1、习题八8-1 电量都是 q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?解: 如题 8-1 图示(1) 以 A处点电荷为研究对象，由力平衡知： q为负电荷 2020 )3(413cos41aa解得 q(2)与三角形边长无关题 8-1 图 题 8-2 图8-2 两小球的质量都是 m，都用长为 l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为 2,如题 8-2 图所示设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量解: 如题 8
2、-2 图示 20)sin(41sincoslqFTmge解得 ta4sin20mglq8-3 根据点电荷场强公式 20rqE，当被考察的场点距源点电荷很近(r 0)时，则场强，这是没有物理意义的，对此应如何理解?解: 024rqE仅对点电荷成立，当 r时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大8-4 在真空中有 A， B两平行板，相对距离为 d，板面积为 S，其带电量分别为+ q和-q则这两板之间有相互作用力 f，有人说 f= 204q,又有人说，因为 f= E,SE0，所以 f= Sq02试问这两种说法对吗?为
3、什么? f到底应等于多少?解: 题中的两种说法均不对第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强 0看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的正确解答应为一个板的电场为 SqE02，另一板受它的作用力 Sqf020，这是两板间相互作用的电场力8-5 一电偶极子的电矩为 lp，场点到偶极子中心 O 点的距离为 r,矢量 与 l的夹角为,(见题 8-5 图)，且 r试证 P 点的场强 E在 r方向上的分量 E和垂直于 r的分量E分别为 rE= 302cos, = 304sinr证: 如题 8-5 所示，将 p分解为与 平行的分量 ip和垂直于 r的分量 sinp l 场点 P在
4、 方向场强分量 302cosrr垂直于 r方向，即 方向场强分量 3004inpE题 8-5 图 题 8-6 图8-6 长 l=15.0cm的直导线 AB 上均匀地分布着线密度 =5.0x10-9Cm-1的正电荷试求：(1)在导线的延长线上与导线 B 端相距 1a=5.0cm 处 P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距 2d=5.0cm 处 Q点的场强解： 如题 8-6 图所示(1)在带电直线上取线元 x，其上电量 qd在 点产生场强为 20)(41xaEP2dl140lal)(20la用 15lcm， 91.1mC, 5.c代入得2746PEN方向水平向右(2)同理 20ddx
5、Q方向如题 8-6 图所示由于对称性 lQxE0d，即 Q只有 y分量， 220d41xy24lQyyE23)(lx20dl以 910.51cmC, 5c, 2cm代入得26.4QyE1N，方向沿 y轴正向8-7 一个半径为 R的均匀带电半圆环，电荷线密度为 ,求环心处 O点的场强解: 如 8-7 图在圆上取 dl题 8-7 图 ddRlq，它在 O点产生场强大小为204E方向沿半径向外则 dsin4sind0Rxdcos4)co(0REy 积分Ex 002dsin4dcosy Rx02，方向沿 x轴正向8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为 l，总电量为 q(1)求这正方形轴线上离中心为r
6、处的场强 E； (2)证明：在 r处，它相当于点电荷 产生的场强 E解: 如 8-8 图示，正方形一条边上电荷 4q在 P点产生物强 Pd方向如图，大小为4cosd201lrEP 2cos1lr12cs 24d20lrlEPP在垂直于平面上的分量 cosdPE 424d220 lrllr题 8-8 图由于对称性， P点场强沿 O方向，大小为 2)4(d420lrlE lq 2)4(20rlEP方向沿 OP8-9 (1)点电荷 q位于一边长为 a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(
7、3)如题 8-9(3)图所示，在点电荷 q的电场中取半径为 R 的圆平面 在该平面轴线上的 A点处，求：通过圆平面的电通量( xarctn)解: (1)由高斯定理 0dqSEs立方体六个面，当 在立方体中心时，每个面上电通量相等 各面电通量 06e(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长 a2的立方体，使 q处于边长 a2的立方体中心，则边长 a2的正方形上电通量 06qe对于边长 的正方形，如果它不包含 所在的顶点，则 024qe，如果它包含 q所在顶点则 e如题 8-9(a)图所示题 8-9(3)图题 8-9(a)图 题 8-9(b)图 题 8-9(c)图(3)通过半径为 R的圆平面的电通量
