1、函数与导数的交汇题型分析及解题策略一 2011 年高考数学题型突破精讲专题六【命题特点】函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值 26 分左右，函数的解答题在文、理两卷中往往分别命制，这不仅是由教学内容要求的差异所决定的，也与文理科考生的思维水平差异有关。文科卷中函数和导数的解答题，其解析式只能选用多项式函数；而理科卷则可在指数函数、对数函数以及三角函数中选取。高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点：（1）考查利
2、用导数研究函数的性质（单调性、极值与最值）；（2）考查原函数与导函数之间的关系；（3）考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点：以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值；与导数的几何意义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值，属于中档题；利用导数求实际应用问题中最值，为中档偏难题.复习建议：复习时，考生要“回归”课本，浓缩所学的知识，夯实基础，熟练掌握解题的通性、通法，提高解题速度。同时，许多高考试题在教材中都有原型，即由教材中的例题、习题引申变化而来。因此，考生必须利用好课本，夯实基础知识
3、。【知识基础与疑难】：11.导函数原函数可积可导连续存在原函数相互之间的关系11.可导与导函数可导是对定义域内的点而言的；处处可导则存在导函数，此外还函数可以在某处可导；只要一个函数在定义域内某一点不可导，那么就不存在导函数，即使该函数在其他各处均可导。可积与原函数对于不定积分：同济五版(上)给出的定义是：在区间 I 上，函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或 f(x)dx 在区间 I 上的不定积分. 所以可积与存在原函数是等价的。对于定积分：同济五版对定积分可积有给出两个充分条件定理1设 f(x)在区间a,b上连续，则 f(x)在a,b上可积。(因为连续函数的原函数必存在！
4、反之不成立。）定理2设 f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则 f(x)在a,b上可积。函数在某个区间存在原函数，那么根据牛顿莱布尼兹公式，函数在这个区间存在定积分；函数在某个区间a,b存在定积分，则不能确定函数在这个区间上存在圆函数。可导与连续函数在某处可导那么一定在该处连续；函数在某处连续不一定在该处可导。连续与可积如果函数在某区域连续，那么函数在该区域可积；反之，如果函数在某个区域可积，不能保证函数在该区域连续。比如存在第一类间断点的函数不连续，但可积。2原函数和导函数之间的关系。f(x)是 F(x)的导函数以下有的关系小弟已经确定，但还有不确定的，不会证1.f(x)是奇函数
5、，则 F(x)是偶函数2.f(x)是偶函数，F(x)不一定是奇函数3.f(x)是单调函数，F(x)不一定是单调函数4.f(x)是周期函数，F(x)不一定是周期函数5.f(x)是有界函数，F(x)_不一定是有界函数。.6.F(x)是奇函数，f(x)_是偶函数。.7.F(x)是偶函数，f(x)_是奇函数。.8.F(x)是单调函数，f(x)_不一定是单调函数。.9.F(x)是周期函数，f(x)_是周期函数。.10.F(x)是有界函数，f(x)_是有界函数。3基 本 函 数 的 导 函 数C=0(C 为常 数 )(xn)=nx(n-1) (nQ)(sinx)=cosx(cosx)=-sinx(ex)=
6、ex(ax)=(ax)*lnalog(a,x) = 1/(x*lna)lnx= 1/x 和 差 积 商 函 数 的 导 函 数f(x) + g(x) = f(x) + g(x)f(x) - g(x) = f(x) - g(x)f(x)g(x) = f(x)g(x) + f(x)g(x)f(x)/g(x) = f(x)g(x) - f(x)g(x) / g(x)2 复 合 函 数 的 导 函 数设 y=u(t) ，t=v(x)，则 y(x) = u(t)v(x) = uv(x) v(x)例 ：y = t 2 ， t = sinx ，则 y(x) = 2t cosx = 2sinxcosx = s
7、in2x一般定义设函数在点的某个邻 域 内有定义，当自变量在处取得增 量 （点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量 ；如果 与 之比当 时的极限存在，则称函数在点处可 导 ，并称这个极限为函数在点处的导 数 ，记为. 设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是？ A.lim(x 趋近于0) f(a+2h)-f(a+h)/h 存在 B.lim(x 趋近于0) f(a+h)-f(a-h)/2h 存在 C.lim(x趋近于0) f(a)-f(a-h)/h 存在 答案是 C ，AB 为啥不对 A.lim(x 趋近于0) f(a+2h)-f(a+h)/
8、h=f(a) 是充要条件B.lim(x 趋近于 0) f(a+h)-f(a-h)/2h=3f(a)/2函 数 可 导 的 条 件如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在 R 上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函 数 在 定 义 域 中 一 点 可 导 需 要 一 定 的 条 件 是 ：函 数 在 该 点 的 左 右 两 侧 导 数 都 存 在 且 相 等 。 这实际上是按照极限存在的一个充 要 条 件（极 限 存在，它的左右极限存在且相等）推导而来【试题常见设计形式】函数和导数的内容在高考试卷中所占的比重较大，考查时有一定的综合性，并与数学思想方法紧密结合，对数学
