1、 专题六 三角函数与平面向量 2013.3【真题感悟】1. (2012山东7) 若 ， ，则 （ ）2,4873sinsinA B C D 5372.（2012新课标全国）已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是0()sin)4fx(,)2()1,24()13,24C10,D03. （2012天津）在 ABC中，内角A，B， C所对的边分别是 cba,，已知8b=5c， C=2B，则cosC=（A） 57 （B） （C） 57 （D） 244. （2012江苏）设 为锐角，若 ，则 的值为 cos6)1sin(5. (2012山东16) 如图，在平面直角坐标系 中，一 单位圆的圆心的初始
2、位置在xy，此 时圆上一点 的位置在 ，圆在 轴上沿正向滚动，当圆滚动)1,0(P)0,(到圆心位于 时， 的坐标为_ _.),2(O6. （2012北京）已知正方形ABCD的边长为1，点 E是AB边上的动点，则的值为_， 的最大值为_。CBDE DC【考点梳理】1.任意角的三角函数：（1）角的概念的推广：凡是与终边相同的角，都可以表示成k360 0+的形式，特例如下：轴上角：终边在x轴上的角集合|=k180 0，kZ；终边在y轴上的角集合 |=k1800+900，kZ；终边在坐标轴上的角的集合|=k90 0，kZ；终边相同的角： 终边与 终边相同( 的终边在 终边所在射线上) .2()Z终边
3、与 终边共线( 的终边在 终边所在直线上) .k对称的角： 终边与 终边关于 轴对称 .x2()kZ终边与 终边关于 轴对称 .y终边与 终边关于原点对称 .()k一般地： 终边与 终边关于角 的终边对称 .2()kZ半角的终边分布： 与 的终边关系由“平分各象限、 1-8区轮流”确定。2（2）弧度制：1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角角度制与弧度制可利用180 rad 进行互化：1 rad； 1rad180180（ ）在同一个式子中，采用的度量制度必 须一致，不可混用在弧度制下，扇形弧 长公式 =|R，扇形面积公式 ，其中为弧所对圆心角的弧度l 2|SlR数。（3）任
4、意角的三角函数：任意角的三角函数的定义：设P(x，y)是角终边上任一点（与原点不重合），记 ，则2|rOPxy， ， ， ， ， 。sinyrcosxrtanycotx1secosr1csin利用三角函数的定义，可以得到：（）三角函数在各象限内的符号规律：一全正、二正弦、三两切、四余弦；（）诱导公式：即 与之间函数值关系（kZ），其规律是“ 奇变偶不变，符号看象限” ；2（）同角三角函数的基本关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。其中在三角函数的同角关系中，运用平方关系时，务必重视“ 根据已知角的范 围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号” 。三角函数线：设角 的顶点在圆心O，始边与
5、x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM 垂直x轴于M，作PN垂直y 轴于点N ，则点M， N分别是点P 在x轴、y轴上的_由三角函数的定义知，点P的坐标为_，即_，其中cos _，sin _，单位圆与x轴的正半轴交于点A， 单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则tan _.三角函数线() ( ) () ()有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线三角函数线的特征：正弦线“站在 轴上(起点在 轴上)”、余弦线“躺在 轴上( 起点是原点)” 、正切线“ 站在xxx点 处(起点是 )”.务必重视“三角函数值的大小与单位 圆上相应点的坐标之间的关系，
6、 正弦 纵坐标1,0)A 、余弦 横坐 标、正切 纵坐标除以横坐标之商”；务必记住：单位圆中角终边的变化与sinco值的大小变化的关系. 为锐角 .sinta2.三角函数的图象和性质：函 y sin x ycos x ytan x数性质定义域图象值域 R对称性对称轴：_；对称中心：_对称轴：_；对称中心：_对称中心：_周期单调性单调增区间_；单调减区间_单调增区间_；单调减区间_单调增区间_奇偶性尤其注意正切函数ytan x的对称中心为 ，而不是 ，为什么？还有就是上述三角函数图象的作法：三角,0()2kZ,0()kZ函数线法、五点法(特别的正切函数用三点两 线法，五点横坐标成等差数列)和变换
