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1、数 字 信 号 处 理黄 献 松 秦 刚 张 学 智 编 著陕 西 人 民 出 版 社( 陕 ) 新 登 字 001 号图 书 在 版 编 目 ( CIP ) 数 据数 字 信 号 处 理 / 黄 献 松 , 秦 刚 , 张 学 智 编 著 . 西 安 :陕 西 人 民 出 版 社 , 2004ISBN 7 - 224 - 07054 - 8 . 数 . . . . 黄 . . . 秦 . . . 张 . . . . 数 字 信 号 信 号 处 理 教 材 . T N911 . 72中 国 版 本 图 书 馆 CIP 数 据 核 字 ( 2004 ) 第 099267 号书 名 : 数 字 信

2、 号 处 理编 著 : 黄 献 松 秦 刚 张 学 智出 版 发 行 : 陕 西 人 民 出 版 社 ( 西 安 北 大 街 14 7 号 邮 编 : 71 0 00 3 )印 刷 : 西 安 工 业 学 院 印 刷 厂开 本 : 787mm1092 mm 16 开 15 .25 印 张字 数 : 342 千字版 次 : 2004 年 11 月 第 1 版 2004 年 11 月 第 1 次 印 刷印 数 : 1 - 1000书 号 : ISBN 7 - 224 - 07054 - 8/ T N5定 价 : 24 .00 元前 言本 书 的 第 一 章 、 第 二 章 和 第 三 章 是 按

3、一 学 期 讲 授 40 学 时 的 内 容 进 行 编 写 的 , 主 要 供本 科 生 和 专 科 生 使 用 。 第 四 章 和 第 五 章 使 用 对 象 为 研 究 生 , 讲 授 20 学 时 。第 一 章 介 绍 了 信 号 与 系 统 的 基 本 概 念 以 及 傅 立 叶 变 换 和 Z 变 换 的 一 些 知 识 , 因 此 对电 子 专 业 的 本 科 生 和 专 科 生 读 者 而 言 , 自 学 这 一 章 不 会 感 到 困 难 。 第 二 章 是 介 绍 离 散 傅立 叶 变 换 的 概 念 和 它 的 快 速 算 法 FF T 。 第 三 章 是 介 绍 数 字

4、 滤 波 器 设 计 , 这 一 章 的 内 容 有一 定 的 难 度 , 涉 及 的 知 识 面 较 广 。 第 二 章 和 第 三 章 是 讲 授 的 重 点 。考 虑 到 普 通 高 校 的 本 科 生 和 专 科 生 的 课 程 安 排 , 本 科 生 和 专 科 生 只 要 求 讲 授 前 三 章 。 如 果 学 时 充 裕 , 可 以 有 选 择 地 讲 授 第 四 章 和 第 五 章 的 内 容 , 视 具 体 情 况 而 定 。 因 为不 学 习 第 四 章 和 第 五 章 , 读 者 也 能 初 步 了 解 信 号 滤 波 的 物 理 概 念 和 数 学 方 法 , 为 读

5、者 在本 专 业 继 续 深 造 打 下 基 础 , 也 可 对 读 者 在 未 来 的 实 际 工 作 中 解 决 信 号 处 理 的 问 题 有 所 帮 助 。读 者 应 从 第 一 章 开 始 , 就 要 仔 细 阅 读 在 内 容 中 提 供 的 所 有 论 证 和 推 导 , 以 及 示 范 例题 。 为 了 学 好 这 门 课 程 , 读 者 应 通 过 前 三 章 提 供 的 习 题 来 加 深 对 教 材 内 容 的 理 解 , 在 有 时 间 和 有 精 力 的 情 况 下 , 读 者 如 果 对 数 字 信 号 处 理 的 内 容 感 兴 趣 , 建 议 认 真 地 把 A

6、 V 奥 本 海 姆 的 著 作 ( 见 参 考 文 献 ) 中 的 有 关 这 三 章 内 容 的 习 题 做 一 些 , 那 将 是 大 有 好 处 的 。数 字 信 号 处 理 是 一 门 理 论 与 实 践 都 很 强 的 学 科 , 所 以 除 了 理 论 学 习 之 外 , 应 安 排 8学 时 的 EDA 实 验 , 如 果 没 有 EDA 实 验 条 件 , 可 通 过 计 算 机 仿 真 实 验 。 本 书 由 西 安 工 业 学 院 黄 献 松 主 编 , 秦 刚 和 张 学 智 参 加 了 前 四 章 的 编 写 , 由 于 编 者 水平 有 限 , 书 中 不 妥 和

