1、12008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如
2、果赛区设置报名号的话）： 2108113 所属学校（请填写完整的全名）： 中国人民解放军理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 郑建超 2. 王平 3. 黄涛 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 汤光华 日期： 2008 年 9 月 22 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：22008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：3数码相机定位研究摘要本文是研究数码相机定位过程中系统标定
3、的问题，四个问题的分析逐步递进，具有很强的层次性。问题一、二在只考虑一部相机的条件下，研究靶标平面圆心的成像情况。建立了两个模型。模型一（间接法）：以公切线交点作为参考点，间接确定靶标平面上圆的圆心在相机平面上的像坐标。模型的优点在于算法步骤清晰，能定出靶标平面，为第四问的通过靶标平面搭桥进行坐标变换求解做了铺垫。模型二（直接法）：采用两种方法，直接根据像平面图，用计算机定出圆心像的坐标，求解过程简便，精度较高。这两种定点的方法均十分巧妙，为本文的一大创新。模型二求出了较精确的圆心像坐标为单位： mABCDE(-50.000,51.323) (-23.545,49.471) (33.862,4
4、4.974) (18.783,-31.482) (-60.053,-31.217) 问题三对所建立模型进行检验和精度、稳定性分析，并给出了相应的精度和稳定性指标。问题四则在前面问题的基础上，建立物像平面的关系后，以物坐标系为桥梁通过空间坐标变换建立两部相机的像坐标关系，确立了相机二坐标系的原点在相机一坐标系的坐标 和相机二像平面在相机一坐标系的平面0-112=Pr+方程 ，这两个条件就可以确定两部相机相对位置。u-1223P(r)+e41问题的重述数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双
5、目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点” 。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标） ，它们的圆
6、心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图 1 所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。 图 1 靶标上圆的像有人设计靶标如下，取 1 个边长为 100mm 的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm 为半径作圆。以 AC 边上距离 A 点 30mm 处的B 为圆心， 12mm 为半径作圆，如图 2 所示。图 2 靶标示意图5用一位置固定的数码相机摄得其像，如图 3 所示。图 3 靶标的像（1） 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的凸透镜中心，x-y 平面平行于像平面；（2） 对由图
7、2、图 3 分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即凸镜中心到像平面的距离）是 1577 个像素单位(1 毫米约为 3.78 个像素单位)，相机分辨率为 1024768；（3） 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4） 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。2问题的分析问题一要求确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，可采用间接法，借助参考点，通这些固定参考点的成像变换确定物平面与像平面的对应关系。问题二在问题一建立的模型基础上带入具体数值进行求解。同时，采用两种直接找圆心像点的方法，通过计算机在像平面中测出像点