7、法，并注意曲 线的凹凸方向.3. 正弦型函数yA sin(x )的图象：（1）用五点法画 y Asin(x )一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示.x0 2 32 2 0 2 32 2()yAsinx 0 A 0 A 0（2）图像变换的步骤：方法一是先平移后伸缩，方法二是先伸缩后平移，特 别注意左右及方法二中的平移量（3）当函数yAsin(x ) (A0，0，x0，)表示一个振动时，A叫做_，T 叫做_， f 叫做_，x2 1T 叫做 _，叫做_4.和、差、倍、半角公式：三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变形用。如倍角公式：cos2
8、=2cos 2-1=1-2sin2，变形后得 （降幂扩角公式）。具体如下：2cos1sin,co1cs2（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin( )_ ；cos( )_ _；tan( )_； 前面2个公式对任意的，都成立，而后面1个公式成立的条件是 k ，k ，kZ ，且 2 2 k (T 需满足)， k (T 需满足)kZ时成立，否则是不成立的当tan 、 tan 2 2或tan( )的值 不存在时，不能使用公式T 处理有关问题， 应改用诱导公式或其它方法来解（2）二倍角公式：sin 2_；cos 2 _ _；（注意三种形式的 选用）tan 2_. （3）半角公式：； ； 。（注意三
9、1cossin1cos21cossintan2i1cos种形式的选用）（4）辅助角公式： (其中 角所在的象限由 的符号确定， 角的2sincssiaxbbx,ab值由 确定)在求最值、化简时起着重要作用，尤其是两者系数绝对值之比为 的情形.tanb 13或有实数解 .sicosAxBC22ABC（5）“正余弦 三兄妹 的联系”：常和三角换元法联系在一起，令sinco sixx、 sincotx。2,i总之，三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数 (常值)的 变换，其核心是 “角的变换”：角的变换：要辩证地看待和角与差角， 为了灵活应用和、差角公式，可以对角进行适当的拆分变换，如已知角与特
10、殊角的变换、已知角与目 标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如， ， ，()()2()()2()()， 等.2三角式的变换：三角函数名互化(切割化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次) 、运算结构的转化(和式与积式的互化). 解题时本着“三看 ”的基本原则 来进行:“看角、看函数、看特征”, 基本的技巧有: 巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次。.常值变换：主要指“1”的变换，如等.22221sincosetantcotansico042xxx反三角函数：反正弦 、反余弦 、反正切 分别表示在主值区间arcsinxarcosxarctnx内正弦 值、余弦 值、
11、正切值等于 的角。,0(,)22、 、5. 三角形中的三角函数：(1) 三角形内角和定理：三角形三角和为 ；任意两角和与第三个角总互补；任意两半角和与第三个角的半角总互余；锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理： (R为三角形外接 圆的半径).2sinisinabcABC在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角 A为钝 角或直角图形关系式 absin A bsin Ab解的个数 一解 两解 一解 一解(3)余弦定理： 等，常选用余弦定理鉴定三22222 ()cos, 1bcabcaabA角形的形状.(4)
12、 三角形面积公式：SABC absin C (abc)r(r是三角形内切圆的半径) ，并可由此计算R、r，另外有12ah12 abc4R 12SABC 。().)ppbc其 中（5）三角形中常用结论： ；sinisinoscosABabcABCABC锐角三角形中， (任意一角的正弦大于另一角的余弦) ；sio,co三角形中的射影定理： 。6.平面向量：（1）向量的有关概念：零向量：长度为0的向量，方向是任意的，它与任意非零向量都共 线，记为 ；0单位向量：与 共线的 单位向量是 ，特别地， 的单位向量是 ；aaa平行( 共 线)向量(无传递 性，是因为有 )、相等向量 (有传递性) 、相反向量