9、思想方法进行深入的考查，这种综合地统揽各种知识、方法和能力，在函数的考查中得到了充分的体现，函数与导数解答题在文、理两卷中往往分别命制，这既是由教学内容要求的差异所决定的，也与文、理科考生的思维水平差异有关，文科卷中的解答题，其解析式一般选用多项式函 数；理科卷则常在指数函数、对数函数以及三角函数中选取。高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.1利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；2 考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解.【突破方法技巧】1讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中
10、的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.2运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短.3对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对二次项含参数的二次函数问题，应分 a0 和 a0 两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数 a 时，需按 a1 和 0 a1 分两种情况讨论.4解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用.5在理解极值概念时要注意以下几点：极值点是区间内部的点，不会是端点；若在（ a， b）内有极值，那么 在（ a， b）绝不是单调函数；极大值与极小值没()fx()fx有必然的大小关系；一般的情况，当函数 在 a， b上连续且有有限个极值
11、点时，()f函数 在 a， b内的极大值点和极小值点是交替出现的；导数为 0 的点是该点为()fx极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.6求函数的最值可分为以下几步：求出可疑点，即 0 的解 x0；用极值的/()f方法确定极值；将（ a， b）内的极值与 ， 比较，其中最大的为最大值，最小()fafb的为最小值；当 在（ a， b）内只有一个可疑点时，若在这一点处 有极大（小）()fx ()fx值，则可以确定 在该点处了取到最大（小）值.7利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面： 0 是 递增()fx()f的充分条件而非必要条件（ 0
12、亦是如此）；求单调区间时，首先要确定定义域；()fx然后再根据 0（或 0）解出在定义域内相应的 x 的范围；在证明不等式时，()fx()fx首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.8函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化；(3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.【典型例题分析】考点一、利用导数求解函数的单调性问题若 f(x)在某区间上可导，则由 f(x)0(f(x) 0)可推出 f
13、(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数 f(x)x 3 在 R 上递增，而 f(x)0.f(x)在区间 D 内单调递增(减)的充要条件是 f(x0)0(0)，且 f(x)在(a，b) 的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1) 根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.【例 1】2010 课标全国、设函数 。（）若 ，求 的单2()1xfea0a()fx调区间；（II）若当 时 ，求 的取值范围0x于是当 时， . 由 可得 .从而当0x()0fx1(0)
14、xe1(0)xe时，12a，故当 时， ，而()(1)()2xxxxfeaea(,ln2)xa()fx，0于是当 时， . 综合得 的取值范围为 .(,ln2)x()0fx1(,2【例 2】2010 北京、已知函数 ( )=In(1+ )- + ( 0)。()当 =2 时，求曲线x2kk= ( )在点(1， (1)处的切线方程；()求 ( )的单调区间。yfxf f当 时， ，得 ， .来源:学|科|网1k(1)0xkf1(,0)kx2x所以没在区间 和 上， ；在区间 上，,()f1k()0fx故 得单调递增区间是 和 ，单调递减区间是()fx(1k,(,【例 3】2010 天津、已知函数
15、=xe-x（x R）.()求函数 的单调区间和极值；)f)fx()已知函数 y= 的图象与函数 y= 的图象关于直线 x=1 对称，证明当 x1 时，()gx(f ()如果 且 证明()fx12,12),x12x【解析】（）解： 令 =0,解得 x=1()fe(f则 = ，所以 ,从而 .因为 ，所以)2g(x)2f-)2f(x)2-)1f(x)2-21x，1又由（）可知函数 在区间（-，1）内事增函数，所以 ,即 2.()fx 1x212x【例 4】2010 山东已知函数 .()当 时，讨论1lnax(Ra的单调性；（）设 当 时，若对任意 ，存在()fx2()4.gb1(0,)x，使 ，求
