实变函数综合练习题new.doc

1、1实变函数综合练习题实变函数综合训练题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A） （B） ()B()A（C） （D）2、若 是开集，则（ B ）nER（A） （B） 的内部 （C） （D）EEE3、设 是康托集，则（ C ）P（A） 是可数集 （B） 是开集 （C） （D）P0m1P4、设 是 中的可 测集， 是 上的简单函数， 则（ D ）E1R()x（A） 是 上的连续函数 （B） 是 上的单调函数()x()xE（C） 在 上一定不 可 积 （D） 是 上的可测函数L5、设 是 中的可测集， 为 上的可测函数，若 ，则（ A ）EnR()fxE()d0Ef

2、x（A）在 上， 不一定恒为零 （B）在 上， ()fz z（C）在 上， （D）在 上， 0()0f二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设 是 中的无理点全体，则（C、 D）E,（A） 是可数集 （B） 是闭集 E（C） 中的每一点都是聚点 （D） 0m2、若 至少有一个内点，则（ B、D ）1R（A） 可以等于零 （B） *m*（C） 可能是可数集 （D） 是不可数集E3、设 是可测集，则 的特征函数 是 （A、B、C ）,abE()EXx（A） 上的简单函数 （B） 上的可测函数 ,ab（C） 上的连续函数 （D） 上的连续函数E4、设 在可测集 上 可 积， 则（

3、B、D ）()fxL2（A） 和 有且仅有一个在 上 可积 ()fzfEL（B） 和 都在 上 可积（C） 在 上不一定 可 积 ()fzEL（D） 在 上一定 可积5、设 是 的单调函数，则（ A、C、D）()fz,ab（A） 是 的有界变差函数 （B） 是 的绝对连续函数()fz,ab（C） 在 上几乎处处连续 （D） 在 上几乎处处可导()fz,三、填空题（将正确的答案填在横 线上）1、设 为全集， ， 为 的两个子集， 则 。XBXACB2、设 ，如果 满足 ，则 是 闭 集。nERE3、若开区间 是直线上开集 的一个构成区间， 则 满足 、(,)G(,)(,)G。G4、设 是无限集，

4、则 的基数 （其中 表示可数基数）。AAa5、设 ， 为 可测集， ，则 。1E22mE12()E12mE6、设 是定义在可测集 上的实函数，若 对任意实数 ，都有()fx a()xfa是 可测集 ，则称 是可测集 上的可测函数。()fx7、设 是 的内点，则 。0x1ER*mE08、设函数列 为可测集 上的可测函数列，且 ，则由黎斯定理()nf ()()nfxfE可得，存在 的子列 ，使得 。nx()knfx()knf.ae9、设 是 上的可测函数，则 在 上的 积分不一定存在，且 在 上 不()fEEL()fx一定 可积。L10、若 是 上的绝对连续 函数， 则 一定 是 上的有界变差函数

5、。()fx,ab()fx,ab四、判断题（正确的打“”，错误的打“”）1、可列（数）个闭集的并集仍为闭 集。 （ ）2、任何无限集均含有一个可数子集。 （ ）3、设 是可测集，则一定存在 型集 ，使得 ，且 。（ ）EGEG()0mE34、设 是零测集， 是 上的实函数，则 不一定是 上的可测函数。 （ ）E()fzE()fxE5、设 是可测集 上的非 负可测函数， 则 必在 上 可积。 （ ）()fz L五、简答题1、简述无穷多个开集的交集是否必 为开集？答：不一定为开集。例如 取 上一列开集为 ，1R1(,)n1,23而 是闭集，不是开集。1(,),nn2、可测集 上的可测函数与 简单函数