13、、向量垂直的概念；0一个向量在另一向量方向上的投影： 在 上的投影是 ；abcos,abaR(2) 向量的运算：向量的线性运算向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：a b_.（2）结合律：(a b) c_.减法求 a与 b的相反向量 b的和的运算叫做a与 b的差 _法则a b a( b)数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)| a|_；(2)当 0时， a的方向与 a的方向_；（3）当 0；当 与 异向时，0。|= ，的大小由 及bab|baab的大小确定。因此，当 ， 确定时，的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中的几何意义。ab向量的数量积： 。1
14、2|cos,abxy； ；2|()a 1221|。2|cos,|xyabba在 上 的 投 影注意： 为锐角 且 不同向； 为直角 且 ；,a0 、 ,0ab 、为钝角 且 不反向； 是 为钝角的必要非充分条件.bab、 0ab,（3）两非零向量平行(共线)、垂直的充要条件： ./a22()(|)12xy .0|abab120xy特别：零向量和任何向量共线. 是向量平行的充分不必要条件!（4）定理与结论：共线向量基本定理：如果 a b，则 ab；反之，如果 ab，且 b0，则一定存在唯一一个实数 ，使 a_.推论：三点 共线 共线；ABC、 、 A、向量 中三终点 共线 存在实数 使得： 且
15、. P、 、 、 、 、 PABC1平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数 、 ，使 a= e1 e2.12向量的三角形公式： 。|bb注意： 同向或有 ； b、 0|a|a反向或有 ；a、 |不共线 .(这些和实数集中类似) 、 |bb中点公式 （坐标式）， 为 的中点.12xy12(MPP向 量 式 ） 12重心公式： （坐标式）， 为 的重心；123+xy()3GABC(向 量 式 ） GABC为 的重心.另外，在 还有以下结论：0PABCPABC中 ，为 的垂心；所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直线) ；(
16、)(0| BAC为 的内心；为什么？|ABPCAPB。2211sin()2SC曲线 按向量a(h， k)平移得曲线 .(,)0fxy ,0fxhyk【要点突破】题型一、三角函数的定义、图象与性质例1. （1）（2011安徽）已知函数 ()sin2)fx，其中 为实数，若 ()6fxf对 xR恒成立，且()2ff，则 f的单调递 增区间是（A） ,()36kkZ （B） ,()2kkZ（C） 2,() （D） ,()（2）已知sin ，cos ，且 为第二象限角，则 m的取值范围是2m 5m 1 mm 1A. m6 B6 m Cm4 D m4或 m52 52 32（3）（2012安徽）设函数 。
17、（I）求函数 的最小正周期和对称中心；（II）2()cos()sinfxxx()fx设函数 对任意 ，有 ，且当 时， ； 求函数 在()gxR2g0,12gf()gx上的解析式。,0题型二、三角恒等变换与解三角形例2.（1）（2012全国）ABC 的内角A、 B、C的对边分别为a、 b、c，已知 cos（A-C）cosB=1，a=2c， 则角C= .（2）（2011江西）在ABC 中，角 CBA,的对边分别是 cba,，已知 2sin1cosinCC.（I）求 Csin的值；（II ）若 8)(42ab，求 边 的值.（3）已知向量 =（2cos ，tan（ + ）， =（ sin（ + ）
18、，tan（ ），令 f（x）= （I）求当x（ ， ）时函数f （x）的值域；（II）是否存在实数x0 ，使 f（x）+f（x）=0（其中f（x）是f（x）的导函数）？若存在，则求出x的值 ；若不存在， 则证明之题型三、三角函数的最值问题：几种常见的与三角函数有关的最值的求法：（1） （或 ）型：利用三角函数的值域，需注意讨论字母 符号；yasinxbyacosxba（2） 型：配方后再换元，转化成二次函数的最值， 应注意 的约束；2i sin1x（3） 型：借助辅助角化成y= sin(x+)的形式，在利用有界性解决；yasinxbco2ab（4） 型：应用换元法，令 ，转化为关于 的二次函(
19、)yasinxcobsinxc ,2sinxctott数在限定区间内的最值问题；（5）y= 型：分离常数法，或反解 后利用有界性；isbxdsinx（6）y= 型：把分母乘到左边去，再利用有界性；数形结合法，转化为斜率型； incoa有时题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再 进 行归纳，主要有以上几种类型，掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题 都可以解决。例3. （2012湖北）已知向量 (cosin,si)xxa， (cosin,23cos)xxb，设函数()fxab()xR的图象关于直线 对称，其中 ，为常数，且 1(. （）求函数 f的最小正周期； （）若 ()y的图
