1、第 1 页河南省郑州市 2012 届高三第三次质量预测数学理本试卷分第 I 卷(选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.考试时间 120 分钟，满分 150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.第 I 卷一、选择題(本大题共 12 小每小題 5 分,共 60 分.在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合 U= - 1, 1,2, 3M=x|x2-5x + p = 0),若 =-1,1，则实数 p 的值为A. -6 B. -4 C. 4 D. 62. 已知复数 z-1+i,则 =A, B. C. D.3. 直线 y=kx+1 与
2、曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(l,2),则 ab =A.-8 B. -6 C. -1 D. 54. 已知集合 M，P，则“x 或 M，或 ”是“ “的A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5. 已知递减的等差数列 满足 ，则数列 前 n 项和 Sn取最大值时 n =A. 3 B. 4 C. 4 或 5 D. 5 或 66. 已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为A/ B.第 2 页C. D.7. 设函数 ,且其图象相邻的两条对称轴为x=O X= ，
3、则A.y=f(x)的最小正周期为 ，且在(0， ）上为增函数B y=f(x)的最小正周期为 ，且在(0， ）上为减函数C.y=f(x)的最小正周期为 ，且在（0， ）上为增函数D.y=f(x)的最小正周期为 ，且在(0， ）上为减函数8. 某算法的程序框图如右边所示，则输出的 S 的值为A. B.C. D.9. 在圆 内，过点 E(0，1)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD，则四边形ABCD 的面积为A. B.C. D.10. 设 x，y 满足约束条件 ,若目标函数 （其中 ba0)的最大值为 5，则 8a+b 的最小值为A. 3 B. 4C. 5 D. 611. 已知 ，实数 a、b、c
4、 满足 ，且 0abc，若实数x0是函数 f(x)的一个零点，那么下列不等式中,不可能等成立的是A. B. C. D,12. ABC 的外接圆圆心为 O，半径为 2， ，且 ，向量 在第 3 页方向上的投影为 A. B. C. 3 D. 3第 II 卷本卷包括必考題和选考题两部分。第 13 题第 21 題为必考题，第 22 题24 題为选考题。考生根据要求作答。二、填空題(本大题共 4 小题，每題 5 分，共 20 分）13. 已知正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn 若，S 3=3, S9-S6 = 12，则 S6 =_14. 若 ，则二项式 展开式中常数项是_.15. 将斜边长为 的等
5、腰直角 ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成二面角 B ADC，则三棱锥 BACD 的体积的最大值为_.16. 已知双曲线 上存在两点关于直线:y=x+m 对称,且 MN 的中点在抛物线 y2 = 18x 上，则实数 m 的值为_.三.解答题：本大題共 6 小趙，共 70 分.解答应写出文字说明,诋明过程或演算步骤.17. (本小题满分 12 分在 中，角 A，B,C；的对边为 a，b,c，点（a,b)在直线上.(I)求角 C 的值；(II)若 ，求 ABC 的面积.18. (本小题满分 12 分）某学校为了增强学生对数学史的了解，提高学生学习数学的积极性,举行了一次数学史知识竞赛，其中一
6、道题是连线题，要求将 4 名不同的数学家与他们所著的 4 本不同的著作一对一连线，每连对一条得 5 分,连错得了 2 分.有一位参赛者随机用 4 条线把数学家与著作一对一全部连接起来.(I)求该参赛者恰好连对一条的概率；(II)设 X 为该参赛者此题的得分，求 X 的分布列及数学期望.19. (本小题满分 12 分）第 4 页如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，底面 ABC 为正三角形,AA 1丄平面ABC，AA 1 =2AB，N 是 CC1的中点，M 是线段 AB1上的动点.(I)当 M 在什么位置时,MN 丄 AA1,请给出证明；(II)若直线 MN 与平面 ABN 所成角的大小为 求