7、错 误 之 处 在 所 难 免 , 欢 迎 批 评 指 正 。 本 书 经 西 安 工 业 学 院 齐 华 教 授 的 仔 细 审 阅 , 在 此 表 示 衷 心 感 谢 。编 著 者2004 年 1 月目 录第 一 章 离 散 时 间 信 号 与 系 统 ( 1 )1 - 1 离 散 时 间 信 号 : 序 列 ( 2 )1 - 2 离 散 时 间 系 统 ( 7 )1 - 3 系 统 的 稳 定 性 和 因 果 性 ( 14 )1 - 4 离 散 信 号 和 系 统 的 频 域 表 示 ( 16 )1 - 5 傅 立 叶 变 换 的 对 称 性 ( 21 )1 - 6 连 续 信 号 的

8、采 样 与 恢 复 ( 23 )1 - 7 Z 变 换 ( 30 )1 - 8 系 统 函 数 ( 48 )1 - 9 系 统 的 信 号 流 图 ( 51 )习 题 一 ( 58 )第 二 章 DF T 及 其 快 速 算 法 ( 66 )2 - 1 周 期 序 列 ( 66 )2 - 2 离 散 傅 立 叶 级 数 ( DFS ) ( 69 )2 - 3 离 散 傅 立 叶 变 换 ( DF T ) ( 71 )2 - 4 频 率 采 样 理 论 ( 79 )2 - 5 快 速 傅 立 叶 变 换 ( FF T ) ( 82 )2 - 6 离 散 傅 立 叶 反 变 换 ( IFF T )

9、 的 运 算 方 法 ( 93 )2 - 7 任 意 基 数 的 FF T 算 法 ( 94 )2 - 8 线 性 卷 积 的 FF T 算 法 ( 96 )2 - 9 Ch irp Z 变 换 (100 )2 - 10 FF T 的 软 、 硬 件 实 现 说 明 (103 )习 题 二 (105 )第 三 章 数 字 滤 波 器 设 计 (108 )3 - 1 模 拟 滤 波 器 设 计 (109 )3 - 2 通 过 模 拟 滤 波 器 设 计 无 限 冲 击 响 应 ( IIR ) 数 字 滤 波 器 (119 )3 - 3 有 限 冲 击 响 应 ( FIR ) 低 通 数 字 滤

10、波 器 设 计 方 法 (132 )3 - 4 数 字 滤 波 器 的 计 算 机 辅 助 设 计 (144 )23 - 5 I IR 与 FI R 数 字 滤 波 器 的 比 较 (162 )习 题 三 (163 )第 四 章 离 散 随 机 信 号 (166 )4 - 1 离 散 随 机 过 程 的 概 念 (166 )4 - 2 随 机 过 程 的 几 个 概 念 (170 )4 - 3 实 平 稳 随 机 过 程 (172 )4 - 4 广 义 平 稳 随 机 过 程 (174 )4 - 5 正 弦 离 散 随 机 信 号 的 数 字 特 征 (175 )4 - 6 离 散 随 机 信

11、 号 的 频 谱 (176 )4 - 7 广 义 随 机 信 号 的 频 谱 (179 )4 - 8 线 性 时 不 变 ( L T I ) 系 统 对 随 机 信 号 的 响 应 (180 )4 - 9 最 佳 滤 波 和 线 性 预 测 (183 )4 - 10 离 散 随 机 信 号 的 功 率 谱 估 计 (189 )习 题 四 (210 )第 五 章 数 字 信 号 处 理 的 应 用 简 介 (211 )5 - 1 语 音 信 号 处 理 (211 )5 - 2 解 卷 积 和 系 统 辨 识 (220 )附 录 (231 )附 录 A 模 拟 滤 波 器 设 计 的 部 分 参

12、数 表 (231 )附 录 B 切 比 雪 夫 滤 波 器 设 计 参 数 表 (232 )附 录 C 2003 年 考 研 试 题 ( 仅 供 参 考 ) (233 )参 考 文 献 (235 )3第 一 章 离 散 时 间 信 号 与 系 统一 个 信 号 可 定 义 为 一 个 函 数 , 这 个 函 数 带 有 有 关 某 一 物 理 系 统 的 状 态 或 特 性 的 信 息 。 数 学 上 , 信 号 可 以 表 示 为 变 量 的 函 数 。 信 号 的 函 数 表 达 式 中 , 当 变 量 是 连 续 型 时 , 信 号 称 为 模 拟 信 号 。 当 变 量 是 离 散 型