8、坐标。问题三从照片本身和处理过程（灰度、切线、取值、计算）分析误差因素，把计算得到的像点返回到标靶平面，与靶标的圆心进行比较，讨论精度和稳定性。并给出了精度和稳定性指标。问题四要确定两部固定相机的相对位置，可以将一部相机的位置在另一部相机的坐标表系中表示出来。设相机一的坐标系为 ，相机二的坐标系为1Cxyz，可以通过一旋转矩阵 R 加一个平移矩阵 就可以将相机二的坐标变换2Cxyz r到相机一坐标系中。这样，如果一个点在相机二坐标系下的坐标为 ，那么2M该点在相机一坐标系的坐标就为 。 【1】这样，通过该坐标变换式12M=+r以及已知条件，就可以确立相机二的光学中心即相机二坐标系原点在相机一坐
9、6标系的坐标和相机二像平面在相机一坐标系的平面方程，从而确定两部固定相机的相对位置。3符号约定靶标上圆的半径r靶标上正方形的边长d4问题的假设1. 相机内部参数设置精确，完全符合凸透镜的成像原理；2. 凸透镜的光轴垂直于像平面3. 凸透镜的光轴指向像平面的中心5问题一5.1 模型的分析要求确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，由命题 1 靶标上圆的圆心的像不再是图 3 中像圆的几何中心，我们很难直接找到实圆的圆心与像圆的圆心之间的对应关系。因此，我们另找其它参考点。命题 1：当靶标平面不平行于像平面时，靶标上圆的圆心的像不再是该圆像的几何中心， （证明见附录）命题 2：靶标平面里两圆的公切
10、线经相机成像后仍为像平面中对应圆像的公切线。由反证法即可证明：设直线 是靶标中两圆 、 的公切线，假设经过相l1O2机成像后 不是两圆像的外公切线，那么 与像不是有且仅有一个交点，据成像l l原理点与像一一对应的关系，则从像中找靶标上的对应点时， 与两圆的切点就l不是有且仅有一个交点，与已知直线 是靶标中两圆 、 的外公切线相矛盾，l12假设不成立，从而证得 经过相机成像后 仍是两圆像的公切线，命题 2 为真。l命题 3：公切线交点经成像后仍为对应公切线的交点。命题 2 正确，命题 3 显然也正确。所以，选公切线交点作为参考点。7设 、 、 分别是两条公切线的交点，经过相机成像后对应公切线的M
11、NP交点为 、 、 。如下图所示：8流程图为：5.2 模型的建立将坐标系原点取在该相机的凸透镜中心，x-y 平面平行于像平面，建立三维直角坐标系。则像平面为 。z设像平面中圆的公切线交点 、 、 ，可由图 3 通过计算机测得其坐MNP标，可设 =（ ） ， =（ ） ， =（ ） ，均为已量知。M,mxy,nxyz,pxyz同时设实物圆的公切线交点 =（ ） ， =（ ） ， =（mnP） ，均为未知量。由相机成像原理， 、 、 共线， 、O 、 共,pxyz MN线， 、O、 共线。如下图所示：P找参考点（靶标及像平面中公切线的交点）以像平面为参考建立三维平直角坐标系通过像参考点的坐标求对应
12、实参考点的坐标确定靶标平面并同时得出实圆心点的坐标通过成像原理得出圆心像点坐标9因此，, ,1OMk2NkO3Pk即 1mmxyz2nnkxyz3pp又因为靶标的实物图上 、 、 存在关系，有MNP2dr=0P即 222102mnmnmnxyz像平面物平面XYZO10222102mpmpmpxyz0nnnmpyz所以建立模型和算法如下：算法第一步：123222140mmnnppmnmnmnpppnnmnpxyzkxyzkxyzxyzz （1）上方程组中带撇的量均为已知，通过计算机在图 3 中测得。再通过MATLAB 软件求解上方程组， 、 、 点的坐标即可求出。 MNP算法第二步：、 、 三点
13、坐标已知，由图 2 靶标平面中 、 、 与五个圆圆心MNP P的位置关系，求出这五个圆心的坐标。例如 A 圆圆心设为 A ，如图,axyz有2222222amamamnnnapapapxyzrdzr （2）M NPA11求解此方程组，即可求得 A 圆圆心在此坐标系中的坐标。算法第三步：A 已知，根据成像原理，连接 A 点、O 点，延伸 AO 与像平面,axyz交于 ， 就为 A 圆圆心在像平面中的像。 k即aaxyz（3）方程中 均为已知，则 ， 可求出，像点 就可准,axyzaxy,aAxyz确得到。由此，所有圆心的像坐标均可得求出。6问题二6.1 模型一此模型为问题一中建立的模型，求解问题
14、二只需带入具体的数据进行计算。相机分辨率为 1024 768，像距为 1577 个像素单位，用计算机在图 3 中测得 、 M、 的具体坐标值（单位统一换算成毫米）NP（-60.05，63.49，417.20）M（45.50，54.23，417.20）N（-71.69，-41.01，417.20）P第一步：将 、 、 的具体坐标带入算法第一步的方程组（1） ，用 MATLAB 软件M即可求得对应点 、 、 的坐标（程序见附录）（69.7018，73.6947，484.256）（53.6675，-63.9645，492.089）N（76.4746，43.747，445.044）P同时设靶标平面方程