20、象经过点 (,0)4，求函数 ()fx在区间 30,5上的取值范围.题型四、平面向量：例4.（1）（2012浙江）设a，b是两个非零向量，A若| a b|a|b|，则a b B若 ab，则|ab| a| b|C若| ab| a|b|，则存在实 数，使得ab D若存在实数，使得a b，则| ab| a|b|（2）（2012湖南）在ABC 中， AB=2，AC=3， = 1则 .中&%国教*育出版 网AC_BA. B. C. D.3723【巩固提高】1. 已知tan100=K，则cos10=A B C D 21k21k21k21k2. 如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为cosyx
21、3 43， 0|（A） （B） （C） (D) 6423. 设向量 ,ab满足 |25,(,1)b且 ab与 的方向相反，则 a的坐标为（A） （B） （C） 4, (D) 42-或 4,-24.已知 cos,3tan则A B C D5515535.设函数 ()si)cs()0,)2fxx的最小正周期为 ，且 ()fxf，则（A） f在 0,2单调递 减 （B） (fx在 3,4单调递减（C） ()fx在 ,单调递 增 （D） ()f在 ,单调递增6.（2011全国12） 设向量 ar，b，c满足| |1abr， 2rg， ,60acbr，则 |cr的最大值等于(A)2 (B) 3 (c) 2
22、 (D)17设 、 、 是 单位向量，且 0，则 的最小值为abcc（A） （B） （C） (D)28. 已知a与 b均为单位向量，其 夹角为 ，有下列四个命 题： 12:0,3Pab；22:1,3P；3:0,3Pab；4:1,其中的真命题是（A） 14 （B） 13, （C） 23, （D） 24,P9.（2012新课标全国） 已知 分别为 三个内角 的对边， ，则,abcAB,Ccos3in0aCbc的大小为 。 10. 已知函数 则 = 。2cos,2031xfx201f11. 已知向量 （3sin，cos）， (2sin, 5sin4cos)， （ 2,3），且 ab ab（1）求ta
23、n的值； （2）求 cos( 32)的值12. 在 等比数列成且已 知的 对 边 分 别 为角中 cbaBcbaCBA ,135sin, （1）求 的值； （2）若 的值tan1t求2os专题六 三角函数与平面向量参考答案【真题感悟】1. D解：由 可得 ， ， ，答案应42， ,2812sin1cos 432cossin选D。另解：由 及 可得42， 37sin=8，4371691671i1cosin 而当 时 ，结合选项即可得 .答案应选D。42， cosincos,43sin2.选 。解法一： 不合题意 排除 ； 合题意 A59(),4x()351(),4x排除 ()BC解法二： ，)2
24、23(),242x得： 315,43. A.解:因为 ,所以 ,根据正弦定理有 ，所以BCBcosin)si(inBbCcsini，所以 。又 ，所以58sinbc 5482icoBC1o2)s(，选A.715622o4. 。解：根据 ， ，50174cos 25716)(cos)3cos(2 因为 ，所以 ，因 为0)32cs(5471)2in(2.502174sin)3co(s)3si(4)i()1in( 5. 解法一：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转了 弧度，此 时点 的坐标为(2sin,1cos) 21P2cos()2sin1in1co(s,s)PxyO，。解法二：根据题意可
25、知滚动至圆心为（2,1）时的圆的参数方程为 ，且 ，sin1co2yx 23,PCD则点P的坐标为 ，即 .2cos1)23sin(1incoyx )c,i(OP6. 1，1解：根据平面向量的数量积公式 ，由图可知，DAECBos|，因此 ，|cos|DAE1|2E，而 就是向量cos|Ccos|cos|E在 边上的射影，要想让 最大，即 让射影最大，此时E点与B 点重合，射影为 ，所以长度为1D【要点突破】例1.（1） C解：若 ()6fxf对 xR恒成立， 则 ()sin()163f，所以 ,32kZ， ,kZ.由 2ff，（kZ），可知 sin()si()，即 sin0，所以 (1),6
26、k，代入 ()sin2)fx，得 6fx，由 326kx，得 3k，故选C.（2）C解：由sin 2 cos 2 1得，( )2( )21， m4或 ，又sin 0，cos 0，把 m的值2m 5m 1 mm 1 32代入检验得， m4.（3）解: ，2()cos()sincosin(cos)242fxxxxx1sin2x（I）函数 的最小正周期 ；()fx2T令 ，函数 的对称中心为 。sin2=0,kkZxZ， 则 解 得 ， ()fx12kZ（ ， ） （ ）（II）当 时， ，,x1()()sin22gxf当 时， ，20,1()sin2()singxxx当 时， ，得函数,)x(),