13、 时 , 信 号 称 为 离 散 信 号 。 离 散 时 间 信 号 是 变 量 取 离 散时 间 值 , 因 此 离 散 时 间 信 号 表 示 成 数 值 的 序 列 , 信 号 幅 度 也 可 以 是 连 续 的 或 者 是 离 散 的 , 数 字 信 号 在 时 间 和 幅 度 上 都 是 离 散 的 。信 号 处 理 系 统 也 能 像 信 号 一 样 来 分 类 , 连 续 时 间 系 统 ( 模 拟 系 统 ) 是 指 其 输 入 输 出 都是 连 续 时 间 信 号 的 系 统 ; 离 散 时 间 系 统 就 是 其 输 入 输 出 都 是 离 散 时 间 信 号 的 系 统

14、, 一 个 数 字 系 统 是 指 输 入 输 出 都 是 数 字 信 号 的 系 统 , 数 字 信 号 处 理 就 是 处 理 在 幅 度 和 时 间 上 都是 离 散 的 这 样 一 种 信 号 的 变 换 。为 了 说 明 数 字 信 号 处 理 的 作 用 , 假 定 一 个 真 实 模 拟 信 号 s( t) , 通 过 某 种 方 式 传 送 , 在 传 送 过 程 中 受 到 某 个 ( 某 些 ) 加 性 信 号 v( t) 的 干 扰 , 观 测 到 的 模 拟 信 号 为 x ( t) , 即x ( t) = s( t) + v( t)如 何 处 理 , 才 能 由 观

15、测 信 号 x( t) 把 真 实 信 号 s( t) 恢 复 出 来 ?图 1 - 1 就 是 一 个 典 型 的 、 实 用 的 信 号 处 理 框 图 , 能 够 解 决 上 面 提 出 的 问 题 。图 1 - 1 一 个 实 用 的 信 号 处 理 系 统 框 图(1 ) 观 测 到 的 模 拟 信 号 x( t) , 经 过 一 个 抗 混 叠 模 拟 滤 波 器 , 能 够 滤 去 一 些 带 外 分 量和 干 扰 信 号 , 如 果 技 术 指 标 要 求 不 高 , 不 必 继 续 处 理 , 如 果 指 标 很 高 , 模 拟 信 号 处 理 技 术将 难 以 达 到 要

16、求 或 者 代 价 太 高 , 就 得 采 用 数 字 技 术 。(2 ) 要 对 模 拟 信 号 进 行 数 字 处 理 , 必 须 要 经 过 A/ D 采 样 和 转 换 , 形 成 了 信 号 x ( n) , 在 数 字 技 术 中 , 用 数 学 的 概 念 把 此 离 散 信 号 抽 象 地 称 为 序 列 。 一 般 把 采 样 得 到 的 信 号 xa ( n T) 称 为 离 散 时 间 信 号 , 它 是 时 间 离 散 、 幅 度 连 续 的 信 号 。(3 ) 数 字 滤 波 是 本 书 的 重 点 , 信 号 x( n) 经 过 变 换 成 为 y ( n) , 这

17、 种 变 换 可 能 是 由 硬 件实 现 的 , 也 许 是 由 软 件 实 现 的 , 也 许 是 由 软 、 硬 件 结 合 实 现 的 。 在 变 换 中 隐 含 着 保 留 真 实信 号 、 进 一 步 去 除 其 他 信 号 的 作 用 。 这 种 变 换 是 以 数 学 知 识 为 基 础 的 , 以 飞 速 发 展 的 集成 电 路 技 术 和 计 算 机 技 术 为 支 撑 的 , 实 现 起 来 不 仅 快 速 可 靠 , 而 且 代 价 不 高 。1( 4) y ( n) 经 过 D/ A 转 换 和 补 偿 重 构 形 成 了 模 拟 信 号 y ( t) , 它 与