15、 0xaybzc、 、 在该平面上，所以MN69.718 -3.47 a-8.256 b+c= 0569. +. . 解得12a =3.672, b-1.83, c=-5214.3所以靶标平面的方程为 .0xyz第二步：由算法第二步求解方程，求出靶标平面上五个圆心的空间坐标。将 、 、 的具体坐标带入方程组（2） ，可求出 A 点坐标MNPA（58.4049, -61.6097, -481.285）同理，带入相应方程组求得B(28.5578 , -59.2508 , -483.178), C(-41.0854 ， -53.7466 , -487.596)D(-35.6177 , 41.141
16、， -455.843), E(63.8726 , 33.2778 , -449.531)第三步：由算法第三步，将各圆心坐标代入方程（3） ，即可求出各圆心所对应像点的坐标。(-50.628 , 53.406 , 417.20)A(-24.658 , 51.160 , 417.20)B(35.154 , 45.987 , 417.20)C(32.598 , -37.653 , 417.20)D(59.279 , 30.884 , 417.20)E6.2 模型二不采用问题一中建立的算法，直接在像图上找出靶标上圆的圆心对应的像点，下面给出寻找像点的方法和证明。方法一（对角切点找圆心像）：理论依据：命
17、题 4：靶标平面上各圆外公切线交点组成的四边形的对角线经过圆心（例如图中点 M 和点 2 的连线经过圆 A 的圆心） 。命题 5：该公切线交点经透镜成像后的像点组成的四边形的对角线经过圆心的像。由命题 3 和命题 4 可推出命题 5 成立。13由命题 5，像平面中圆外公切线的交点的连线过经过靶标圆圆心的像，例如上图中点 和点 的连线 , 点 和点 的连线都经过圆 A 圆心的像 。那么，M213通过两条公切线得到交点，再由两个交点得到连线，最后两条连线的交点即可确定圆心像点坐标，图中 连线与 连线的交点就是圆 A 圆心的像 求解方法：将题目中的相片保存为黑白照片（单色） ，然后用 photosh
18、op 软件画出这五个圆的两两外公切线。如下图所示：MNPQ1231049627 5814用 Matlab 软件将图片文件读成 的 矩阵，通过计算机从图上10247681读出公切线交点坐标表一 （单位：像素）圆 A 圆 B 与圆A 圆 E 外公切线交点（285,144） （371,151） （359,234） （276,228）圆 A 圆 B 与圆B 圆 E 外公切线交点（363,234） （447,240） （484,161） （398,154）圆 A 圆 C 与圆C 圆 D 外公切线交点（611,172） （684,179） （668,255） （596,250）圆 C 圆 D 与圆D 圆
19、E 外公切线交点（555,469） （624,470） （610,537） （542,537）圆 A 圆 E 与圆D 圆 E 外公切线交点（249,465） （329,466） （320,538） （241,539）将对角的两点相连，圆心为对角线的交点，解交线方程得到圆心坐标，列表如下：表二 （单位：像素）ABCDE(323,190) (423,198) (640,214) (583,504) (285,502)将坐标原点移到照片中心（和题目要求的坐标系统一） ，得到表三 （单位：像素）ABCDE(-189,194) (-89,186) (128,170) (71,-120) (-227,-1
20、18)转换成毫米坐标：表四 （单位：毫米 ）mABCDE(-50.000,51.323)(-23.545,49.206)(33.862,44.974)(18.783,-31.746)(-60.053,-31.217)15方法二（坐标最大最小点找圆心像）：XBOA BA设 A( )，B,axyz,bxyz若 ，则成像后， ；bab纵坐标同理。命题 5：同一坐标系中，坐标最大点经成像后对应坐标最小点，坐标最小点经成像后对应坐标最大点。所以，原图中坐标最大最小点的连线经成像后仍为最大最小点的连线。命题 6：圆上的坐标最大最小点的连线经过圆心。由命题 5 和命题 6，像平面中，坐标最大最小点的连线经过
