln()ln(1im20 xxx 2例 23：已知当 时 与 是等价无穷小，求常数 和 .（答案：0cosdtkAAk）10,kA例 24：设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是)(xf),nx若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.)(nn)(B)(nxf4若 收敛, 则 收敛. 若单调，则 收敛.)(C)(nxfnx)(Dnxfnx(答案：B) （2008 年数学一）例 25：求极限 （答案： ） （2008 年数学一）40siislimxx61例 26：(I )证明:对任意的正整数 ,都有nn)l(1(II)设 ,证明数列 收敛.)
6、2(l12 an a（2011 年数学一、二）二函数的连续性1知识要点1函数在一点的连续性： 在点 处连续)(xf00limyx在点 处连续 )(0xff2连续函数的运算3初等函数的连续性：基本初等函数在定义区间内是连续的；初等函数在定义区间内是连续的4函数的间断点和间断点的分类5闭区间上连续函数的性质：最值定理、介值定理2典型例子例 1：求函数 的间断点，并指出其类型.0,1sin)1l()23xxxf例 2：讨论函数 在定义域内是否连续.)(lim)(efn例 3：设 其中 具有连续导数且 ，试确定0,)()(20xcdtfxF)(xf 0)(f的值使 连续，并讨论 是否连续. （答案：
7、）c)()( 0c例 4：设 在 内连续， ，且 ，试证xf,(ba ),21(),(nitbaxii 1nit5明至少存在一点 ，使 .),(ba )()()()(21 nxftxftftf 例 5：设 在 上连续，且 ，证明（1）存在 ，使xf1001,0；（2）存在 ，使 .)(1(f, Nfnf),(例 6：设函数 在 上连续，在 内可导，且 ，xf3,)3, 3)2(f试证必存在 ，使 （2003 年数学三）.1)3(f )0(.0(f例 7：设函数 0,4sin1,6arcsiln)(23xxef问 为何值时， 在 处连续；问 为何值时， 是 的可去间断点？a)(xf0a)(xf（
8、2003 年数学二）例 8：设 )1,2,)1(sin1)( xxxf试补充定义 使得 在 上连续。 （答案： ） （2003 年数学三）ff,2 (f例 9：函数 在下列哪个区间内有界.)(1si)(xxf（ ） （ ） （ ） （ ）A0,1B,0C)2,1(D)3,2(（2004 年数学三）例 10：设 在 内有定义，且)(xf),)(limaxf则0,1()xfg（ ） 必是 的第一类间断点.A0x)(x（ ） 必是 的第二类间断点.Bg（ ） 必是 的连续点.Cx)(x6（ ） 在 处的连续性与 的取值有关.D)(xg0a例 11：设 在 连续，且 ，证明： ，使得f),(xf)(
9、),(.)(f7第二章 一元函数微分学一导数与微分1知识要点1导数的定义：导数反映了客观运动过程的瞬时变化率xyf0lim)( xff)(li00)(0f0)(li0fx2导数的物理意义、几何意义：分别表示变速直线运动的瞬时速度、曲线的切线的斜率.曲线 在点 处的切线方程为： )(xfy)(,0xf )()(00xfxfy法线方程为： )(1000ff3在经济学中， 的边际函数是指 关于自变量 的变化率 。例如)(xf )(xfxx表示边际成本函数， 表示边际收入函数， 表示边际利润函数.)(xCR)(L4函数可导与连续的关系：如果函数 在点 可导，则 在点 处连续。但)(xf0xf0是，连续