18、真 实 信 号 s( t) 就 非 常 接 近 了 , 就 认 为 真 实 信 号 得 到 了 重 现 。图 1 - 1 的 各 个 图 框 在 实 现 时 , 有 的 很 复 杂 , 有 的 很 简 单 。 这 只 是 一 个 对 模 拟 信 号 如何 处 理 而 用 到 数 字 技 术 的 例 子 , 读 者 不 需 对 每 个 框 的 功 能 予 以 深 究 , 有 个 整 体 概 念 就 可以 了 , 但 是 对 数 字 信 号 是 时 间 和 幅 度 都 是 离 散 的 这 一 特 点 , 必 须 清 楚 。1 - 1 离 散 时 间 信 号 : 序 列模 拟 信 号 xa ( t)

19、进 行 等 时 间 间 隔 T 采 样 后 , 采 样 信 号 可 表 示 为 xa ( n T) , 此 函 数 中 的 变 量是 nT , 采 样 信 号 是 在 离 散 时 间 n T 点 上 取 值 , T 称 为 采 样 周 期 。 n 只 能 取 整 数 , 则 时 间 点 为, - 1 T , 0 T , 1 T从 数 学 观 点 而 言 , T 对 这 些 离 散 点 只 起 间 隔 大 小 的 作 用 , 对 离 散 点 的 顺 序 无 作 用 , 因 此 在只 考 虑 离 散 点 顺 序 时 , 可 用 , - 1 , 0 , 1 , 来 代 替 上 面 的 离 散 时 间

20、 点 , 离 散 时 间 信 号 可 抽 象 地 表 示 成 数 的 序 列 , 不 会 影 响 到 问 题 的 实 质 , 且 能 与 数 学 知 识 相 结 合 。 一 个 数 的 序 列x , 其 中 序 列 的 第 n 个 数 记 作 x ( n) 。 序 列 x 通 常 严 格 表 示 如 下x = x( n) ( - n0 时 , h( n0 - k) = 0。 输 出 序 列 y( n) 在 n0 的 输 出 应 为y( n0 ) = k = - n0x( k) h( n0 - k)= x( k) h( n0 - k) + x ( k) h( n0 - k)k = - n0= k

21、 = - x( k) h( n0 - k)k = n + 1 0说 明 y( n0 ) 与 输 入 序 列 x ( k) 的 k1 n0 的 序 列 值 无 关 。 必 要 性15j nj ( n + ) j n反 证 法 : 命 题 是 : 即 使 n n0 的 序 列 值 有 关 , 这 就 同 因 果 系 统 的 定 义 发 生 了 矛 盾 。 因 此 定 理 成 立 。 由 于 定 理 的 使 用 是 有 前 提 的 , 必 须 是 线 性 时 不 变 系 统 , 才 可 以 用 h( n) 来 判 断 。 否 则只 能 由 因 果 系 统 的 定 义 来 判 断 。1 - 4 离 散

22、 信 号 和 系 统 的 频 域 表 示离 散 时 间 信 号 和 系 统 中 有 不 同 的 表 示 方 法 , 除 了 时 域 表 示 方 法 外 , 最 重 要 的 是 频 域 表 示 法 。 在 线 性 时 不 变 系 统 中 , 余弦 ( 或 正 弦 ) 序 列 的 稳 态 响 应 很 重 要 , 因 此 首 先 讨 论 单 位 取 样 响应 h( n) 的 傅 里叶 变换 。 这是 因为 如 果要 求出 系统 对 输入 x( n) = Acos( 0 n + 0 ) 的 稳 态 响 应 , 必 须 要 先 求 出 系 统 对 复 指 数 序 列 响 应 , 然 后 再 根 据 叠

23、加 原 理 求 出 余 弦 序 列 的 响 应 。1 - 4 - 1 一 个 特 殊 的 复 指 数 序 列 e复 指 数 序 列 的 一 般 形 式 是 A ej n, 常 使 用 的 是 e 及 其 变 形 , 它 可 以 表 示 为欧 拉 公 式 的 形 式 为ej n= cos( n) + jsin ( n)- j nej ne+ e- j n- e= 2cos( n)= j2s in( n)这 些 公 式 说 明 复 指 数 序 列 与 正 弦 ( 余 弦 ) 序 列 有 密 切 的 关 系 , 但 要 在 复 数 域 中 进 行 讨论 。 如 果 要 以 画 图 说 明 复 指 数