6、有何关系？E答：简单 函数是可 测函数；可测 函数不一定是 简单函数；可测 函数一定可以表示成一列简单函数的极限。3、 上的有界变差函数与 单调函数有何关系？,ab答：单调 函数是有界 变差函数；有界 变差函数不一定是 单调函数，但一定可以表示成 单调 函数的和或差。六、计算题1、设 ，其中 是有理数集，求 。10,1()xQDx 0,1()dDx解： 因为 ，所以 于 ，于是,m()0.Dxae,0,10,1d2、求 。0ln()icosxne解： 因为 l()ln(1)1)()x xxxnee 而 0(1)xed所以，由 控制收敛定理L0 0 0ln()ln()imcosimcosdx x

7、neex 七、证明题1、证明集合等式： ()()()ABCBC证明： （方法 1）对任意 ，有 且 ，即 或 且x()xAxCAxB4xC所以 或 ，即 。AxBC()()xABC反之，对任意 ，有 或 ，即 或 且 ，()()xxABxC所以 且 ，即 ，xx综上所述， 。()()()ABCBC（方法 2） 。()()()cccAACB2、设 是 中的有理点全体，则 是可测集且 。0E,10E0m证明： 因为 是可数集，则 012,nr 对任意 ，取开区间 ， ，显然它们把 覆盖住。11()nn, 0E于是 。让 得， ，从而 是可测集且 。*012nmE*0mE0m3、证明： 上的 实值连

8、续函数 必为 上的可测函数。R()fx1R证明：因为对于任意实数 ，由 连续函数的局部保号性易知， 是开集，从而a1()Rxfa是可测集。所以 必为 上的可测函数。1()xf()fx14、设 是可测集 上的 可积函数， 为 的一列可测子集， ，如果1ERLnEmE，则 。limnnli()d()nEfxfx证明：因为 且 ，所以)nnnm从而由题设 li()li0nn nE又 在 上的 可积，且 ()fx1ERL()()d)(d()n n nEEEfxffxfx )()dnnnnEfx所以由积分的绝对连续性得 lim()d()lim()d0n nEEEfxfxfx即 。li)nEf55、设 是

9、可测集 上的 可积函数， 为 中的一列递增可测子集，()fx1ERLnE。1lim()d()n nEEfxfx证明：记，其中()()nnEfxfx ,()0nnEx显然在 上， ， 且1nEnfffnff1()()nnEExdx于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论。实变函数综合训练题（二）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A） （B） ()()()BCC()A（C） （D）2、若 是闭集，则（ B ）nER（A） 的内部 （B） （C） （D）EE3、设 是有理数集，则（ C ）Q（A） （B） 是闭集 （C） （D） 是不可数集0m0mQ4、设 为 上的连续函数

10、， 为任意实数， 则（ D ）()fx1Ra（A） 是开集 （B） 是开集1()Rxfa（C） 是闭集 （D） 是开集1()xf5、 设 是 中的可测集， ， 都是 上的可测函数，若EnR()fxgE，d0E则（ A ）6（A） 于 （B）在 上， ().fzgxaeEE()fzgx（C）在 上， （D）在 上，E()f二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设 是 中的有理点全体，则（C、 D）0,（A） 是闭集 （B） 中的每一点都是内点 E（C） 是可数集 （D）E0m2、若 的外测度为零，则（ B、D ）1R（A） 一定是可数集 （B） 一定是可测集 （C） 不一定是可

11、数集 （D） 3、设 ，函数列 为 上几乎处处 有限的可测函数列， 为()nm()nfxE()fx上几乎处处有限的可测函数，若 ，则下列哪些结论不一定成立E()f（A、B、C、D）（A） 存在 （B） 在 上 可积 ()dEfx ()fxL（C） （D） .()aenElimd()nEEfx4、若 在可测集 上有 积分值， 则（A 、C ）()fxL（A） 和 中至少有一个在 上 可积 z()f L（B） 和 都在 上 可积()fE（C） 在 上也有 积分 值 zL（D） 在 上一定 可积()f5、设 是 的绝对连续 函数， 则（ A、B、C ）z,ab（A） 是 上的连续函数 （B） 是 上