21、圆心的像。因此，分别找出 坐标最大最小点的连线和 坐标最大最小点的连线，交点就是所求xy圆心的像。例如图中 连线与 连线的交点就是圆 A 圆心的像。1324成像132 41234A求解方法：将题目中的相片保存为黑白照片（单色） ，然后用 Matlab 软件将图片文件读成 的 矩阵。1024768116在图像中分别读出各圆中 , 轴的坐标最大值与最小值，如下：xy最小 最大y最小x最大x圆A（325,149） （321,230） (282,191) (364,188)圆B（426,157） （420,236） (383,200) (463,194)圆C（645,176） （635,251） (6
22、04,218) (676,209)圆D（589,471） (577,535) (549,509) (617,497)圆E（289,467） （281,537） (246,506) (323,499)在读取各圆边界的最值时，有时候会遇到在求 的最值时，有多个 值的yx情况。这时我们取这些值的中点。然后将各圆的 坐标最大值与最小值相连，将各圆的 坐标最大值与最小值相x x连，得到的两条线交点即为相片中圆的圆心。将得到的圆心列表如下:（单位：像素）ABCDE(323,190) (423,197) (640,214) (583,503) (285,502)将坐标原点移到照片中心，得到（单位：像素）AB
23、E(-189, 194) (-89, 187) (128,170) (71,-119) (-227,-118)转换成毫米坐标：（单位：毫米）ABCDE(-50.000,51.323) (-23.545,49.471) (33.862,44.974) (18.783,-31.482) (-60.053,-31.217) 6.3 模型的优缺点和评价模型一优点：在像平面建立的直角坐标系中，求出靶标平面的三个不共线点的坐标。那么第四问中，只要重新根据靶标平面建立新的坐标系，进行坐标系变换就能很容易得出结果。缺点：只取靠近圆 A、C、E 的三个切点，由对应关系确定圆心，但这势必造成A、C、 E 圆圆心的
24、像点误差较小，而 D 圆圆心的像相差较大。模型二：优点：直接在像平面上就能找出各圆心所对应的像坐标，方法快捷放便。17缺点：没有给出靶标平面与像平面的对应关系。在后面第四问双目标定（两部相机定位）时，就很难通过靶标平面作为中介找到两部相机相对位置关系。7问题三7.1 讨论引起误差的因素对于我们所建立的模型，误差主要来自以下几个方面：1、照片本身：照片上确定点时，我们只能得到整数的像素坐标。也就是说我们只能确定我们所需要的点在像素格内，但并不能确定其具体坐标。一个像素格的边框为 。如图，在一个像素格内，能够允许的最大0.265m误差是像素格的对角线长，即 。也就是在照片的读取过程.0.375中就
25、会存在不超过 的误差。.372、处理过程： 灰度题目中所给的照片在各圆的周围其实并不是非黑即白的像素格，有一部分是灰色的。我们将题目中所给的照片转化成 黑白照片时，对灰色的像素格01该定义为白色还是定义为黑色时会产生误差。这些边界点的取舍将最终影响所取点的位置，从而影响到算法的准确程度。我们将题目中照片保存为 8 位的图像，将图像文件读入 Matlab 中，形成图像矩阵。矩阵各点的取值范围为 之间。其中 表示完全的白色，25表示完全的黑色，介于之间的数字则表示不同程度的灰色。在我们将图像25进行 化处理时，到底应该取哪个值为标准来分清一个灰点到底应该划分为01黑点还是应该划分为白点呢？我们从
26、每隔 取一次分隔值。一张图片600共 个像素格，我们将各分隔值与取该分隔值时的黑像素格个数对应列4768表如下：分隔值 60 80 100 120 140 160 180 200黑像素格个数22551 22617 22618 22618 22618 22618 22640 22942由上表可以看出当取的分隔值不同时，我们所得到的照片上黑色像素格的18个数是不一样的。而在照片中，灰色的像素格又只会出现在黑像素格与白像素格交界的地方，所以黑色像素格个数的改变就一定会对圆心的定位造成影响。也就是说分隔值的改变将对圆心的定位造成一定影响。 切线我们在用 photoshop 软件画圆的公切线时，由于圆的
27、边界不光滑，所以所画出的切线与圆的交点并不只有一个。这里就对切线的定位产生了一定的影响。因此这里也会产生一定的误差。因为在我们的做法中所找的点是曲线的交点，所以对曲线定位的误差会在之后的处理中被放大。 最近最远点的取值在每个圆最近与最远点的取值时经常遇到一个坐标的最值对应另一个坐标的多个值的情况。我们在处理这个问题的过程中只是粗糙地取这些值的中点。这样也可能造成一定的误差。例如我们在读 B 圆的最下端的点时，有 18 个并列的点。我们在处理时只取了这 18 个点的最左与最右坐标的平均值。但实际中呈的像完全右可能与我们取的坐标偏离一到两个像素格，这里就对应了的误差。0.265.9m 计算在计算时