24、 序 列 , 使 用 复 平 面 表 示 是 最 直 观 的 。 若 以 cos ( n) 为 实 轴 , js in( n) 为 虚 轴 , 则 ej n 是 单 位 圆 上 的 一 些 点 。 如 令 x 为 复 数 , 它 的 实 部 可 表 示 成 R e ( x ) , 虚 部 表 示 为 Im ( x) , 为 简 单 起 见 , 画 图 时 实 轴 冠 以 Re, 虚 轴 冠 以 I m。 下 面 画 出 序 列 ej n/ 2 。图 1 - 13 序 列 ej n/ 4 示 意 图16j nj nj n 亦 即 有h( k) e = e - j kj j j n- 1显 然 ,

25、 序 列 e 也 有 周 期 性 问 题 , 对 数 字 角 频 率 也 有 区 间 考 虑 的 问 题 , 如 果 对 正 弦序 列 的 相 关 问 题 已 经 清 楚 , 不 难 作 出 正 确 的 回 答 。1 - 4 - 2 系 统 对 复 指 数 序 列 e 的 响 应一 个 线 性 时 不 变 系 统 的 输 入 序 列 x ( n) = e出 应 为j ( n - k), x ( n - k) = e , 则 系 统 的 输若 定 义y( n) = k = - j ( n - k) j nk = - h( k) ejH ( e) = k = - j n- j kh( k) ej(

26、1 - 49)则 y( n) = ej nH ( e ) (1 - 50)(1 - 50 ) 式 中 e 是 系 统 的 输 入 序 列 , 又 称 为 系 统 的 特 征 函 数 , 相 应 的 特 征 值 为H ( e ) , H ( e ) 通 常 称 为 系 统 的 频 率 响 应 。 由 此 式 可 以 看 出 , 当 输 入 序 列 为 e 时 , 输 出 序列 是 与 输 入 序 列 同 频 率 的 复 指 数 序 列 , 只 是 由 于 H ( ej ) 也 是 一 个 复 数 , y ( n) 的 幅 值 和 相位 与 输 入 序 列 可 能 不 同 。 由 ( 1 - 49

27、) 式 可 以 看 出 , 等 式 右 边 的 变 量 k 可 以 统 一 换 成 其 他 符 号 而 不 会 影 响 到 H ( ej ) 。1 - 4 - 3 系 统 频 率 响 应jH ( e ) 一 般 是 复 数 , 可 用 它 的 实 部 和 虚 部 表 示 为jH ( e j) = H R ( ej) + j HI ( e )或 者 用 幅 度 和 相 位 表 示 为j j j ( )其 中 :H ( e ) = | H ( e ) | ej j j( ) = a rg H ( e ) = tan HI ( e )/ HR ( e) ( 1 - 51)j 2 j 2 j 1/ 2

28、| H ( e ) | = HR ( e ) + HI ( e ) ( 1 - 52)一 般 把 (1 - 51 ) 式 的 ( ) 称 为 相 频 响 应 , 把 ( 1 - 52) 式 的 | H ( ej ) | 称 为 幅 频 响 应 。 系 统 的 频 率 响 应 , 以 及 由 它 对 应 的 相 频 响 应 、 幅 频 响 应 都 是 数 字 角 频 率 的 连 续 函数 , 而 且 是 以 2 为 周 期 的 周 期 函 数 。 由 定 义 式 ( 1 - 49) 作 如 下 推 导 , 就 说 明 了 这 一 点 。j ( + 2 r)H ( e) = k = - - j(

29、+ 2 r ) kh( k) ej= k = - - j kh( k) e= H ( e )【 例 1 - 7】 由 于 经 常 用 到 矩 形 窗 序 列 , 现 假 定 一 线 性 时 不 变 系 统 的 单 位 取 样 响 应 h( n) 为 矩 形 窗 序 列 , 求 此 系 统 的 频 率 响 应 。 并 画 出 N = 5 的 幅 频 、 相 频 响 应 图 。1h( n) = RN ( n) =00 n N - 1其 他 n17解 : 其 频 率 响 应 为j - j nH ( e ) = n = - h( n) e ( 符 号 k 换 成 n)N - 1 - j - j / 2

30、 j N / 2 - j N/ 2- j n 1 - e e ( e - e )= en = 0= - j =1 - e - j / 2e j / 2( e - j / 2- e )= s in ( N/ 2 ) - j ( N - 1 )/ 2sin( / 2 ) e通 过 式 (1 - 53 ) 可 以 得 到(1 - 53 )j| H ( e ) | = sin ( N/ 2 ) si n( / 2 )j si n ( N/ 2 )( ) = a rg H ( e ) = - ( N - 1 )/ 2 + a rg sin( / 2) ( 1 - 54)式 (1 - 54 ) 中 之 所