10、却不一定可导.5求导法则：导数的四则运算法则、复合函数的求导法则、反函数的求导法则、隐函数的求导法则、参数方程的求导法则.6微分的定义与运算法则.2典型例子例 1：求函数 的一、二阶导数并讨论其连续性.0,)(21xexf例 2：设 （ 为实数） ，问 在什么范围内 （1）连续；,01sin)(xxfkkk)(xf（2）可导；（3）导数连续；（4）二阶可导.例 3：设 是可导函数，对于任意实数 有 ，且f ts, stfstsf 2)()(8，求函数 的表达式.af)0( )(xf例 4：求 的不可导点的个数.（答案：2）x32例 5：设 ，则 在点 可导的充分必要条件是0)(f)(f0（ ）
11、 存在；（ ） 存在.Acosh1lim20h B)1(lim0hhef（ ） 存在.（ ） 存在.Cin)(fD2f例 6：设 是由方程 所确定的隐函数，求 . （答案： ）xyye)0(y0例 7：设 且 二次可微， ，求 .)(tft)(tf)(tf2,dx（答案： ）)(1,tf例 8：设函数 的导数 与二阶导数 均存在，并且均不为零，其反)(xfy)(xf)(xf函数为 ，求 . （答案： ）)(x 3)(f例 9：作已知曲线 的切线，使其平行于直线0542yxyx，使求此切线方程. （答案： ）032yx 23例 10：已知曲线的极坐标方程是 ，求该曲线上对应于 的切线与法cos1
12、r 6线的直线方程.（答案： ， ）0453.yx 0413.yx例 11：设 在 上连续，且 ，则下列结论中错误的是)(f,ba)(,)(bfaf（ ）至少存在一点 ，使得 ；A),(0x0x（ ）至少存在一点 ，使得 ；B)(ff（ ）至少存在一点 ，使得 ；C),(0bax0x（ ）至少存在一点 ，使得 .D)(f（答案：（ ） ） （2004 年数学三）例 12：以下命题中，正确的是9（ ）若 在 内连续，则 在 内有界.A)(xf1,0)(xf1,0（ ）若 在 内连续，则 在 内有界.B（ ）若 在 内有界，则 在 内有界.C)(xf,)(xf,（ ）若 在 内有界，则 在 内有界
13、.D1010（答案：（ ） ） （2005 年数学三）二微分中值定理1知识要点微分中值定理具有相同的几何背景：在一条连续光滑的曲线上，至少存在一点，使曲线在该点的切线平行于对应的弦.1 定理：设 在闭区间 上连续，在 内可导，且 ，Role)(xf,ba),(ba)(bfaf则存在 ，使得 ，即方程 在 内至少存在一个实根.),(ba00)(xf定理提供了证明方程根的存在性的另一种有效的方法.l2 中值定理：设 内可导在闭区间 上连续，在 内可导，则Lgrne)(f ,ba),(ba存在 ，使得),(ba即 abff)()( )()(ff中值定理将函数和导数联系在一起了.Lgrne3 中值定理
14、：设函数 与 满足：在闭区间 上连续，在Cauchy)(xfg,ba内可导， .则存在 ，使得),(b0)(x,ba)()(gfgf很明显， 定理是 中值定理的一种特殊情况，而 中值是RoleLarneLagrne中值定理的一种特殊情况.Cauchy4带 余项的 公式：设 在点 的 阶导数存在，则PenTylr)(xf0n10)()(!)(!2)()( 000)(20000 nnn xoxfxfxfxff 带 余项的 公式：设 在点 的某邻域 内具有 阶LagrneTaylorf0,0O1导数，则 ，有x),(0O 10)1(00)(20000 )!)!)(!)( nnn xfxfxfxff
15、其中 ,0x公式将函数和高阶导数连续在一起了.Taylor公式的基本思想是利用多项式逼近函数.2典型例子例 1：如果 为满足 的实数，证明方程na,10 013210naa在 内至少有一个实根.210 nxax ),(例 2：设 在 上连续，在 内可导，且 ， ，试证：)(f1,0100)(f1)2(f（1）存在 ，使 ；),()(f（2）对任意实数 ，必存在 ，使,01)()( ff例 3：设 在 上连续，在 内可导，且 ，证明：)(xf)(,ab,ba)(bfa存在 ，使得 ,a )()(1fnfn例 4：设 在 上可导，且 ， ，求证：)(,xf,ba0bfaf 0)(bfa存在 使得