12、的一致连续函数()f ()fz,ab（C） 是 上的有界变 差函数 （D） 在 上处处可导z,三、填空题（将正确的答案填在横 线上）1、 设 ， 是两个集合，则 BA()A2、设 ，如果 满足 ，则 是 开 集。nERintE3、设 为直线上的开集，若开区间 满足 和 ，则 G(,)(,)G,G必为 的 构成 区间。(,)74、设 是偶数集，则则 的基数 （其中 表示可数基数）。AAa5、设 ， 为 可数集， 且 ，则 。1E221E2m12()E12mE6、设 是可测集 上的可 测函数， 则对任意实数 ， （ ），都有()fx ba是 可测集 。ab7、若 是可数集，则 。1ER*mE08、

13、设函数列 为可测集 上的可测函数列， 是 上的可测函数，如果()nfx()fxE，则 不一定成立 。.()aenfx()(nfxf9、设 是 上的非负可测 函数， 则 在 上的 积 分的值 一定存在 。E)L10、若 是 上的有界 变差函数， 则 必可表示成两个 递增函数的差（或递减函()fx,ab(fx数的差） 。四、判断题（正确的打“”，错误的打“”）1、可列（数）个开集的交集仍为 开集。 （ ）2、任何无限集均都是可数集。 （ ）3、设 是可测集，则一定存在 型集 ，使得 ，且 。（ ）EFE()0mF4、设 是可测集，则 是 上的可测函数 对任意实 数 ，都有 是可测()fzEa()x

14、fa集。 （ ）5、设 是可测集 上的可 测函数， 则 一定存在。 （ ）()fz ()dEfx五、简答题1、简述无穷多个闭集的并集是否必 为闭集？答：不一定为闭集。例如 取 上一列闭集为 ，1R1,n1,23而 是开集，不是 闭集。1,(,)nn2、可测集 上的可测函数与 连续函数有何关系？E答：连续 函数是可 测函数；可测 函数不一定 连续；可测 函数在 上是“基本上”连续的。3、 上的绝对连续函数与有界 变差函数有何关系？,ab答：绝对连续函数是有界变差函数；有界 变差函数不一定是 绝对连续函数。六、计算题81、设 ，其中 是康托集，求 。23()0,1xPf 0,1()dfx解：因为

15、，所以 于 ，于是m3().fxae,30,10,1dfx再由 积分与 积分的关系得LR。1334100,10,10()fxxx2、设 ， ，求 。2()nfx,Elim()dnnEf解：因为 ，而21()nxf12Ex所以，由 控制收敛定理Llim()dli()d0nnnEEEfxf七、证明题1、证明集合等式： ()()()ABCAC证明：（方法 1）对任意 ，有 且 ，即 且 ，xxBxABxC所以 且 ，即 。x()()反之，对任意 ，有 且 ，即 且 ， ，()()ABCxACxx所以 且 ，即 ，x)综上所述， 。()()(（方法 2）。()()()()()()ccccABCABCA

16、CBAC2、设 ，且 ，则 是可测集。1ER*0mE证明： 对任意 ，显然1T*()()cTmTE又 （因为 ），从而*()0所以 （因为 ）*()()ccEcT所以 ，即 是可测集。*cmTTE93、证明： 上的 单调函数 必为 上的可测函数。1R()fx1R证明：不妨设 是单调递增函数， 对于任意实数 ，记 ，由于()fxa10inf()Rxa是单调递增函数， ，显然是可()fx 001 1(,)()()ffx测集。所以 必为 上的可测函数。()f1R4、设 是可测集 上的可测函数， 则 在 上 可积 在 上 可积。xnE()fxEL()fxEL证明：必要性：因为 在 上 可积，则 和()