28、，我们对小数位数进行了四舍五入，这也会对结果产生一定的误差。7.2 模型一的分析和检验模型一求出结果(-50.628 , 53.406 , 417.20)A(-24.658 , 51.160 , 417.20)B(35.154 , 45.987 , 417.20)C(32.598 , -37.653 , 417.20)D(59.279 , -30.884 , 417.20)E模型二用直接法求出的结果 ABCDE(-50.00,51.32) (-23.54,49.21) (33.86,44.97) (18.78,-31.74) (-60.05,-31.21)(-50.00,51.32) (-23
29、.54,49.47) (33.86,44.97) (18.78,-31.42) (-60.05,-31.21)经对比，可看出 ， ， ， 点误差较小, 点误差较大。E分析：模型一中求解，取靠近圆 A、C、E 的三个切点，由对应关系确定圆心，但这势必造成 A、C、E 圆圆心的像点误差较小，而 D 圆圆心的像相差较大改进：理论上 、 、 三点足以给出靶标平面上所有点与像的对应关系，但MNP公切线交点有很多个，如果将参考点（公切线交点）取的尽量多，通过计算机求最小二乘解，结果会更精确。197.3 模型二的分析和检验：方法一和方法二得出的结果 ABCDE(-50.00,51.32) (-23.54,4
30、9.21) (33.86,44.97) (18.78,-31.74) (-60.05,-31.21)(-50.00,51.32) (-23.54,49.47) (33.86,44.97) (18.78,-31.42) (-60.05,-31.21)由上表对比可看出，两种方法确定的圆心坐标十分近视。所以下面只对方法一确定的圆心的像坐标进行检验。检验方案为将确定的像圆心坐标返回到原靶标平面，与实际圆心坐标进行比较。精度分析：模型一中已求出靶标平面的方程3.6721.835214.0xyz（4）由凸透镜成像原理，实点、光心、像点在一条直线上。若像点 对应(,)xyz的实点为 ，则有(,)xyzxyz
31、（5）联立（4） （5） ，可求出对应到靶标平面的点坐标(57.5924,59.116,-480.546), (27.2326,56.913,482.537)A B(-39.5329,52.5047,-487.058), (-20.5607,34.7504,-456.678)CD(64.692,33.6284,-449.424)E由距离公式可求出这几个点的距离关系=30.5047 =97.5679BAC=98.0844 =94.3203=85.5681 D实际圆心的距离关系AB=30 AC=100AE=100 DC=100DE=100由上面数据可以看出 间距离相差较大，其他距离都比较准确。证明
32、模DE型二的图像取点比较准确，误差较小。且模型二中用的两种方法取点得出的结20果只有极微小误差，也说明模型二取点法的精确程度。 误差较大是由模型DE一中取 、 、 的坐标求出的靶标平面方程不很精确造成的（可在改进模型MNP中尽量多取公切点，通过软件用最小二乘法求解） 。可给出精度评价指标 disp=dispAB-C-AE-DC-E-越小，精度越高；is越大，精度越低；dis稳定性分析：对于模型的稳定性，我们考虑的是当像平面上的点移动一个微小距离时，靶标平面上点的移动情况。我们先针对 点进行分析：A当 点的坐标分别沿 轴和 轴的正方向和反方向移动一个像素单位时xy的变化情况。则 与移动后的 4
33、个点的坐标分别为：A ， ，(189,457)1(8,9157)2(190,457)A，3 43A将移动后的四点根据成像原理映到靶标平面后，得到坐标：，1(57.29,.15,80.7)A2(57.893,.126,480.5)，36048346403A然后求各坐标方向上的平均绝对偏差：对于 坐标有：x41|xaaidx同样，我们可以求出 与 。然后算出距离的平均绝对偏差yasz220.34xayzadd这就是 点的稳定性。我们考虑也许取一个点误差比较大，于是又取了 、A B、 、 ,用同样的方法算出了：CDE， ， ，0.23b0.237c.21d.21e然后对五点取平均，算出这个算法的稳定