8、等于通过半径为 2xR的球冠面的电通量，球冠面积* 1)(222xxS )(420Rq0q R*关于球冠面积的计算：见题 8-9(c)图 0dsinrS2)co1(8-10 均匀带电球壳内半径 6cm，外半径 10cm，电荷体密度为 2 510Cm-3求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强解: 高斯定理 0dqSEs, 024qr当 5rc时， ,8时， q3p(r)3内 204E内 4108.1CN， 方向沿半径向外12rcm 时, 3q(外r）内 3 42010.4rE内外1 沿半径向外.8-11 半径为 1R和 2( 1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量 和-,试求
9、:(1)r ；(2) r 2R；(3) r 2处各点的场强解: 高斯定理 0dqSEs取同轴圆柱形高斯面，侧面积 rl则 ES2对(1) 1Rr 0,q(2) 2 l rE02沿径向向外(3) 2R 0q E题 8-12 图8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为 1和 2，试求空间各处场强解: 如题 8-12 图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为 与 ，两面间， nE)(21201面外， 12面外， n)(220n：垂直于两平面由 1面指为 面8-13 半径为 R的均匀带电球体内的电荷体密度为 ,若在球内挖去一块半径为 r R的小球体，如题 8-13 图所示试求：两
10、球心 O与 点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的解: 将此带电体看作带正电 的均匀球与带电 的均匀小球的组合，见题 8-13 图(a)(1) 球在 O点产生电场 01E，球在 点产生电场d43020Or 点电场d30rE；(2) 在 O产生电场d43001OE球在 产生电场 2 点电场 03题 8-13 图(a) 题 8-13 图(b)(3)设空腔任一点 P相对 O的位矢为 r，相对 O点位矢为 r(如题 8-13(b)图)则 03EP， rO, 0003)(3dEPOP 腔内场强是均匀的8-14 一电偶极子由 q=1.010-6C的两个异号点电荷组成，两电荷距离 d=0.2cm，把这电偶
11、极子放在 1.0105NC-1的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩解: 电偶极子 p在外场 E中受力矩pM qlMmax代入数字 4536 10.20.1210. mN8-15 两点电荷 =1.510-8C， q=3.010-8C，相距 r=42cm，要把它们之间的距离变为 2r=25cm，需作多少功?解: 221 021014drrFA)(2r65.J外力需作的功 65. J题 8-16 图8-16 如题 8-16 图所示，在 A， B两点处放有电量分别为 +q,- 的点电荷， AB间距离为 2R，现将另一正试验点电荷 0q从 O点经过半圆弧移到 C点，求移动过程中电场力作的功解:
12、 如题 8-16 图示041OU)(Rq306 qqAoCO00)(8-17 如题 8-17 图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为 的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于 R试求环中心 点处的场强和电势解: (1)由于电荷均匀分布与对称性， B和 D段电荷在 O点产生的场强互相抵消，取dl则 q产生 点 Ed如图，由于对称性， 点场强沿 y轴负方向题 8-17 图 cos4dd220REyR04)sin(i2(2) AB电荷在 O点产生电势，以 UAB0001 2ln4d4Rxx同理 CD产生 2ln2半圆环产生 0034RU 0321 42lnO8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线
13、以 2104ms-1的匀速率作圆周运动求带电直线上的线电荷密度(电子质量 0m=9.110-31kg，电子电量 e=1.6010-19C)解: 设均匀带电直线电荷密度为 ，在电子轨道处场强rE02电子受力大小 eFe rvm20得 132005.emv1mC8-19 空气可以承受的场强的最大值为 E=30kVcm-1，超过这个数值时空气要发生火花放电今有一高压平行板电容器，极板间距离为 d=0.5cm，求此电容器可承受的最高电压解: 平行板电容器内部近似为均匀电场 4105.dUV8-20 根据场强 E与电势 的关系 E，求下列电场的场强：(1)点电荷 q的电场；(2)总电量为 q，半径为 R