17、fxL()dEf()dEf而 ，所以()fx，()d()()EEEfxfxfx即 在 上 可积。()fxL充分性：因为 ，且 ，()Efx0()fxf0()fxf则 ， 。dEfxdEE所以 在 上 可积。()L5、设 可测集 上的非 负可测函数列，且 （ ）， 存在 使得nfx 1()()nnfxf0k，0dkEf记 ，则 在 上勒贝格可积，且lim()nfxf()fx。lim()()nEEfxfx证明：不妨设 ，由 题设注意到 单调递 减可得1()Efxd n，1()0fxf且在 上恒有，lim()nff于是，由勒贝格控制收敛定理得， 在 上勒贝格可积 ，且xE10。lim()d()nEE

18、fxfx6、 设 ， 为 上几乎处处有界的可测函数列，证明：在 上 的mE()nfx E0nfx充要条件是 。lid01()nnEf证明：先证 。()()nnxfxf事实上，由对任意 ， 再结合依测度收敛的定义即可0()1nnfxf 得上面的结论。下面证明本题的结论。必要性：因 可得 ，于是 ， ，当 时，有()0nfx()01nfx0Nn()nfmEx因此，当 时，并注意到 和 可得nN()1nf()nfmEx() () 1 1()()()ddd1n nn n nEfx fxEEfxf fx (1)()()n nf fmmmExx 所以 。()lim01nnEfxd充分性：对任意 ，由()1

19、()()()dd0()1 1nn nnEfxEfxffxnx可得 ，从而 。()0nfx()0nf11实变函数综合训练题（三）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A） （B）()B()AB（C） （D）2、若 是孤立点集，则（ B ）nER（A） （B） （C） 的内部 （D）EE3、设 是 上的无理数集， 则（ C ）W0,1（A） 是可数集 （B） 是开集 （C） 是不可数集 （D）W0m4、设 是 上的单调函数，则（ D ）()fx1R（A） 在 上连续 （B） 在 中的不连续点有不可数个()fx1R（C） 在 上一定不 可积 （D） 是 上的可测函数()f

20、x1L5、设 是 中的可测集， 为 上的可测函数，若 ，则（ A ）EnR()fxE2()d0Efx（A）， 在 上几乎处处为零 （B）在 上， ()fz z（C）在 上， （D） 0()0mxf二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设 是 上康托集， 则（B、 C）E,（A） 是可数集 （B） 是闭集 E（C） 中的每一点都是聚点 （D） 02、若 至少有一个聚点，则（C、 D ）1R（A） （B） *0m*m（C） 可能是可数集 （D） 可能是不可数集E3、设 是不可测集，则 的特征函数 是 （C、D ）,abE()EXx（A） 上的简单函数 （B） 上的可测函数 ,ab

21、（C） 上的连续函数 （D） 上的不可测函数E4、设 在可测集 上不 可积， 则（ B、D ）()fxL（A） 和 都在 上不 可积 z()fE12（B） 和 至少有一个在 上不 可积()fzfEL（C） 在 上可能 可积 EL（D） 在 上一定不 可 积()fz5、设 是 的有界变 差函数， 则（ A、D）,ab（A） 在 上几乎处处连续 （B） 是 的连续函数()fz ()fz,ab（C） 在 上不可导 （D） 在 上几乎处处可导,三、填空题（将正确的答案填在横 线上）1、设 为全集， ， 为 的两个子集， 则 XBXA()AB2、设 ，如果 满足 ，则 是 完全 集。nERE3、若开区间

22、 和 是直 线上开集 的两个不同的构成区 间， 则(,)ab,cdG(,),abcd。4、设 是无限集， 是至多可数集，则 的基数 。ABABA5、设 ， 为 可测集， ，则 。1E220mE12()E1m6、设 是定义在可测集 上的有限实函数，若 对任意 实数 ，都有()fx ab是可测集， 则 是可测集 上的 可测函数 。ab()fx7、设 是孤立点集，则 。1ER*mE08、设函数列 为可测集 上的可测函数列，且 ，则()nfx ()()nfxfE()nfx不一定成立 。.ae9、设 是 上的可测函数，则 在 上的 可积的充要条件是 在 上 ()fxE()fxEL()fx勒贝格可积 。1