31、 以 含 有 第 二 项 , 是 由 于 sin ( n)/ sin ( / 2 ) 的 值 来 回 变 号 的 原 因 , 即 随 着 的 值 由 0 到 2的 变 化 , 其 比 值 在 一 段 区 间 内 是 正 值 , 在 紧 接 着 的 区 间 内 是 负 值, 由 于 ej = ej ( - ) = - 1 , 造 成 相 频 响 应 是 间 断 连 续 的 。 下 面 画 出 N = 5 的 矩 形 窗 幅 频 响 应 、 相 频 响 应 图 。图 1 - 14 N = 5 的 矩 形 窗 的 频 率 响 应由 图 1 - 14 的 幅 频 响 应 可 以 看 出 , 矩 形 窗

32、 大 致 相 当 于 一 个 低 通 滤 波 器 ( 很 不 理 想 ) , 当 在 区 间 0 , 2 / N 内 时 , 相 当 于 低 通 滤 波 器 的 通 带 , 当 在 区 间 2 / N , 相 当 于 阻 带 。 一 般 要 求 N 远 远 大 于 1 , 即 N 1。 另 外 顺 带 指 出 , 幅 频 响 应 如 果 以 H ( ) 表 示 , 允 许 取 正 负 值 的 话 , 则 图 1 - 14 中 幅 频 响 应 图 的 第 一 副 瓣 和 第 三 副 瓣 应 翻 向 轴 的 下 方 。18j - j nj j j nj j j n1 - 4 - 4 序 列 的 傅

33、 立 叶 变 换 和 反 变 换当 一 个 系 统 的 单 位 取 样 响 应 序 列 h( n) 给 定 时 , 就 可 以 用H ( e) = n = - h( n) e ( 1 - 55)得 到 系 统 的 频 率 响 应 H( ej ) , 式 (1 - 55)就是 (1 - 49) , 等 式 右 边 的 符 号 n 代替了 k。 H( ej )是 的 周 期 连 续 函 数 , 式 (1 - 55) 的 右 边 是 它 的 傅 立 叶 级 数 展 开 的 指 数 形 式 , 称 为 傅 立 叶 变 换 。 由j周 期 函 数 傅 立 叶 级 数 的 公 式 可 知 , h( n)

34、正 是 其 傅 立 叶 级 数 的 系 数 , 可 以 用 H ( eh( n) , 称 为 傅 立 叶 反 变 换 , 傅 立 叶 变 换 和 反 变 换 , 称 为 傅 立 叶 变 换 对 。 如 下 表 示) 的 积 分 求 出傅 立 叶 变 换 H ( e) = n = - - j nh( n) e (1 - 56)傅 立 叶 反 变 换 h( n) =2 - H ( e ) e d (1 - 57)对 于 任 一 信 号 序 列 x( n) 也 可 以 仿 照 式 (1 - 56 ) 进 行 傅 立 叶 变 换 , 得 到 的 结 果 通 常 称 为 信 号 的 频 谱 。 下 面

35、是 任 一 信 号 序 列 x( n) 的 傅 立 叶 变 换 对傅 立 叶 变 换 X ( e ) = n = - - j nx ( n) e (1 - 58)傅 立 叶 反 变 换 x ( n) = 12 - X ( e ) e d (1 - 59)式 (1 - 56) 和 ( 1 - 58) 的 级 数 并 不 一 定 保 证 是 收 敛 的 。 例 如 当 h( n) 是 一 单 位 阶 跃 序 列 或 复 指 数 序 列 时 , 就 不 收 敛 。 因 此 , 傅 立 叶 变 换 存 在 的 条 件 是 式 ( 1 - 56 ) 收 敛 。 可 以 证 明 其 收 敛 的 充 要 条

36、 件 为n = - | h( n) | 这 个 条 件 与 线 性 时 不 变 系 统 是 稳 定 系 统 的 条 件 是 一 致 的 , 因 此 一 个 稳 定 的 线 性 时 不 变 系统 的 傅 立 叶 变 换 总 是 存 在 的 。【 例 1 - 8】 一 个 理 想 低 通 滤 波 器 的 频 率 响 应 为 :j 1H ( e ) =0| | c c | | 上 式 的 c 是 理 想 低 通 滤 波 器 的 截 止 频 率 。 如 果 一 个 输 入 序 列 通 过 这 样 特 性 的 系 统 , 这 个 序 列 经 过 傅 立 叶 变 换 后 , 频 谱 中 的 频 率 低 于

