1、1铺路问题的最优化模型摘 要本文采用了两种方法，一种是非线性规划从而得出最优解，另一种是将连续问题离散化利用计算机穷举取最优的方法。根据 A 地与 B 地之间的不同地质有不同造价的特点，建立了非线性规划模型和穷举取最优解的模型，解决了管线铺设路线花费最小的难题。问题一：在本问题中，我们首先利用非线性规划模型求解，我们用迭代法求出极小值（用 Matlab 实现） ，计算结果为总费用最小为 748.6244 万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为 15.6786km，3.1827 km，2.1839 km，5.8887km，13.0661km。然后，我们又用穷举法另外建立了一个模型，采用
2、 C 语言实现，所得最优解为最小花费为 748.625602 万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为 15.70km,3.20km,2.20km,5.90km,13.00km。问题二：本问题加进了一个非线性的约束条件来使转弯处的角度至少为 160 度，模型二也是如此。非线性规划模型所得计算结果为最小花费为 750.6084 万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为14.4566km,4.3591km,2.5984km,6.5387km,12.0472km。遍历模型所得最优解为最小花费为 750.821154 万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为14.10km,4.
3、30km, 2.70km,6.70km,12.20km。问题三：因为管线一定要经过一确定点 P，我们将整个区域依据 P 点位置分成两部分，即以 A 点正东 30km 处为界，将沙土层分成两部分。非线性规划模型最小花费为 752.6432 万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为21.2613km,3.3459km,2.2639km,3.1288km,2.4102km,7.5898km。遍历模型最小花费为752.649007 万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为21.30km,3.30km,2.30km,3.10km,2.40km,7.60km。关键词：非线性规划 逐点遍历
4、穷举法2一问题重述准备在 A 地与 B 地之间修建一条地下管线，B 地位于 A 地正南面 26km 和正东 40km交汇处，它们之间有东西走向岩石带。地下管线的造价与地质特点有关，下图给出了整个地区的大致地质情况，显示可分为三条沿东西方向的地质带，其宽度分别为：沙土地质带宽 C1，C5；沙石地质带宽 C2；沙石土地质带宽：C4；岩石地质带宽 C3。在给定三种地质条件上每千米的修建费用的情况如下：地质条件 沙土 沙石土 沙石 岩石费用(万元/千米) 12 16 18 28试解决以下几个问题：(1) 图中直线 AB 显然是路径最短的，但不一定最便宜；而路径 ARSB 过岩石和沙石的路径最短，但是否
5、是最好的路径呢？试建立一个数学模型，确定最便宜的管线铺设路线。 （若 C1=6，C2=4，C3=5，C4=6，C5=5，确定最便宜的管线铺设路线。 ）(2) 铺设管线时，如果要求管线转弯时，角度至少为 ，确定最便宜的管线铺设路016线。(3) 铺设管线时，如果要求管线必须通过位于沙石地质带或岩石地质带中的某一已知点 P（位于 A 地正南面 18km 和正东 30km 交汇处）时，确定最便宜的铺设路线。二.模型假设1、修建费用仅与管线长度和不同地质的造价有关，不含其他费用；2、在无特殊要求情况下，管线可以向任意方向延伸；3、不考虑管线宽度；4、所有管线都铺设在同一水平面上；3三.符号说明为修建总
6、费用xf为管线与沙土层 中东西方向上的投影长度1 1c为管线与沙石层 中东西方向上的投影长度2x2为管线与岩石层 中东西方向上的投影长度3 3c为管线与沙石土层 中东西方向上的投影长度（在问题三中指在过 P 点的东西方4x4向的直线上的 P 点以西的投影长度）为管线与沙土层 中东西方向上的投影长度（在问题三中指在过 P 点的东西方向5 5c的直线上的 P 点以东的投影长度）为管线与沙土层 中东西方向上的投影长度6x5为沙土层 每千米的修建费用1p1c为沙石层 每千米的修建费用22为岩石层 每千米的修建费用33c为沙石土层 每千米的修建费用4p4为沙土层 每千米的修建费用(在问题三中指在沙石土层
7、每千米的修建费用)55c为问题三中沙土层 每千米的修建费用6 6在问题一、二中指沙石土层的宽度，在问题三中指沙石土层 P 点以上的半层的4c宽度在问题一、二中指沙石土层的宽度，在问题三中指沙石土层 P 点以下的半层的5宽度问题三中最下面的沙土层的宽度6c四.问题分析41 问题一:4本问题主要围绕由 A 点到 B 点铺设管线展开，要求花费最少。根据不同地质条件的花费，确定在某一土层中铺设管线的长度。我们采用了两种方法求得最少的花费，分别为非线性规划模型和逐点遍历模型。411 方案一我们首先利用非线性规划求解，可以得出一个关于工程总造价的目标函数 f(x)，而且可知 f(x)在整个区域连续且可微，