23、0、若 是 上的有界 变差函数或绝对连续函数，则 上的导数()f,ab ()f,ab几乎处处存在 。四、判断题（正确的打“”，错误的打“”）1、可列（数）个 型集的并集仍 为 型集。 （ ）FF132、无限集中一定存在具有最大基数的无限集。 （ ）3、设 是可测集，则一定存在开集 ，使得 ，且 。（ ）EGE()0mGE4、设 和 都是可 测集， 是 和 上的可测函数，则 不一定是 上的12()fz12fx12E可测函数。 （ ）5、设 是可测集 上的可 测函数，且 存在（可 为 ），则 和 至少()fz ()dEfx()ffx有在 上 可积。 （ ）EL五、简答题1、简述无穷多个零测集的并集

24、是否必 为零测集？答：不一定为零测集。例如 ，显然 为单元素集，为零测集， 不是零测集。1xRx1R2、 上的可测 集与 Borel 集的关系？1R答：Borel 集是可测集；可测 集不一定是 Borel 集；可测 集一定可以表示成一个 Borel 集与零测集的差或并。3、可测集 上的可测函数与 连续函数有何关系？1E答：可 测集 上的连续函数一定是可测函数；可测 集 上的可 测函数不一定是连续函数；对 上的一个可 测函数，任取 ，在可 测集 中去掉一个 测度小于 的可测子集0E后，可使此可测函数成为连续 函数。六、计算题1、设 ，其中 是有理数集，求 。sin,1()0xeQf 0,1()d

25、fx解： 因为 ，所以 于 ，于是0,1m().fxae,0,10,1d2f2、设 ， ，求 。2()nxf(,Elim()nnEfxd解：因为 ，而12122()n xfx12Ex所以，由 控制收敛定理Llim()li()0nnnEEEfxdfxd七、证明题1、证明集合等式： ()()ABCB14证明： （方法 1）对任意 ，有 且 ，即 ， 且()xABC()xABxCAxBC所以 或 ，即 。xC反之，对任意 ，有 且 ，即 ， 且 ，所以()xxx且 ，即 ，()xABx()ABC综上所述， 。（方法 2） 。()()()()()CCCBAB2、设 是 中的无理点全体，则 是可测集且

26、。0E,10E01m证明： 记 是 中的有理点全体，由于 是可数集，从而 可测，且 。又0Q, Q00mQ，所以， 是可测集且 。0,000,3、设 ， ，证明： 是 上的可测函数的充要条件是 为可测1ER,()Ex()Ex1RE集。证明：充分性：因为 是 上的可测函数， 则对任意实数 ，()Ex1Ra1()Exa是可测集，特别取 ，注意到 ，可得 为可测集。2a1()2Ex必要性：若 为可测集，则 是 上的简单函数，从而为 上的可测函数。1 1R4、设 为可测集 上的可测函数列，若 ，则在 上()nfx1Rlim|()|0nEnfxdE。0证明：对任意 ，由于()()()nnnnEExfmE

27、xf fxdfxd所以，li()0nnf即在 上 。E0nfx5、设 ，若 是 上一列几乎处处收敛于零的可 积函数，且满足对任意m()nfE15，存在 ，只要 ，就有 ，证明：0,eEm|()|(1)nefxd。li|0n证明：由题设及 Egoroff 定理得，对题设中的 ，存在可测集 ， ，在FEm上 一致收敛于 ，从而 对题设中的 ，存在 ，当 时EF()nfx0Nn|()|,)nfxE于是，当 时，并注意到题设的条件，有N。|()|()|()|()(1)nnnEFEFfxdfdfdmFE即 。lim|0x实变函数综合训练题（四）（含解答）一、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案