34、性： .4.06521对于其它的数据，我们将在附录中列出。可定义稳定性指标如下：= （ + + + + ）p15adbcde越小，稳定性越好越大，稳定性越8问题四8.1 模型分析：以靶标平面为参考建立物三维坐标系，然后以该坐标系为中间桥梁建立两部相机坐标变换的具体过程，如下图所示： 1x1y1zM 2xy2z1M2MR,r8.2 模型建立：步骤 1分别建立两部相机坐标系与物坐标系变换关系：以相机一坐标系与物坐标系变换为例，以圆 A 的圆心为坐标原点， 方AE向为 轴正向， 方向为 轴正向，建立物三维直角坐标系。将物坐标系沿着xACy线性平移到相机坐标系，令1O表示物坐标系中点的坐标矩阵表示像坐
35、标系中对应像的坐标矩阵，则有：1， （ ） （A） 11Pr1=AO22其中， 。设靶标中五个圆心在物坐标即像坐标中的坐标分别为（ ）,iixyz和（ ） ， （i=15 ） ，则有：1,iixyz（1）111,(5)AoiiiioxxyyizzP是正交变换矩阵，则的每个列向量都是单位向量，且两两正交。1P，则有：23=(p,)（2）1,(2,3)ip（ 且 ） （3）0ijjij由于表达式（1）中的 5 个点都在靶标平面上，即 ，也就是说物的三0iz维坐标系实质上仍然是一个平面坐标系，因此必然会限制对 的求解。因此为1P了确实将靶标平面拉到三维空间中，就应该在靶标平面中外再寻找一个点。如图所
36、示： 1y1x1zA1NN 像平面 靶标平面xyz是像平面的中心，其关于像坐标原点的对称点为 N，在物坐标系中 N1N点坐标 ，在像坐标系中 N 点坐标 ：(,)xyzn1(,)xyzn由像坐标系可求得 N 点到靶标平面上三个圆心（如 A、C 和 E）的距离（23、 和 ） ，坐标变换并不改变空间两点间的距离，步骤一物平面坐标系的建ace立过程知 A（0，0，0） ，C（0， ，0） ，E（ ,0,0）已知因此：cyex2222()xzyczxenane由以上三式联立即可解得物坐标系中 N 点坐标。这样由以下方程即可求得 ：1P(4)1111111,(5)0,(2,3),)Aoiii oAox
37、xyyzzoxxyyizzijijn ijpP同理，可建立物坐标系到相机二坐标系的坐标变换公式：（B）22r用同样方法可解物坐标到相机二坐标系坐标变换的矩阵 2P步骤二由两部相机坐标系的变换确定相机光学中心的相对位置：由（B ）式可得： 22-1-=Pr带入（A）式，解得相机二坐标系到相机一坐标系的空间变换公式为：（C）-1-122+这样，相机二的光学中心就可以在相机一的坐标系中表示出来，如下所示：相机二坐标系中原点为 02带入（B ）式得 -12=Pr24带入（A）式，得到相机二坐标系原点在相机一坐标系的坐标：（D）0-112=Pr+步骤三像平面的确定：步骤二仅仅确定了相机二光学中心在相机一
38、中的坐标，而两部相机像平面的关系仍然未知，这样两部相机的相对位置就不能唯一确定。在相机二坐标系下，设第二部相机像平面为，坐标表示为(2)zu2u23e带入（B ）式得 223(P+r)带入（A）式得 -1i=()从而解得相机二的像平面在相机一坐标系下的平面方程为（E）2u-1223P(r)+e8.3 问题四结论通过上述三个步骤，解得相机二坐标到相机一坐标的空间变换方程为： -1-122=P+r确立了相机二的光学中心即相机二坐标系的原点在相机一坐标系的坐标和相机二像平面在相机一坐标系的平面方程，通过这两个条件就得到了确定两部相机相对位置的模型：原点坐标 0-112=Pr+像平面方程 2u-23(
39、)e9 模型的推广本文主要围绕相机标定及双目立体视觉进行模型的建立与求解，并且在问题四中建立了确定两相机相对位置的坐标变换方程 。这一方程在12M=R+r许多领域都有可以应用，比如传感器标定、机器视觉、产品配件的质量检测等，此外，还有一项非常重要的应用就是本文题目中提及的交通监管问题。然而我们必须意识到该坐标变换方程是针对静态物体建立的，即靶标固定不动，然而交通监管的对象以运动的车辆及行人为主，因此上述坐标变换方程存在很大的制约性。基于此，我们应该考虑如何将运动的物体特征体现出来，于是想到了25将时间作为变量加到坐标变换方程中去。即用一部相机追踪物体两个不同时刻的位置坐标，以此建立 模型【2】
40、 。1M=R+t如果 是空间坐标变换方程，则可以称 为时间坐12r 12M=R+t标变换方程。此方程在交通监管中有着更宽的应用空间，对交通目标追踪以及交通事故还原等都有极大的帮助。10 参考文献【1】 【2】 马颂德，计算机视觉，http:/ 附录 SOBABAMM如图所示，线段 经 点中心成像到平面 ，像为线段 ，当线段OAB不平行于平面 S 时,如果 仍为像线段 的中点，则：ABB在 中，由正弦定理得：OOMSinSin在另外三个三角形 、 、 中，也可以由正弦定理得到：MA， ，BSinOiAiSinOSnM由假设： ，AB26得：,SinBOMSinAiBOMSinAA由对顶角：,得：