37、 截 止 频 率 的 低 频 分 量 可 以 通 过 , 频 率 高于 截 止 频 率 的 高 频 分 量 被 滤 除 。 上 式 相 应 的 图 形 如 图 1 - 15。图 1 - 15 一 个 理 想 低 通 滤 波 器 的 频 率 响 应191 + 2 ( 1+ 1 + 12 3 5c n= c j j jcc求 出 此 系 统 的 单 位 取 样 响 应 序 列 。 解 : 由 式 ( 1 - 57) 有h( n) = 1 1 ej n d2 - = 1 j n - e - j c2 j n ( e )s in ( n ) n ( n 取 整 数 )只 要 给 出 c , 可 以 求

38、 出 h( n) 。 现 令 c = / 2 , 求 出 的 h( n) 如 下 图 所 示图 1 - 16 截 止 频 率 c = / 2 的 理 想 低 通 滤 波 器 的 单 位取 样 响 应图 1 - 16 中 的 虚 线 是 响 应 的 包 络 线 , 它 是 连 续 时 间 系 统 的 冲 击 响 应 的 曲 线 , 显 然 离散 时 间 系 统 是 取 与 c 有 关 的 包 络 线 上 的 点 。 由 于 n 0 时 , 单 位 取 样 响 应 h( n) 不 为 0 , 因 此 理 想 低 通 滤 波 器 是 非 因 果 的 。 并 且 由 于 c = / 2 时 , 有n

39、= - | h( n) | = + ) ( 请 留 意 图 形 的 对 称 性 )说 明 理 想 低 通 滤 波 器 不 是 稳 定 系 统 。 因 此 理 想 低 通 滤 波 器 不 是 因 果 稳 定 系 统 。 在第 三 章 中 将 介 绍 逼 近 理 想 低 通 滤 波 器 的 因 果 稳 定 系 统 的 设 计 方 法 。1 - 4 - 5 信 号 通 过 线 性 时 不 变 稳 定 系 统 的 频 域 表 示 法一 个 线 性 时 不 变 系 统 如 果 是 稳 定 系 统 , 其 傅 立 叶 变 换 对 存 在 。 如 果 系 统 的 单 位 取 样响 应 是 h( n) , 频

40、 率 响 应 是 H ( ej ) ; 输 入 序 列 x ( n) 的 频 谱 是 X ( ej ) ; 输 出 序 列 y ( n) 的 频 谱为 Y ( ej ) , 则 一 定 有Y ( e证 明 : 根 据 卷 积 公 式) = H ( e ) ( e ) ( 1 - 60)y( n) = x ( n) * h( n)= k = - jx( k) h( n - k)- j n则 Y ( e20) = n = - y( n) e- j nj jnj 、 jeo = x( k) h( n - k) en = - k = - - j k - j ( n - k)= k = - x ( k)

41、 ej jn = - h( n - k) e= H ( e ) X ( e )说 明 (1 - 60 ) 式 成 立 。 该 式 说 明 , 输 入 信 号 通 过 系 统 后 , 输 出 信 号 的 频 谱 等 于 输 入 信号 频 谱 X ( e ) 和 系 统 频 率 响 应 ( e ) 的 乘 积 。 这 就 是 所 谓 的 时 域 卷 积 定 理 。同 理 可 证 明 频 域 卷 积 定 理 , 如 果 有 两 个 序 列 的 乘 积 为y( n) = x ( n) h( n)相 应 的 频 域 关 系 为j 1 j ( ej ( - ) (1 - 61)Y ( e ) = 2 -

42、X ( e ) ) d这 个 关 系 的 证 明 如 下y( n) = 1 j jY ( e ) e d2 - = 1 1 j j ( - ) j n2 - 2 - X ( e) ( e) d e d= 1 j j n 1 ( ej ( - ) j( - ) 2 - X ( e ) e= x ( n) h( n)d 2 - ) e d式 (1 - 60 ) 得 到 证 明 。 该 式 说 明 , 两 个 相 乘 序 列 的 傅 立 叶 变 换 是 这 两 序 列 各 自 的 傅立 叶 变 换 的 卷 积 , 这 就 是 所 谓 频 域 卷 积 定 理 。 需 要 补 充 说 明 的 是 , 这