28、）1、设 是 中的有理点全体，则（C、 D）考核对典型集合掌握的情况 E0,（A） 是闭集 （B） 中的每一点都是内点 E（C） 是可数集 （D） 0m2、设 是 中的无理点全体，则（C、 D）,（A） 是可数集 （B） 是闭集 （C） 中的每一点都是聚点 （D）E 0mE3、若 的外测度为零，则（ B、D ）考核零测集的特点1R（A） 一定是可数集 （B） 一定是可测集 E（C） 不一定是可数集 （D） 0m4、若 至少有一个内点，则（ B、D ）考核典型集的外测度可数性的特点1（A） 可以等于零 （B） （C） 可能是可数集 （D） 是不可数集*mE*E5、设 ，函数列 为 上几乎处处 有

29、限的可测函数列， 为()nR()nfx ()fx上几乎处处有限的可测函数，若 ，则下列哪些结论不一定成立()fE（A、B、C、D）考核可测函数与勒贝格积分的 简单综合（A） 存在 （B） 在 上 可积 ()dEfx ()fxL（C） （D） .()aenElimd()nEEfx6、设 是可测集，则 的特征函数 是 （A、B、C ）考核特征函数的特点,b()X（A） 上的简单函数（B） 上的可测函数 （C） 上的 连续函数（D ） 上的连续函a,ab ,ab16数7、若 在可测集 上有 积分值， 则（A 、C ）考核勒贝格积分的定义()fxEL（A） 和 中至少有一个在 上 可积 （B） 和 都

30、在 上 可积z(f ()fzfEL（C） 在 上也有 积分 值 （D） 在 上一定 可积()f E8、设 在可测集 上 可 积， 则（ B、D ）考核勒贝格积分的定义xEL（A） 和 有且仅有一个在 上 可积 （B） 和 都在 上 可积()fzf L()fzfEL（C） 在 上不一定 可 积 （D） 在 上一定 可积()fEL9、设 是 的绝对连续 函数， 则（ A、B、C ）考核绝对连续函数、有界 变差函数的基()fz,ab本性质（A） 是 上的连续函数 （B） 是 上的一致连续函数()f,()fz,ab（C） 是 上的有界变 差函数 （D） 在 上处处可导zab10、设 是 的单调函数，则

31、（ A、C、D）考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性()f,质（A） 是 的有界变差函数 （B） 是 的绝对连续函数()fz,ab()fz,ab（C） 在 上几乎处处连续 （D） 在 上几乎处处可导二、单项选择题 （每题仅有一个正确答案）1设 是 中的无理点全体，则 是（ ）.考核对典型集合掌握的情况E0,E（）可数集 （）有限集 （）不可数集 （）零测集 2下面集合关系成立的是（ ）. 考核对集合的基本运算掌握的情况（） （） （） （）()AB()AB()BABA3若 至少有一个内点，则有（ ）. 考核对典型集合外测度掌握的情况2ER（） （） （） （） *0m*0Em0E4设 是开集

32、，则（ ）.考核开集闭集的基本特征（） （） （） （）5设 是可测集，则 的特征函数 是 上的（ ）. 考核对集合的特征函,Eab()EXx,ab数的认识（）简单函数 （）常函数 （）连续函数（）单调函数176设 是有理数集， ,则 是 上的（）.考核目标同上题0,1Q1,()0xQD()Dx0,1（）连续函数（）单调函数（）简单函数（）定积分存在的函数7设 在可测集 上勒贝 格可积， 则（）. 考核勒贝格 积分的定义()fxE（） 和 有且仅有一个在 上勒贝格可积；（） 和 都在 上勒贝格()f ()fxfE可积（） 和 都在 上不勒贝格可积；（） 在 上不勒贝格()fxf ()()fff

33、可积8设 是 上的无理数集， 表示连续基数，则（）. 考核对典型集合基数和测度掌握W0,1c的情况（） （） （） （）c0mW19设 是 上的单调 函数， 则 是 上的（ ）. 考核基本的有界变差函数和()fx,ab()fx,ab绝对连续函数（）连续函数 （）绝对连续函数 （）可导函数 （）有界变差函数10设 在 上绝对连续 ，则 在 上（）.考核绝对连续函数的关系的基本()fx,()fx,性质（）有界变差 （）可导 （）单调 （）连续可微三、填空题 1设 ， 为 的两个子集，则 等于 考核集合之间的基本关系ABXABC2设 ， 为两个集合，则 等于 考核目标同上()A3设 ，如果 满足 ，