16、实数 取值范围.21,12()fx【解析】()原函数的定义域为（0，+ ，因为 = ，所） 2()-xaf2+a-x以当 时，a（）当 时， 在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意4af(x)，1(0,2)x有 ，又已知存在 ，使 ，所以 ，f=-2,x12()fxg21()gx，2,x即存在 ，使 ，即 ，即1,21()42gxb29bx92bx，7,24所以 ，解得 ，即实数 取值范围是 。b4b,)4考点二、求函数的极值问题极值点的导数一定为 0，但导数为 0 的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为 0 的点或不可导的点产生.利用
17、导数求函数的极值主要题型：(1)根据函数解析式求极值；(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解.【例 5】2010 江西文 17（本小题满分 12 分）设函数 .32()6()fxax（1）若 的两个极值点为 ，且 ，求实数 的值；（2）是否存在实数 ，()fx12,x12 a使得 是 上的单调函数？若存在 ,求出 的值；若不存在，说明理由.,a【解析】： 2()86()fax（1）由已知有 ，从而 ，所以 ；10xf1289（2）由 ，所以不存在实数 ，使得 是23()43(4)0a()fx上的单调函数.R安徽文设函数 ，求函数 的单调区间与极值.sin
18、co ,fxxx()fx【例 6】2010 全国 I 文已知函数 （I）当 时，求42()3(1)4fxax16a的极值;（II）若 在 上是增函数，求 的取值范围()fxf1,解：（） 24fxx当 时， ， 在 内单调减，在 内单调16a() ()f,2)2（ ， ）增，在 时， 有极小值 .所以 是 的极小值.2xfx1(fx【例 7】2010 北京文设定函数 ，且方程32()(0)afxbxcda的两个根分别为 1，4。（）当 a=3 且曲线 过原点时，求()90fx yfx的解析式；（）若 在 无极值点，求 a 的取值范围。()fx,)解：由 得32()afxbcd2(faxbc因为
19、 的两个根分别为 1,4，所以990x（*）2016836abc（）当 时，又由（*）式得26081bc解得 又因为曲线 过原点，所以 故3,12bc()yfxd32()1fxx（）由于 a0,所以“ 在（-，+）内无极值点”等价于“32()afbc在（-，+）内恒成立”。由（*）式得 。2()0fxaxc 295,4bac又 解 得 即 的取值 范249(1)ba09(1)0a1,围 1,9考点三、求解函数的最值问题函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果，因此函数在闭区间a，b上的端点函数值一定不是极值，但它可能是函数的最值.同时，函数的极值不一定是函数的最值，最值也不一
20、定是极值.另外求解函数的最值问题，还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题型：(1)根据函数的解析式 求函数的最大值；(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题.【例 8】2010 福建文已知函数 f（x）= 的图像在点 P（0,f(0)）处的切线321xab方程为 y=3x-2()求实数 a,b 的值；()设 g（x）=f(x)+ 是 上的增函数。（i）1m2,求实数 m 的最大值； (ii)当 m 取最大值时，是否存在点 Q，使得过点 Q 的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理
21、由。解法一：（）由 及题设得 即 。2()fxa(0)32fab（）（）由 得 。321()1mgx 2()(1)mgxx中心对称。这也就表明，存在点 ，使得过点 的直线若能与函数 的图像围成1(,)3Q()gx两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。解法二：（）同解法一。（）（）由 得 。321()1mgxx22()3(1)mgxx是 上的增函数， 在 上恒成立，即()x2,()g0,在 上恒成立。设 。2230(1)m,2(1)xt，即不等式 在 上恒成立。所以,xt20mt,在 上恒成立。令 ， ，可得 ，故 ，2t)y1)tmin3y即 的最大值为 3.m（）由（）得 ，将函数 的
22、图像向左平移 1 个长3213()gxx()gx度单位，再向下平移 个长度单位，所得图像相应的函数解析式为 ，32x。由于 ，所以 为奇函数，故 的图像关于坐(,0)(,)x()(x()x()标原点成中心对称。由此即得，函数 的图像关于点 成中心对称。这也表明，g1,3Q存在点 ，是得过点 的直线若能与函数 的图像围成两个封闭图形，则这两个1(,)3Q()x封闭图形的面积总相等。【例 9】2010 江西设函数 。（1）当 a=1 时，求ln2(0)fxa的单调区间。（2）若 在 上的最大值 为 ，求 a 的值。fx01，解：对函数求导得： ，定义域为（0，2）()f（1）当 a=1 时，令2(
23、)+1=0xfxx得 （ ）当 为增区间；当 为减函数。(0,2)0,xf(),(,f，（2）区间 上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确1，定待定量 a 的值。当 有最大值，则必不为减函数，且 0，1x， 1()2fxax为单调递增区间。最大值在右端点取到。 。max1()2f【例 10】2010 辽宁已知函数 （I）讨论函数 的单调性；ln)1(xf )(xf（II）设 .如果对任意 ， ，求 的取值1a,0,21|4)(| 2121xffa范围。故 a 的取值范围为（-，-2. 12 分22241()4(1)1xxa【例 11】2010 广东省文、已知函数 对任