16、， .(,ba)(f例 5：设 在 上连续，在 内二阶可微， ，)xf, )(ff，求证： .(0)(f),(0)(baxf11例 6：设 在 上可导，且 ， ，证明在 上存在两点)(xf1,00)(f1)(f,0，使 .21,x2)()(1ff例 7：设 在 上具有三阶连续导数，且 ， ，证x,0)1(f)(f0)(f明：在 上至少存在一点 ，使 .),(3)(f例 8：设 在 上存在二阶导数，且 ， ，证明：xf1,0 )(f 1)(min1,0xfx存在 ，使 .),(8)(例 9：证明： )0(1ln3arct2xx例 10：设函数 在 上连续，在 内具有二阶导数且存在相等的最)(gf
17、， ,ba,(ba大值， ，证明存在 ，使得 .(2007 年数),(bf)(gf学一)三导数的应用1知识要点利用导数和中值定理，我们可以研究函数的单调性、极值、最值、凹凸性与拐点，可以证明不等式、可以研究方程实根的个数等等.2典型例子例 1：设 ，证明：),0(x 21)ln(12l x例 2：求证： )0(1xex例 3：对任意实数 ，证明不等式 221)ln(1xx例 4： 设 的导数在 处连续，又 ，则)(xfaimafx（ ） 是 的极小值点.（ ） 是 的极大值点.AaB)(f是曲线 的拐点.)(C)(,f)(fy12不是 的极值点， 也不是曲线 的拐点.)(Dax)(xf )(,
18、af )(xfy例 5：已知 在点 的某邻域内有定义，且有 ，其中 为f0 kfnx)(lim00 n正整数， ，讨论 在点 处是否有极值.k)(xf0例 6：设函数 对于一切实数 满足微分方程 xexfxf 1)(3)( 2（1）若 在 （ ）有极值，证明它是极小值；)(xfc0（2）若 在 有极值，则它是极大值还是极小值？例 7：设 ，求证：)()1)(是 自 然 数nxf（1）110maxf，（2） efx)(10，例 8：设 在 内有定义， 存在，且满足),)(,xf0)( gfxf如果 ，求证： . )(0)(bafaf),(0bax例 9：求方程 在区间 内的实根的个数.sec2x
19、x )2,(例 10： 讨论方程 的实根的个数.1例 11： 设 ，求证：（1）对任意自然数 ，方程xxfnn2)( 1n在 内只有一个根；（2）设 是 的根，则 .1)(xfn, n,1)(xfn 2limnx例 12：设在 上， ，而 ，证明：),(0)(xf0)(f)()(fxg在 上单调增加.),(13例 13：设函数 在 上连续，且 ，试证：)(xf,00cos)(,0)(0 xdfdxf在 内至少存在两个不同的点 ，使 .),0(21,21ff例 14：讨论曲线 与 的交点个数.（2003 年数学二）kxyln4xy4ln例 15：求方程 不同实根的个数，其中 为参数. （2011
20、 年数学一）0arctk k14第三章 一元函数积分学一不定积分例 1：设 ，且 ，求 .（答案：2ln)(2xf xfln)(dx)(）Cxln例 2：已知 是 的一个原函数，求 .（答案：si)(xfdxf)(3）xco6in4co例 3：设 ，求 .0,si)(2xf dxf)(例 4：设 是 的一个原函数， ，若当 时，有)(xFf 42)1(F0x，求 .（答案： ）)1(arctn)(xf)(xf )()(xf例 5：求 d,mx23例 6：求 ex2arctn二定积分例 1：求极限 nnn 211lim例 2：设 在 上连续，且 ，试证明存在)(xf,0 0)(10dxf.1)1
21、,0(f使例 3：已知 ，求 .（答案： ）)0()ln)(1xdtxf xf1)(x2ln15例 4：设函数 连续，且 已知 ，求)(xf ,arctn21)(20 xdtxtf 1)(f的值.（答案： ）21)(dxf43例 5：已知 求 .210,ln,si)(xf xdtfI0)(例 6：求积分 ，其中当 时 ，而xdtgtfI0)()()( xxf)(2,sin)(xxg例 7：设 在 上连续，且 ，证明)(f,ba0)(fbadxf)(2)()1abfba例 8：设 在 上连续，求证xf1,00 1010)(,)(max)( dxffdf例 9：设 在 上连续，且 ， ，求证：)(