34、则 是 闭 集考核开集、闭集的定义nERE4设 ，如果 中的每一点都是内点，则 是 开 集考核开集、闭集的定义E5若开区间 是直线上开集 的一个构成区间， 则 满足 且 (,)G(,)(,)G考核开集的构成区间的定义和特点,G6设 是 上的开集 ,若开区间 满足 且 ,则称 是开集 的E1R(,)ab(,)Eab(,)abE构成 区间考核开集的构成区间的定义和特点7设 是无限集，则 的基数 大于或等于 （其中 表示可数基数） 考核可数集AA的性质8设 是偶数集，则 的基数 等于 （其中 表示可数基数） 考核可数集的性质a189设 ， 为 可测集， ，则 大于或等于 考核测度1E22mE12()

35、E12mE的性质，单调性和次可加性10设 ， 为可测集，则 小于或等于 考核测度的性质，次可加性 AB()ABAB11设 是定义在可测集 上的实函数，若 对任意实数 ，都有 是 可测()fx a()xfa集 ，则称 是可测集 上的可 测函数. 考核可测函数的定义E12设 是可测集 上的可 测函数， 则对任意实数 ， ( )，有()fx b是Eab可测 集. 考核可测函数的基本性 质13设 是可数集，则 等于 .考核典型集合的测度和外测度1R*mE014设 是康托集，则 等于 .考核典型集合的测度和外测度0,PP15设函数列 为可测 集 上的可测函数列，且 在 上依测度收敛于 ，则()nfx (

36、)nfxE()fx存在 的子列 ，使得 在 上 几乎处处收敛于 . 考核函数列收nfk ()knfxE()fx敛与依测度收敛的关系的记忆，本 题是其中的黎斯定理16设 , 是 上的可测函数列， 是 上的实函数,若 在 上几mE()nfx()f ()nfE乎处处收敛于 ，则 在 上 依测度 收敛于 .考核函数列收敛与依测度E()fx收敛的关系的记忆，本题是其中的勒 贝格定理 17设 在 上黎曼可 积， 则 在 上勒贝 格可积，且它们的积分值 相等 ()fx,ab()fx,ab考核黎曼积分与勒贝格积分的关系18设 , 都在 上勒贝格可积，且几乎 处处相等 ,则它们在 上勒贝格积分()fg, ,ab

37、值 相等 考核勒贝格积分的基本性质19若 是 上的绝对连续 函数， 则 是 上的有界变差函数 考核有()fx,ab()fx,界变差函数和绝对连续函数的关系20若 是 上的有界 变差函数， 则 可以表示成两个 单调函数的 和或差 ()f,()f考核有界变差函数和单调函数的关系，即约当分解定理四、判断说明题（注意这类题不 仅要求判断对还是不对，而且还要简单的说明理由）1无限个闭集的并集仍为闭集考核开集、 闭集的性质答：不对，因为闭集只对有限的并集运算封 闭。192无限个开集的交集仍为开集考核开集、 闭集的性质答：不对，因为开集只对有限的交集运算封 闭。3无限集均含有一个可数子集考核可数集的性质答：

38、对，因为这是可数集与无限集的关系。4无限集都是可数集考核无限集的分类答：不对，因为无限集还包括不可数集。5设 是可测集，则一定存在 型集 ，使得 ，且 考核可测集与EGEG()0mE型集或 型集的关系GF答：对，因为这是可测集与 型集的关系。6设 是可测集，则一定存在 型集 ，使得 ，且 考核可测集与EFE()0mF型集或 型集的关系GF答：对，因为这是可数集与 型集的关系。7设 是测度为零的集， 是 上的实函数，则 不一定是 上的可测函数考核E()fzE()fxE可测函数的基本性质答：不对，因为零测集上的任何 实函数都是可测函数。8设 是可测集， 是 上几乎处处为零的实函数，则 在 上可测考

