1、第 1 页 共 3 页安徽大学 20 11 20 12 学年第 一 学期 常微分方程 （B 卷）考试试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题 5 分，共 20 分）1(d) ；2.(c) ；3. (b) ；4. (c) 二、请判断下面各题是否正确，并简述理由（每小题 5 分，共 15 分）（1）正确 2 分事实上， 在 点附近连续，则由解的存在唯2,ffxyy0,一性知结论成立 5 分（2）正确 2 分 事实上，直接用积分因子 代人21x5 分MNdy（3）错误 2 分 事实上，反证，假设结论成立.不妨设它为一个线性微分方程组的解矩阵，计算 ，而1det0线性无关，矛盾. 5 分1,0t三、计
2、算题（每小题 10 分，共 50 分）（1）解：依据定义域知 ，设 ，原方程等价的微分方程为0ylnuy，xdue其对应的齐线性微分方程为 x其通解为 5 分1dxuce设原方程有如下形式特解 7 分xyce代入原方程有 ，即通解为 10 分1cx lnxce（2）解：令 ，则有 5 分Ffgh26(1),(0F其特解为 7 分ta4整理得 9 分1(2),ff第 2 页 共 3 页有特解 10 分16132sin4cotft（3）解：由积分与路径无关的条件 ，得到MNyx5 分2ff解得8 分212cosinfxx由初始条件求得特解为 10 分2（4）解：(a)直接代入验证 3 分(b)求
3、另一线性无关解20Ly 122xdxye易有基本解组 5 分12,xye利用常数变易法，设原方程有解 ，则 满足12xyce12,cx7 分20x解得 8 分12,1xcec所以通解为 10 分21yx（5）解： ， 可交换，所以10AAB1,5 分11expexpe0ttttBE利用公式 ，计算得0ttAtAtsfd 10 分12tttte四、应用题（10 分）第 3 页 共 3 页解：设 时刻细菌数的表达式为 ，则由题意知， ，这是齐次线性微分方程，其通解为 由初始条t xtdxkt ktxce件 得，特解有 5 分0x0kte依条件 ，代入，得 ，02,31x0ln21lx于是 。 10 分ln2te五、综合题（第 1 小题 3 分，第 2 小题 2 分，共 5 分）解：（1）对方程两边求导数，有 ，1fxfx对原方程，设 ，即有 ，因此有ux1u 3 分0ffx（2）这是二阶常系数齐线性微分方程，通解为 。而原方程为一阶方程，代入原12cosinfxx方程可得解为 2 分1cosinfxx