8、f(x)符合在某一点有局部极小点的条件。因此我们用迭代法求出极小值（用 Matlab 实现） ，我们分别选用了几组不同的初始值来保证所得到的极小值也是整个区域上的最小值。412 方案二我们又用穷举法另外建立了一个模型，用来确保模型一的结果是最小值，采用 C语言实现，我们先在每两种不同地质间的交界线上每隔 0.1km 确定一个点，然后每条交界线都任取一点，连线，得出一条路径。之后将每一条可能的路径都遍历一遍，将最小值和对应的点保存，得出结果。42 问题二本问题与问题一相比，增加了约束条件“要求管线转弯时，角度至少为 ”，我016们在问题一所建立的两种模型的基础上均增加相应约束条件，通过求出管线转
9、弯处的管线角度的正切值，并利用反正切函数得出管线角度，从而对管线的铺设方向加以限制，得出最少花费的管线铺设线路。43 问题三本问题要求铺设管线一定要经过一确定点 P，因此可以将此问题分为两步，即从 A到 P 的路径为第一步，从 P 到 B 的路径为第二步。因为从 A 到 P 的路径选择及其花费与从 P 到 B 的路径选择及其花费无关，所以求出第一步从 A 到 P 的最优解，以及第二步求从 P 到 B 的最优解，这两的最优解之和便为整个管线铺设的最优解。五.模型建立与求解51 问题一511 方案一.根据题意，在第 个土层中的管线长度为i 2iiicxd所以，在该层中的修建花费为 iiipS则总花
10、费为5512)(i iicxpxf因此得到目标函数512)(:mini iicxxf然后所要修建的地区为 A 地正南面 26km 和正东 40km 所表示的区域，在每个土层中管线在东西方向的投影长度应大于 0km 小于 40km，且所有土层中管线在东西方向上的投影长度之和小于 40km，因此可确定约束条件： 40ix51i运用 MATLAB 软件编程，得到计算结果为总费用最小为 748.6244 万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为 15.6786km，3.1827 km，2.1839 km，5.8887km，13.0661km。512 方案二先在每两种不同土层的交界线上每隔 0.
11、1km 确定一个点，然后在每条交界线上都任取一点，并连线，得出一条可能路径。再将每一条可能的路径按公式 512)(i iicxpxf逐一计算花费，找到花费的最小值和其对应的点，确定最优路径。在此方案中，采用 C 语言编程进行遍历，所得最优解为最小花费为 748.625602 万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为 15.70km,3.20km,2.20km,5.90km,13.00km。52 问题二本题也为确定最便宜的管线铺设路线，所以与问题一有相同的目标函数 512)(:mini iicxpxf及约束条件：;40i;51ix根据本题中所要求的管线转弯角度大于 ，利用管线在各土层中在
12、东西方向上066的投影长度与相应土层宽度得出管线转弯所形成的角的正切值，即 ，再利用反正切icx函数算出具体角度。由此得到新的约束条件：;0arctnarctn218071iixx 4,321i;8rtrt1ii ,i在问题一建立的模型的基础上，依据本题中新增非线性约束条件，建立新的模型，利用 MATLAB 编程，所得计算结果为最小花费为 750.6084 万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为14.4566km,4.3591km,2.5984km,6.5387km,12.0472km。利用相同的约束条件，利用 C 语言编程遍历，所得最优解为最小花费为750.821154 万元，管线
13、在各土层中在东西方向上的投影长度分别为 14.10km,4.30km, 2.70km,6.70km,12.20km。53 问题三根据本题中管线必须通过已知点 P（位于 A 地正南面 18km 和正东 30km 交汇处）的约束条件，我们将整个区域依据 P 点位置分成两部分，即以 A 点正东 30km 处为界，将沙土层分成两部分，使整个修建区域变成 6 个土层。在问题一所建立的模型上加以改进，使目标函数变为： 12)(:mini iicxpxf并将约束条件改为：;30i 4,3i1ix65;3041i;65ix利用非线性规划模型，MATLAB 编程，所得最优解为:最小花费为 752.6432 万元
14、，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为 21.2613km,3.3459km,2.2639km,3.1288km,2.4102km,7.5898km利用遍历模型，C 语言编程，所得最优解为：最小花费为 752.649007 万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为 21.30km,3.30km,2.30km,3.10km,2.40km,7.60km。7六.模型的评价与改进对于模型一，存在的缺点是用 Matlab 中的 fmincon 函数所求最优解可能只是局部最优解，必须代入几组不同的初始迭代值，来确定所求解为全局最优解，但仍有可能遗漏。对于模型二，缺点是精度不够小，当精度取到