22、xf1,ff存在 0)()(1,dxff使例 10：设 是在 内的周期函数，周期为 ，并满足)(xf),T；),(,)1( 为 常 数其 中 LyxLy020Tdxf求证： LTfTx21)(ma,例 11：设函数 在 上具有连续的二阶导数，证明在 内存在一点 ，使,ba),(ba得 )(241)() 3fbafdxfba 16例 12：设函数 在区间 上连续， 为偶函数，且)(,xgf )0(,a)(xg满足 ， （1）证明 ；)(xf)(为 常 数AfaadxgAf0)(（2）利用（1）的结论计算 2arctnsidxe例 13：计算定积分： （答案： ）421sindxe)2(81例 1
23、4：计算定积分： 0)arct(os例 15：试证连续函数 是周期函数的充分必要条件是：存在 ，使对一切的)xf 0T，有 xTxdtf(Ttf0)(例 16：计算定积分： （答案： ）n02si1n2例 17： 是以 为周期的连续函数，证明： 或是以 为周期的周)(xfTxdtfF0)(T期函数，或是线性函数与周期函数的和.例 18：计算 ，其中10)(dxfI xtdef12)(例 19：设 在 上连续，且满足)(,gf,ba),xdttfxaxababatgtf)()(证明： babadxxf)()(（2004 年数学三）17例 20：设 在 上的导数连续，且 .证明：)(,xgf1,0
24、 0)()(,0)(xgff，对任何 ，有10adxfg0)(10 )1()(gafdxgf例 21：设 在 上一阶可导， ，且 .证明：当)(f,baMf)( 0)(badxf时，,baxdtfxa2)(81)(例 22：设 是区间 上单调减少且非负的连续函数， f,0，证明数列 的极限存在.),321()(11 ndxfkfann na例 23：设 在 上连续，对任意的 都有 ，证明f,0yx, yxMyf)(nkfndf 2)(1)(10例 24：设 在 上连续，且 ，证明：)(xf,ba0xfbaba dxfdf )(ln1)(1ln例 25：设 是连续函数 的一个原函数， “ ” 表
25、示“)(xF)(xf NM”，则必有NM的 充 分 必 要 条 件 是（ ） 是偶函数 是奇函数.A)(x)(xf（ ） 是奇函数 是偶函数.BF（ ） 是周期函数 是周期函数.C)(x)(xf（D） 是单调函数 是单调函数.（答案：（ ） ） (2005 年数学一)A例 25：设 是连续函数(xf18（）利用定义证明函数 可导，且xdtfF0)()(xfF（）当 是以 2 为周期的周期函数时，证明函数)(xf也是以 2 为周期的周期函数. (2008 年数学一)002)(dtftfxG例 26：求函数 的单调区间与极值. (2010 年数学一)221)()xtdef三广义积分例 1：求 dx
26、03)(例 2：求 ex02)(例 3：求 d02arctn例 4：求 （答案： ）xtxx0silm2四定积分的应用例 1：求由 与 围成的图形面积（两部分都要计算）.)0(12bayxxy（答案： ）,arctnb,rctn例 2：过点 作抛物线 的切线，该切线与上述抛物线及 轴围成一平)0,1(P2xy x面图形，求此图形绕 轴旋转所成旋转体的体积.x例 3：设直线 与抛物线 所围成的图形面积为 ，它们与直线 所围ay21S1成的面积为 ，并且 .2S119（1） 试确定 的值，使 达到最小，并求出最小值；（答案：a21S）62,（2） 求该最小值所对应的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体