39、核可测函()fz ()fx数的基本性质答：对，因为常函数 0 是可测函数，由可测函数的性质可得 在 上可测。()fE9设 是可测集 上的非 负可测函数， 则 必在 上勒贝格可积 考核勒贝格积分()fzE()fx的定义答：不对，因为可测集 上的非 负可测函数只能保证有勒贝 格积分，不一定能保 证勒贝格可积。10设 是可测集 上的可 测函数， 则 一定存在 考核勒贝格积分的定义()fz ()dEfx答：不对，因为可测集 上的可 测函数，不一定能定 义勒贝 格积分，因此不一定能保证E存在。()dEfx五、简答题（此类题关键是要把要点答出来）1简述无穷多个开集的交集是否必 为开集？考核开集、闭集的运算

40、性质要点：首先，回答结论：不一定 为开集其次，举出交集为开集的例子和交集不是开集的例子。2简述无穷多个闭集的并集是否必 为闭集？考核开集、闭集的运算性质20要点：首先，回答结论：不一定 为闭集其次，举出并集为闭集的例子和并集不是 闭集的例子。3可测集 上的可测函数与 简单函数有何关系？考核可测函数与简单函数的关系E要点：1、简单函数是可测函数； 2、可 测函数不一定是简单函数； 3、可测函数一定可表示成一列简单函数的极限。4可测集 上的可测函数与 连续函数有何关系？考核可测函数与简单函数的关系要点：1、连续函数是可测函数； 2、可 测函数不一定是连续函数； 3、对任意 ，在 中去掉0E一个测度

41、小于 的可测集后，可 测函数能成为连续函数（鲁 津定理）。5 上的有界变差函数与 单调函数有何关系？考核单调函数与有界变差函数的关系,ab要点：1、单调函数是有界变差函数； 2、有界 变差函数不一定是 单调函数；3、有界变差函数能分解成两个单调函数的和或差。6 上的绝对连续函数与有界 变差函数有何关系？考核有界变差函数与绝对连续函数,的关系要点：1、绝对连续函数是有界 变差函数；2、有界 变差函数不一定是 绝对连续函数。六、计算题（注意这类题要写出主要步 骤）1设 ，其中 是有理数集，求 考核简单的勒20,1()xWfx 0,1()dfx贝格积分的计算解：因 是至多可数集， ，得 在 上几乎处

42、处成立。0,(,)0m()f,所以由勒贝格积分的惟一性， 。0,10,1dfxx2设 ，其中 是康托集，求 考核简单的勒贝格2sin(),xCf 0,1()dfx积分的计算解：由康托集为零测集，即 ，得 在 上几乎处处成立。所以0m2()fx,。23100,10,1df注意：上面两题是简单积分的计算，注意利用 积分的惟一性。3求 考核勒贝格控制收敛定理的简单应用0ln()imxne解：因为 ，且li0xnl()l()ln(1)1()xx xxxneeeee 而 在 勒贝格可积，所以，由勒贝格控制收敛定理(1)x0,)21。00 0ln()ln()imdimdx xnee 4设 , ,求 考核勒

43、贝格控制收敛定理的简单2()si1nxf1Eli()nEf应用解：因为 ，且2lim()lisin0nnfxx221()si1n nxf 而 显然在 勒贝格可积，所以，由勒贝格控制收敛定理120,1E。lim()dli()d0nnEEEnfxfxx注意：上面的两题在计算时，要注意 验证勒贝格控制收敛定理的条件。七、证明题1证明： 1212()()()E证明：（方法 1）2121212()()()()()()cccEEE（方法 2）直接用集合相等的定义证明。2证明： ()()()EBAA证明：（方法 1）()()()()()()()ccccEBEBAEBA（方法 2）直接用集合相等的定义证明。3设 是 中的有理点全