27、212g在 上的解析式为()g,01sin(0)2()xgx例2.（1）解：由B=-（A+C）可得cosB=-cos（A+C）， cos（A-C）+cosB=cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC=1，sinAsinC= 。由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC联立可得，sin 2C= 。12 140 C，sinC= ，a=2c即ac，C= 。126（2）解：（I）已知 sinosinC，2sini2coci 22 C整理即有： 01sicoi0siniosin2 C又C为 AB中的角， i 412sinco2sin412cosin21cosin CCC3si4i2（II
28、） 82ba， 2,0202 babaa又 47sin1cos2C， 17cos2 Cc（3）解：（I） f （x）= =2cos sin（ ）+tan（ + ）tan（ ）=2cos （sin +cos ）1=sinx+cosx= sin（x+ ）当x（ ， ）时，x+ （ ， ），sin（x+ ）（ ， ）故函数的值域为 （ ，1）（II）由上可得 f （x）= cos（x+ ），由 f（x）+f（x）=0，可得 sin（x+ ）+ cos（x+ ）=0 即 cosx=0再由实数x0，可得当 x= 时， cosx=0成立，即 f（x）+f（x）=0 成立例3.解：（）因为 22()sinc
29、os3sincofxcos3xi()6x. 由直线 是 ()yfx图象的一条对称轴，可得 si(2)16， 所以 262kZ，即 1)23kZ 又 1(,)， ，所以 1，故 56. 所以 (fx的最小正周期是 5. （）由 yfx的图象过点 (,0)4，得 ()04f，即 2sin()2sin64，即 2. 故 5()2sin(236，由 35x，有 3x，所以 1)1x，得 2sin()26，故函数 ()f在 0,5上的取值范围为 1,. 例4.（1）C.解：利用排除法可得选项C是正确的， |ab|a| b|，则a，b共线，即存在 实数，使得ab如 选项A：|ab| |a| |b|时，a，
30、b可为异向的共线向量；选项B：若a b，由正方形得 |ab| a| b|不成立；选项D：若存在实数，使得ab，a，b可 为 同向的共线向量，此 时显然|ab| a| b|不成立(2) A解：由下 .A= cos()2(cos)1CBCB.又由余弦定理知 ，解得 .1cos2B 2A 3【巩固提高】1.D. 解：由 1tan0t(910)cot,tan0=-0.kk可 得 且，故选D 。2222 21sec1=t-,cosk 2.C.解: 函数 的图像关于点 中心对称 ， cosyx 3 43， 0由此易得 .故选C42k42()3kZmin|3. C.解：由题知 |15b，所以 2(4,).a
31、bABCD4.B. 解： 。22222cosin1ta4cossin55. A.解： ()i()4fxx，所以 2，又 f(x)为偶函数，,42kkz， ()sin()2cosfxxx，选A6. A解：如图，设 ,BaADbCcurru，则 10,60BADC，180DC， 四点共圆，当 为圆的直径时，|cr最大，最大 值为 2.7D. 解: 是单位向量, abc2()acbabcA故选D.|12os,121|A8. A.解： 2ccosabab得， 1cos， 20,3。由2os21得 2,3。 选A9. 。解：由正弦定理得：60 c3sin0sincosinsinaCbcACBC1sinc
32、o3sini()i3i1i(30)260AC10.-1. 11. 解：（1）ab ，ab0而a（3sin，cos）， b(2sin, 5sin4cos) ，故ab 6si n25sincos4cos20 由于cos0， 6tan25tan 4 0解之， 得tan 43，或tan 12 （3 2，），tan 0，故tan12（舍去）tan （2）（，），34（ ， ）由tan 43，求得1tan2，tan22（舍去）525sincos， cos(23)ssin232513251012.解：（1）依题意， ，由正弦定理及 -3分acb2 .16925sinis,135sinBCAB得-6分3ii)(iosinttan CAA（2）由 由 （舍去负值）-8分.0c12coB知 .3cos,s得从而， -9分3sb由余弦定理，得 代入数值，得.cs2)(22 Baca ).132()(12ca解得： -12分.7ca