41、 0SinSinBO所以 BOM即 /A这与假设矛盾，所以命题 1 得证。程序图像读入：t,cmap=imread(D:matlab7.1workt.jpg)；求解物平面：Solvexm60.05 ym63.49,ym63.49 zm417.20,xn45.50 yn54.23,yn54.23 zn417.20,xp71.69 yp41.01,yp41.01 zp417.20,xm xn2 ym yn2 zm zn2 1242,xm xp2 ym yp2 zm zp2 1242,xm xn xm xp ym yn ym yp zm zn zm zp 0,xm,xn,xp,ym,yn,yp,zm
42、,zn,zp精度分析：xa=57.592;ya=-59.116;za=-480.546;xb=27.232 ;yb=-56.913 ;zb= -482.536;xc= -39.532;yc=-52.504 ;zc=-487.057 ;xd= -20.560;yd=34.750 ;zd=-456.678 ;xe=64.691 ;ye= 33.628;ze= -449.423;xa xc2 ya yc2 za zc2xa xe2 ya ye2 za ze2xd xe2 yd ye2 zd ze2xd xc2 yd yc2 zd zc2xa xb2 ya yb2 za zb2结果：97.5676 9
43、8.0844 85.5681 94.3203 30.5047稳定性分析：xa1=57.291 ;ya1=-59.119 ;za1 = -480.574;xb1=26.928 ;yb1= -56.916;zb1 = -482.565;xc1=-39.844 ;yc1=-52.507 ;zc1 =-487.086 ;xd1=-20.851;yd1=34.752 ;zd1 = -456.703;xe1=64.410;ye1=33.630 ;ze1 = -449.448;xa2= 57.893;ya2=-59.112 ;za2 = -480.518;xb2= 27.536;yb2=-56.909 ;z
44、b2 = -482.508;xc2= -39.221;yc2= -52.501;zc2 = -487.029;27xd2=-20.269 ;yd2= 34.748;zd2 = -456.652;xe2=64.973 ;ye2=33.626 ;ze2 = -449.399;xa3=57.604 ;ya3= -59.433;za3 = -480.649;xb3= 27.238;yb3=-57.231 ;zb3 = -482.641;xc3= -39.541;yc3=-52.825;zc3 = -487.164;xd3=-20.564 ;yd3=34.467 ;zd3 =-456.771 ;xe3=
45、 64.704;ye3=33.350;ze3 =-449.514 ;xa4= 57.580;ya4=-58.798 ;za4 =-480.443 ;xb4=27.226 ;yb4=-56.594 ;zb4 = -482.432;xc4= -39.524;yc4=-52.184 ;zc4 =-486.951 ;xd4=-20.556 ;yd4=35.032 ;zd4 =-456.585 ;xe4=64.678 ;ye4= 33.906;ze4 =-449.333 ;StatisticsDescriptiveStatisticsxa=MeanDeviationxa1,xa2,xa3,xa4;xb=
46、MeanDeviationxb1,xb2,xb3,xb4;xc=MeanDeviationxc1,xc2,xc3,xc4;xd=MeanDeviationxd1,xd2,xd3,xd4;xe=MeanDeviationxe1,xe2,xe3,xe4;ya=MeanDeviationya1,ya2,ya3,ya4;yb=MeanDeviationyb1,yb2,yb3,yb4;yc=MeanDeviationyc1,yc2,yc3,yc4;yd=MeanDeviationyd1,yd2,yd3,yd4;ye=MeanDeviationye1,ye2,ye3,ye4;za=MeanDeviationza1,za2,za3,za4;zb=MeanDeviationzb1,zb2,zb3,zb4;zc=MeanDeviationzc1,zc2,zc3,zc4;zd=MeanDeviationzd1,zd2,zd3,zd4;ze=MeanDeviationze1,ze2,ze3,ze4;a=Sqrtxa2+ya2+za2