15、0.1 时，计算机要用几分钟才能得出结果，精度更小时所需时间更长，而且在问题二中，模型二因为精度太低而跳过了最优路径，所以与模型一所得结果有一定差距。但模型二的结果可用于检验模型一所得结果是否为最优解。 七.参考文献1 曹卫华 郭正，最优化设计方法及 MATLAB 的实现，北京：化学工业出版社，2005.2 孙辉 吴润秀，C 语言程序设计，北京：中国铁道出版社，2007.3 李尚志，数学建模竞赛教程，南京：江苏教育出版社，1996.4 何文章，大学数学实验，哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2000.5 边馥萍，数学模型方法与算法，北京：高等教育出版社，2005.6 姜启源，数学模型，北京：高等教
16、育出版社，1993.附 件附件一：问题一的 Matlab 语言源代码：先建立目标函数的 M 文件：function f=fun(x);f=12*sqrt(x(1)2+36)+18*sqrt(x(2)2+16)+28*sqrt(x(3)2+25)+16*sqrt(x(4)2+36)+12*sqrt(x(5)2+25)主程序：x0=0;0;0;0;0;A=1 0 0 0 0;0 1 0 0 0;0 0 1 0 0;0 0 0 1 0;0 0 0 0 1;b=40 40 40 40 40;Aeq=1 1 1 1 1;beq=40;x,z=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)运算结果
17、：x =15.67863.18272.183985.888713.0661z =748.6244附件二：问题一的 C 语言源代码：#include#include#define JD 0.1 /取精度为 0.1main()double x6=0,0,0,0,0,40,s=0,min=100000,best5; /s 用来临时保存每一条路径的价格，x 用来临时保存每一条路径int i,j,k,l,n,c5=6,4,5,6,5,p5=12,18,28,16,12,D; /min 用来记录最小价格，best 用来记录最佳路径D=40/JD; /D 为每一条交界线上可分的段数for (i=0;i#in
18、clude#define JD 0.1 /取精度为 0.1int tj(double a,double b,double c1,double d,double e) /满足转弯处至少为 160 度的条件int n,f,c5=6,4,5,6,5;double x6=0,a,b,c1,d,e;for(n=1;n=1.221731 13/s 用来临时保存每一条路径的价格，x 用来临时保存每一条路径int i,j,k,n,c6=6,4,5,3,3,5,p6=12,18,28,16,16,12,D; /min 用来记录最小价格，best 用来记录最佳路径D=30/JD; /D 为每一条交界线上可分的段数
19、for (i=0;iD;i+) /用四个循环对 A、P 间每一条可能的路径进行遍历 for(j=i;jD;j+)for(k=j;kD;k+)for(n=1;n5;n+)s+=sqrt(xn-xn-1)*(xn-xn-1)+cn-1*cn-1)*pn-1;if(smin1) /如果 s 比上一次最小的价格更小， /则将其存在 min 中，同时路径保存min1=s; /在 best 中。for(n=0;n5;n+)bestn=xn;s=0;x3+=JD;x2+=JD;x3=x2;x1+=JD;x2=x1;printf(“从 A 到 P 最少花费为%fn“,min1);for(i=0;i4;i+)p
20、rintf(“在第%d 条交界线上的位置为%fn“,i,besti);/第二部分best4=30;s=0;for(i=0;iD;i+)/对 P、B 间每一条可能的路径进行遍历 14for(n=5;n7;n+)s+=sqrt(xn-xn-1)*(xn-xn-1)+cn-1*cn-1)*pn-1;if(smin2) /如果 s 比上一次最小的价格更小， /则将其存在 min 中，同时路径保存min2=s; /在 best 中。best5=x5;s=0;x5+=JD;printf(“从 P 到 B 最少花费为%fn“,min2);for(i=4;i6;i+)printf(“在第%d 条交界线上的位置为%fn“,i,besti);min=min1+min2;printf(“总最少花费为%fn“,min);运算结果：从 A 到 P 最少花费为 582.011987在第 0 条交界线上的位置为 0.000000在第 1 条交界线上的位置为 21.300000在第 2 条交界线上的位置为 24.600000在第 3 条交界线上的位置为 26.900000从 P 到 B 最少花费为 170.637021在第 4 条交界线上的位置为 30.000000在第 5 条交界线上的位置为 32.400000总最少花费为 752.649007