43、 里 的 x ( n) 、 y ( n) 、 h( n) 均 是 任 意 确 切 的 信 号 序 列 , 它 们 的 频 谱 分 别 是 X ( e j) Y ( e ) 和 ( e ) , 并 非 局 限 为 某个 线 性 时 不 变 系 统 。 亦 即 频 域 卷 积 定 理 只 与 序 列 和 傅 立 叶 反 变 换 有 关 , 与 系 统 无 关 。1 - 5 傅 立 叶 变 换 的 对 称 性傅 里 叶 变 换 有 一 些 对 称 性 质 , 在 今 后 的 序 列 与 频 谱 的 讨 论 中 很 有 用 , 详 细 了 解 有 助 于 对 傅 立 叶 变 换 的 深 入 理 解 。

44、 先 由 下 面 的 定 义 开 始 , 再 把 这 些 性 质 逐 一 列 举 在 表 1 - 1 中 。定 义 : 如 果 x( n) 为 复 数 序 列 ( 简 称 复 序 列 ) , 则1 .若 x ( n) = x* ( - n) , 称 序 列 x( n) 为 共 轭 对 称 序 列 , 一 般 用 x ( n) 表 示 。 当 共 轭 对称 序 列 是 实 序 列 时 , 称 为 偶 序 列 。2 .若 x ( n) = - x* ( - n) , 称 序 列 x( n) 为 共 轭 反 对 称 序 列 , 一 般 用 x轭 反 对 称 序 列 是 实 序 列 时 , 则 称 为

45、 奇 序 列 。( n) 表 示 。 当 共根 据 以 上 定 义 可 以 证 明 , 任 意 一 个 序 列 x( n) 都 可 以 表 示 成 某 个 共 轭 对 称 序 列 xe ( n)和 某 个 共 轭 反 对 称 序 列 xo ( n) 之 和 。 即x ( n) = xe ( n) + xo ( n) ( 1 - 62)只 要 令 xe n = 1 *2 x ( n) + x( - n) 21j j j*和 xo ( n) =式 (1 - 62 ) 就 成 立 。1 *2 x( n) - x( - n) 同理 , 一 个 傅 立 叶 变 换 X( ej )也 可 分 解 成 某

46、个 共 轭 对 称 和 某 个 共 轭 反 对 称 函 数 之 和 。即X ( e ) = Xe ( e ) + Xo ( e ) ( 1 - 63)j 1 j * - j只 要 令 Xe ( e ) = 2 X ( e) + X ( e ) j 1 j * - j和 Xo ( e ) = 2 X ( ej) - X ( e ) j式 (1 - 63 ) 就 成 立 。 显 然 , Xe ( e ) 是 共 轭 对 称 函 数 , Xo ( e ) 是 共 轭 反 对 称 函 数 。 即jX ( ej) = Xe ( e*- j ) ( 1 - 64)- j和 Xo ( e ) = - Xo

47、( e ) ( 1 - 65)像 序 列 一 样 , 如 果 一 个 连 续 变 量 的 实 函 数 是 共 轭 对 称 的 , 称 为 偶 函 数 ; 如 果 一 个 连 续变 量 的 实 函 数 是 共 轭 反 对 称 的 , 称 为 奇 函 数 。除 此 之 外 , 序 列 的 傅 立 叶 变 换 还 有 一 些 其 他 的 对 称 性 质 , 如 下 表 所 示 。 可 以 根 据 傅立 叶 变 换 公 式 , 容 易 得 到 证 明 。表 1 - 1 傅 立 叶 变 换 的 对称 性 质序 列 傅 立 叶 变 换1 .x ( n) X( ej )2 .x * ( n) X * ( e

48、- j )3 .x * ( - n) X * ( ej )4 .Re x( n) X ( ej j5 .j Im x ( n) X ( ej j6 .xe ( n) 即 x( n) 共 轭 对 称 部 分 R X( e j ) 7 . x0 ( n) 即 x( n) 共 轭 反 对 称 部 分 j8 .x ( n - n0 ) X( ej ) e- j n09 .x ( n) ej 0 nX ej( - ) 当 x( n) 为 实 序 列 时 , 下 列 性 质 成 立10. 任 意 x( n) X( ej ) = X * ( e - j ) 共 轭 对 称 函 数 j - jR X( eI X ( ej - j| X ( ej ) | = | X( e - j ) | 幅 值 是