27、的体积.x（答案： ）301例 4：设平面图形 由 与 所确定，求图形 绕直线 轴旋转Axy22A2x一周所得旋转体的体积.（答案： ）3例 5：将抛物线 在横坐标 之间（ ）的弧段绕 轴旋转，问axy2c与00ax为何值时，该旋转体的体积 等于以弦 绕 轴旋转所成锥体的体积 ？cVOPx锥V例 6：过坐标原点作曲线 的切线，该切线与曲线 及 轴围成平面图形ylnxyln.D(1) 求 的面积 .（答案： ）A12e(2) 求 绕直线 旋转一周所得旋转体的体积 .（答案： ）xV)3125(6e例 7：曲线 与直线 及 围成一曲边梯形。该曲边2ey)0(,txy梯形饶 轴旋转一周得一旋转体，其
28、体积为 ，侧面积为 ，在 处的底面积为x t)(tStx.)(tF（ ）求 的值；（答案：2）)(tVS（II）计算极限 （答案：1） （2004 年数学二）)(limtFt例 8：设 是区间 上的任一非负连续函数。试证存在 使得在xfy,0 )01(x区间 上以 为高的矩形面积等于在区间 上以 为曲边的曲边梯形,0x)(0 1,0x)fy面积；又设 在区间 内可导，且 ，证明中的 是唯一的。f1ff)(2)(0x2021第五章 多元函数微分学例 1：求 例 2：求yxyx1lim)0,(, xyyx2)0,(,lim例 3：证明函数 ,0),(42f )0,(,yx在点 处不连续，但存在一阶
29、偏导数.)0,(例 4：设函数 ,0,1sin)(),( 22yxyxyf )0,(x问在点 处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明)0,(理由.例 5：设 ， 具有二阶连续的导数，求 .)(xyffyzf yxz2例 6：设 ， 具有二阶连续的偏导数，求 , .),(3fxf 2例 7：设 ， 具有连续的二阶导数， 可导，求(,xyfzf ,.yxz2例 8：设函数 ， ，证),(zyxfu cos,sin,cosinrzryr明：如果x1yzu1则 仅是 的函数.ur例 9：设 ，求 .)(),(),(xfzFd例 10：设 ，其中 具有一阶连续的偏导yex
30、yfysin02 ,f数，且 ，求0zdu22例 11：设函数 有连续偏导数，且 由方程 所),(zyxfu),(yxzzyxee确定，求 （答案： ）ddefzxzx1 dfzyzy1例 12：设函数 具有二阶连续偏导数，满足 ，又),(vuf 2ufv，求 （答案： ）)(21,),(2yxfyxg2xgyyx例 13：设 为可微函数，且 ，证明：,wvu 0),(bazcbzxay例 14：设变换 可把方程 简化为 ，其yxvu262z02z02vuz中 具有二阶连续偏导数，求常数 .（答案： ）za3例 15：设 是曲面 在点 处的指向外侧的法向量，求函数n322z)1,(P在点 处沿
31、方向 的方向导数.zyxu286Pn例 16： 求函数 在点 处的梯度和最大方向导数.221zyxu)0,1(例 17： 求由方程 所确定的隐函数 的极8zx ),(yxz值.（答案：极小值 ，极大值 ）1z7z例 18： 求二元函数 在由直线 所围成的闭域)4(2yx轴轴 yx,6上的极值、最大植和最小值.D例 19： 求平面 和柱面 的交线上与 平面距离最短点的153zyx12O坐标. )125,4(例 20：在椭球面 上求距离平面 的最近点和最19622zyx 28143zyx23远点.（答案：最近点 ，最远点 ）8319， 8319，例 21：求函数 在约束条件 和 下的最大值22zy
32、xu2yxz4z与最小值. （答案：最大值点 ，最小值点 ，最大值为 72，最小值为 6）， 1，（2008 年数学二）例 22：求函数 在约束条件 和 下的最大值与最yzxu22yxz4z小值. （答案：最大值点 ， 最小值点 ， 最51， 5， 251， 5，大值为 ，最小值为 ） （2010 年数学三）5例 23：设函数 ，其中函数 具有二阶连续偏导数，函数 可导)(,xygfzf )(xg且在 处取得极值 ，求 .1x112xyz(答案： ) （2011 年数学一、二、三） ,(),(),(12112 fffyzx 24第六章 多元函数积分学一重积分例 1：将 用两种积分次序表为二次积