14、的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子 lp的 lr处(见题8-20 图)解: (1)点电荷 r04题 8-20 图 20qrUE为 方向单位矢量(2)总电量 ，半径为 R的均匀带电圆环轴上一点电势 204x iqixE/3(3)偶极子 lqp在 lr处的一点电势 200 4cos)cs21()cos2(4 rqllU 30rpUEr4sin8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题 8-21 图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同证: 如题 8-21 图所示，设两导体 A、 B的四个平面均匀带电的电
15、荷面密度依次为 1，2， 3， 4题 8-21 图(1)则取与平面垂直且底面分别在 A、 B内部的闭合柱面为高斯面时，有0)(d32SSEs 203 说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；(2)在 A内部任取一点 P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即 022403201又 14说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同8-22 三个平行金属板 A， B和 C的面积都是 200cm2， A和 B相距 4.0mm， A与 C相距2.0 mm B， 都接地，如题 8-22 图所示如果使 板带正电 3.010-7C，略去边缘效应，问 板和 板上的感应电荷各是多
16、少?以地的电势为零，则 板的电势是多少?解: 如题 8-22 图示，令 板左侧面电荷面密度为 1，右侧面电荷面密度为 2题 8-22 图(1) ABCU，即 Ed 221ACB且 1+ 2Sq得 ,32AA3而 7110CqqC2SB(2) 301.dACACEUV8-23 两个半径分别为 1R和 2（ 2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电 +q，试计算：(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量解: (1)内球带电 q；球壳内表面带电则为 q,外表面带电为
17、q，且均匀分布，其电势题 8-23 图22004dRRRqrrEU(2)外壳接地时，外表面电荷 q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为 q所以球壳电势由内球 q与内表面 产生： 42020(3)设此时内球壳带电量为 q；则外壳内表面带电量为 q，外壳外表面带电量为 qq(电荷守恒 )，此时内球壳电势为零，且 044 22010 RqRUA得 外球壳上电势 201202020 44 RqqRqB 8-24 半径为 R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为 Rd3处有一点电荷+ q，试求：金属球上的感应电荷的电量解: 如题 8-24 图所示，设金属球感应电荷为 q，则球接地时电势 OU
18、8-24 图由电势叠加原理有： OU0340Rq得 8-25 有三个大小相同的金属小球，小球 1，2 带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为 0F试求：(1)用带绝缘柄的不带电小球 3 先后分别接触 1，2 后移去，小球 1，2 之间的库仑力；(2)小球 3 依次交替接触小球 1，2 很多次后移去，小球 1，2 之间的库仑力解: 由题意知 2004rqF(1)小球 接触小球 后，小球 3和小球 均带电2q,小球 3再与小球 2接触后，小球 与小球 3均带电4 此时小球 1与小球 间相互作用力 002201 83“ FrqF(2)小球 3依次交替接触小球 、 很多次后，每个小球带电量均为 3
19、2q. 小球 1、 2间的作用力0029432FrqF*8-26 如题 8-26 图所示，一平行板电容器两极板面积都是 S，相距为 d，分别维持电势AU= ， B=0 不变现把一块带有电量 的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积也是 S，片的厚度略去不计求导体薄片的电势解: 依次设 ,C, 从上到下的 6个表面的面电荷密度分别为 1， 2， 3， 4, 5,6如图所示由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持 UAB可得以下 6个方程题 8-26 图6543215406543 0211dUSqdCSqBA解得 Sq6dU2032Sq54所以 CB间电场 E002)2d(1d02SqUEUCB注意：