24、意实数 均有 ，其中常数()fx()2)fkfx为负数，且 在区间 上有表达式 （1）求 ， 的k()fx0,22f(1.5)f值；（2）写出 在 上的表达式，并讨论函数 在 上的单调性；（3）3()fx,求出 在 上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值()fx,解：（1） ()(.(0.5)(2.),fkffkf13(.5)(0.)(.52)0.4ffkk（2）解法一： 对任意实数 ，,()xffx解法二：当(0,2(,4()2),xfxkf时 1()()2)fxfxk令 2,(4tttt即 21(,3)()4=68)xfxxxkk当 0,0()(2.ff时令 2,)2,)()xtxt
25、ttkt即 当)(fk2,04,)()().xfxkfx时令 22,4tttt即 23,)()(4(68)xfxkxkx故 在 与 上为增22(68),32;0(),;168),23.kxxfxxk ,()kfx3,1,函数，在 上为减函数,（3）由函数 在 上的单调性可知， 在 或 处取得最小值()fx3,()fx31x或 ，而在 或 处取得最大值2()fk11x或 故有 时， 在 处取得最小值1()fk()fx，在 处取得 最大值 时， 在 与2(3)fkxfk1()fx3处取得最小值 在 与 处取得最大x(3)1,ff1x3值 时， 在 处取得最小值 ，在(1)ff0k()f ()1f处
26、取得最大值 3x()f考点四、函数与导数综合问题导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，
27、参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。【例 12】2010 全国 I 理(20)(本小题满分 12 分)已知函数 .（）()1lnfxx若 ，求 的取值范围；（）证明： .来源:Zxxk.Com2()1xfax 0【例 13】2010 陕西、已知函数 f（x）= ，g（x）=alnx，a R。()若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求 a 的值及该切线的方程；( )设 函数 h(x)=f(x)-g(x),当 h(x)存在最小之时，求其最小
28、值 （a）的解析式；对()中的 ，证明：当(aa （0，+ ）时， 1.()a解（1）f(x)= ,g (x)= (x0),由已知得 ，解 德 a= ,x=e2, 两条曲线12xln12xae交点的坐标为（e 2,e）切线的斜率为 k=f(e2)= , 切线的方程为 y-e= (x-e2).e1e（1） 当 a.0 时，令 h (x)=0,解得 x= ,所以当 0 时，h (x)0，h(x)在（0， ）上递增。24a 2所以 x 是 h(x)在（0，+）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是 h(x)的 最小值点。所以 =h( )=2a-aln =2()a242a（2）当 a0 时 ，h(x)
29、 =(1/2-2a)/2x0,h(x)在（0，+）递增，无最 小值。故 h(x)的最小值的解析式为 2a(1-ln2a)(ao)()（3）由（2）知 =2a(1-ln2a)则 =-2ln2a，令 =0 解得 a=1/2()a()a()a当 00，所以 在(0,1/2)上递增当 a1/2 时， 05a10,(),820,.f即解不等式组得-52，则 .当 x 变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：102X，01a， 1a1a2，f(x) + 0 - 0 +f(x) A极大值 A极小值 A当 时，f（x）0 等价于 即 ，解不等式组得1x2，1f(-)20,a2581-0.a,或 .因此 2
30、0，使得a)(h)(x)(xh，则称函数 具有性质 .(1)设函数2axf faP，其中 为实数.(i)求证：函数 具有性质 ；(ii)求函数ln1bbf)(b的单调区间.(2)已知函数 具有性质 ，给定 , ,设)(f )(xg)2(12,0x12x为实数, ， ，且 ，若|m21(mx1m| |，不合题意。故 ，则有)(21x12xx，12()m解得 ， 。当 时， ，此时有 0| |1,则 不恒成立. 2 |)|1.|()|12faxfx故 当 时所以使 恒成立的 a 的取值范围是|(|(,)x 4,514、已知函数 ,且 (1)试用含 的代数式表示 b,并求32)fxb()0fa的单调
31、区间；（2）令 ,设函数 在 处取得极值，记点()fx1ax12,()xM( , )，N( , )，P( ), ,请仔细观察曲线 在点 P12x(f()mf ()fx处的切线与线段 MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的 m ( ,x )，12线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点，试确定 t 的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点 Q(n,f(n),x nm,使得线段 PQ 与曲线 f(x)有异于 P、Q 的公共点，请直接写出 m 的取值范围（不必给出求解过程）（）依题意得 由 得2()fab(1)20fab21a从而 故 令31()1)fxxx()()xx0得 或 当 时1x2a21a当 变化时， 的变化情况如下表：)(xf，