33、分.DdyxfI),(（1） ：由曲线 所围；1,2,082yx（2） ayxa0:2例 2：交换二次积分 的顺序.xdfsin0),(例 3：计算二次积分xy2si2124sinxdy例 4：计算二次积分 yxRde0202220yRxye例 5：计算二重积分 ，其中 是由直线 以及曲线DyI 2,y所围成的平面区域.（答案： ）2yx 24例 6：计算二重积分 ，其中 是由直线 和DdxyI2D2,1,yx轴所围成的平面区域.（答案： ）x35例 7：设 在 上连续，且)(tf),01tf22421tyx dxyf25求 . （答案： ）)(tf 24)(tef例 8：设闭区域 ： 为 上
34、的连续函数，且D.0,xyx),(yfD21),(yf Dduvf,8求 （答案： ）),(yxf 2),(yxxf 34例 9：计算二重积分 ，其中 由圆DdI2所围成的平面区域.（答案： ）轴及直 线 xyxy,22 2910例 10：设 是 平面上以 为顶点的三角形区域， 是 在第o),(1),(1D一象限部分，则 等于Ddxyxysinc()(A1si2)(B12DxydC1)co4Dxyxy0例 11：计算 dxyI21ln）（其中 .（答案： ）02yxy，），（ )41(2ln例 12：计算二重积分 ，其中 由DdxyfxI)(2D所围成的平面区域， 是 上的连续函数.（答案：
35、）1,3xy 52例 13：证明 100)()(dxfdyfx例 14：设 在 上连续，证明f,babaa dxfdxf )()(22例 14：设 为 上的单调增加的连续函数，证明)(xf1,0261023)(dxff1023)(xff例 15：求 ，其中 由圆 和DyxI( D42y围成的平面区域. （答案： ） （2004 年数学三）1)(2yx )3(916例 16：设二元函数 2,),(2yxyxyf计算二重积分 ，其中 Ddxf),(),(D（答案： ） （2007 年数学二、三、四）12ln431例 17：计算三重积分 ，其中 是由dvxyIsi所围成.2,0, zxyx例 18：
36、计算三重积分 ，其中 是由曲线 绕 轴旋dxyzI)(202xzy转一周而成的曲面与平面 所围的立体.（答案： ）8,z36例 19：计算三重积分 ，其中 是由 及dvI2 )(122zyx所围成的区域.（答案： ）21yxz6例 20：计算三重积分 ，其中 是以平面 及锥面xdyzxI22 z为边界的区域.（答案： ）2yxz )1(例 21：计算三重积分 ，其中zdvI（答案： ）403,2yxzyx，），（ 28例 22：设有一半径为 的球体， 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密RP度与该点到 距离的平方成正比（比例系数 ） ，求球体的重心位置.（答案：0Pk27）)0,4(R例
37、 23：设函数 连续且恒大于)(xf，)(2)()tDt dyxfvzFttDdxfyftG)()(2)(2其中 ，,( 22tzzt ,)22ty（1） 讨论 在区间 内的单调性；)(tF),0(（2） 证明当 时，(tGt例 24：计算 ，其中Ddxy1,ma20,),yxyD（答案： ） （2008 年数学二、三）ln419例 25：计算二重积分 , 其中Dxy)( xyxy,)1()(,22（答案： ） （2009 年数学二、三）38例 26:已知函数 具有二阶连续偏导数 ,且 ,),(yxf 0)1(,)(xfyf, 其中 , 计算二重积分adyxfD),( 0x.xy（答案： ）