20、因为 C片带电，所以，若 片不带电，显然 C8-27 在半径为 1R的金属球之外包有一层外半径为 2R的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为 r，金属球带电 Q试求：(1)电介质内、外的场强；(2)电介质层内、外的电势；(3)金属球的电势解: 利用有介质时的高斯定理 qSDd(1)介质内 )(21Rr场强 3034,rQEr内;介质外 )(2r场强 303,rrD外(2)介质外 )(2Rr电势 rQEU0r4d外介质内 )(21r电势 20204)1(4RrqQr(3)金属球的电势 rd221 RREU外内 22 0044r)1(21Qrr8-28 如题 8-28 图所示，在平行板电容器的一半容
21、积内充入相对介电常数为 r的电介质试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值解: 如题 8-28 图所示，充满电介质部分场强为 2E，真空部分场强为 1E，自由电荷面密度分别为 2与 1由 0dqSD得 1D， 2而 01, 0rrdrEU外内d21UE rD1题 8-28 图 题 8-29 图8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为 l，半径分别为 1R和 2( 1)，且 l 2R- 1，两柱面之间充有介电常数 的均匀电介质 .当两圆柱面分别带等量异号电荷 Q和- 时，求：(1)在半径 r处( 1R 2，厚度为 dr，长为 l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能
22、量；(2)电介质中的总电场能量；(3)圆柱形电容器的电容解: 取半径为 r的同轴圆柱面 )(S则 rlD2d)(当 )(21R时， Qq rl(1)电场能量密度 228w薄壳中 rllrlW4dd2(2)电介质中总电场能量 21 12lnRVRQl(3)电容： C )/ln(21W*8-30 金属球壳 A和 B的中心相距为 r， A和 B原来都不带电现在 A的中心放一点电荷 1q，在 的中心放一点电荷 2q，如题 8-30 图所示试求：(1) 对 2作用的库仑力， 有无加速度；(2)去掉金属壳 ，求 1作用在 2上的库仑力，此时 2q有无加速度解: (1) 1作用在 2的库仑力仍满足库仑定律，
23、即 2104rqF但 2q处于金属球壳中心，它受合力为零，没有加速度(2)去掉金属壳 B， 1q作用在 2上的库仑力仍是 2104rqF，但此时 2受合力不为零，有加速度题 8-30 图 题 8-31 图8-31 如题 8-31 图所示， 1C=0.25F， 2=0.15 F， 3C=0.20F 1上电压为50V求： ABU解: 电容 1上电量 1UQ电容 2C与 3并联 323其上电荷 1Q 3502123C86)(1UABV8-32 1C和 2两电容器分别标明“ 200 pF、500 V”和“300 pF、900 V” ，把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上 1000 V的电压，是
24、否会击穿?解: (1) 与 串联后电容 1203201CpF(2)串联后电压比 12U，而 21U 60V, 402即电容 1C电压超过耐压值会击穿，然后 C也击穿8-33 将两个电容器 1和 2充电到相等的电压 以后切断电源，再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联试求：(1)每个电容器的最终电荷；(2)电场能量的损失解: 如题 8-33 图所示，设联接后两电容器带电分别为 1q, 2题 8-33 图则 211212021UCqUCq解得 (1) 1 Cq21221 )(,)(2)电场能量损失 W0 )2()2(11 qU21C8-34 半径为 1R=2.0cm 的导体球，外套有一同心
25、的导体球壳，壳的内、外半径分别为2=4.0cm 和 3=5.0cm，当内球带电荷 Q=3.010-8C时，求：(1)整个电场储存的能量；(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量；(3)此电容器的电容值解: 如图，内球带电 ，外球壳内表面带电 ，外表面带电 Q题 8-34 图(1)在 1Rr和 32r区域 0E在 21r时 314rQ3R时 02在 21r区域 21 d4)(20RrrW21 )1(8d2RRQ在 3Rr区域 32 3002 4)(Rrr 总能量 )183211 RW41082.J(2)导体壳接地时，只有 2Rr时 30rQE, 2W 41021 1.)(8QWJ(3)电容器电容 )/(42102C29.F