38、（2011 年数学一、二）a二曲线积分例 1：计算 ， 由圆周 ，直线 及 轴在第一象限中所dseLyx2:22ayxxy围图形的边界.（答案： ）aae4)1(例 2：计算 ，其中 为曲线 （答案： ）syxC2Cyx228例 3：计算 ，其中 为由点 沿曲线deydxeAOB)(cos)( AOB)1,(到点 ，再沿直线 到点 的路径.（答案： ）2xy)0,0,2Bsine28例 4：计算下列曲线积分dyxydxyAMB sin)(cos)( 其中 为连接点 与点 的线段 之下方的任意路线，且该路线与线段AB2,(4,3AB所围图形面积为 .（答案： ）26例 5：计算 ，其中 是以点
39、为中心， 为半径的圆周（ ） ，方Lyxd24L)0,1(R1R向为逆时针方向.（答案： ）时 为； 当时 为当 R例 6：计算曲线积分 ，其中 为正方形边界 的正向.Lyxd2L1yx（答案： ）2例 7：计算 ，其中积分路径为过三点 的),1()0,( )(dedeyy )2,(0),(圆.（答案： ）2例 8：设函数 在 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分),(yxQO与路径无关，并且对任意 恒有Ldxy2 t)1,()0,( ),(2t dyxy),1()0,( ),(2t dyxQ求 . （答案： ）),(yxQx例 9： 计算曲线积分 ，其中 是沿 由LyxdI2)()( Lxyc
40、os的曲线段.（答案： ）),(),(BA到 3例 10：设函数 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 上，曲y L线积分 的值恒为同一常数。Lxd42)(（1） 证明：对右半平面 内的任意分段光滑简单闭曲线 ，有0xC；2)(4Cy29（2） 求函数 的表达式.（答案： ）)(y2y（2005 年数学一）例 11：计算曲线积分 ，其中 是曲线dzxzdxzIL )()() L，从 轴正向往 轴负向看 的方向是顺时针的.（答案： ）212zyx 2三曲面积分例 1：计算 ，其中 为平面 被柱面 所截下的dSzyx)(5zy252yx部分。例 2：设 为椭球面 的上半部分，点 为 在
41、点 处S12z ,),(SzyxPP的切平面， 为点 到平面 的距离，求 （答案： ）),(zyx)0,(OSdz),(23例 3：设有一高度为 （ 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程th（设长度单位为厘米，时间单位为小时） ，已知体积减少的速率与侧)(2)(2tyxthz面积成正比（比例系数 ） ，问高度为 （厘米）的雪堆全部融化需多少小时？（答案：9.0130小时）10例 4：计算曲面积分 ，其中 是由曲面 及两平面Szyxd22S22Ryx所围的立体表面的外侧.（答案： ）)0(,Rz 21例 5：计算曲面积分 dxyzdzxydzxy )()()(22其中是 曲面 的上侧.（答
42、案： ）1z， 49例 6：计算曲面积分 ，其中 为下半球面212)(zyxxaa的 上侧， 为大于零的常数.（答案： ）22yxaz 3例 7：设向量 ，曲面 为上半球面 被锥,2zAS)0(1)1(22zyx30面 所截得部分（满足 ） ，且指向上。求 A 通过 的流量.2yxz2yxzS例 8：设对于半空间 内任意的光滑有向闭曲面 ，都有0xS0)()(2S xzdyefdyf其中函数 在 内具有连续的一阶导数，且 .求 .（答案：)(xf,1)(lim0fx)(xf）1xef例 9：计算曲面积分 ，其中 是曲面232)(zyxdxydI 的外侧.（答案： ） （2009 年数学一）42zyx 4I第七章 无 穷 级 数一常数项级数例 1：若级数 （ ）收敛，证明1na0n（1） 收敛； （2） 收敛；2n1na（3） 收敛； （4） 收敛1na1n例 2：若级数 收敛，则必收敛的级数为1nu（ ） ； （ ） ；A1)(nnB12nu（ ） ； （ ）C12)(nnuD11)(nn