7、Sin 的最大值.20. (本小题满分 12 分）已知椭圆 的左焦点为 F,左右顶点分别为 A、C,上顶点为 B,O 为原点，P为椭圆上任意一点.过 F,B,C 三点的圆的圆心坐标为(m,n)(I )当 时，求楠圆的离心率的取值范围；(II)在（I)的条件下，椭圆的离心率最小时，若点 D(b+1，0), 的最小值为.，求椭圆的方程.21. (本小题满分 12 分）已知函数 在 x=0， 处存在极值.(I)求实数 a、b 的值；(II)函数 y=f(x)的图像上存在两点 A，B 使得 是以坐标原点 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边 AB 的中点在 y 轴上，求实数 c 的取值范围；(III）当
8、 c=e 时，讨论关于 X 的方程 的实根个数.请考生在第 22、23、24 题中任选一題作答,并将答題卡相应方格涂黑。如果多做,则按所第 5 页做的第一题记分。22. (本小题满分 10 分）选修 4 一 1:几何证明选讲如图，在正 ABC 中，点 D，E；分别在边 BC,AC 上,且，AD，BE 相交于点 P,求证：(I)四点 P,D，C，E 共圆；(II)AP CP.23. (本小题满分 10 分)选修 4 一 4 坐标系与参数方程已知直线 l 的参数方程是 （t 为参数)，圆 C 的极坐标方程为 .(I)将圆 C 的极坐标方程化写为直角坐标系方程；(II)若圆 c 上有且仅有三个点到直
9、线 l 距离为 ，求实数 a 的值.24. （本小题满分 10 分)选修 4 一 5:不等式选讲.设函数(I)不等式 的解集为 ，求 a 的值；(II)若 旳定义域为 R，求实数 m 的取值范围.2012 年高中毕业年级第三次质量预测数学（理科） 参考答案第 6 页一 、 选 择 题 DBAAC CBBBC DA二、填空题 13. 9；14. -160；15. 23；16.0 或 8.三、解答题17.解：（I）由题得 sinsiniaABbcC，由正弦定理 siiibcC得 2a，即 2abca.3 分由余弦定理得221coab，结合 0C,得 3.6 分（II）由 26()18ab得 22(
10、3)()0ab，从而 .9 分所以 ABC的面积 29sin34S，12 分18.解：（1）记“该参赛者恰好连对一条线”为事件 A.则基本事件的总数为 m= 4A=24; 2 分事件 A 包含的基本事件有 n= 142C=8 种，4 分所以，该参赛者恰好连对一条的概率 1()3nPm.6 分（2） X 的所有可能取值为-8、-1、6、20.所以 493(8),PA 142(),CXA241(6)CPXA,41(20).X的分布列为-8 -1 6 20第 7 页P38141210 分E X= 3118()620.412 分19.解：（I）当 M是线段 AB1上中点时， 1MNA.1分下面给与证明
11、：如图：以 AB， 1所在直线为 x 轴， z 轴，在平面 BC内过A 且与 AB 垂直的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系.设 12B=2，则1 13(0,)(,)(,0)22M， N(， ,). 3 分所以.即 1NA.5 分（II）设 1B,即 (0,2)， ,其中 1，33(,2),(,)2 2MAN，.7 分设 (,)nxyz是平面 ABN 的一个法向量，则 0,nB即0,13,2xyz取 (0,23)n.9 分所以第 8 页2 221118470sin 5757753()4MN .即 si的最大值为 40312 分20.解：() 设半焦距为 c.由题意 BCF,的中垂线方程分别为,
12、22acbaxyx，于是圆心坐标为 ,c. 2 分所以 nm=20ab，即 20abca,即 bc,所以 c，于是 2 即 22，所以 21ea,即 1e. 5 分（II）当 时， 2abc，此时椭圆的方程为21xyc，设 (,)Pxy，则 cx，所以 222111()FODxc .8 分当 2c时，上式的最小值为 2c，即 2= 7，得 2；10 分当 0时，上式的最小值为 221c，即 21c= 7，解得 2304c不合题意，舍去.综上所述， 椭圆的方程为2184xy.12 分第 9 页21.解（I）当 1x时， 2()3fxaxb.1 分因为函数 f(x)在 0,处存在极值，所以(0),
13、23f解得 1,ab.3 分(II) 由（I）得321,(),()xfce根据条件知 A,B 的横坐标互为相反数，不妨设 32(,),(),0AtBtft.若 1t，则 32()ftt，由 AOB是直角得， 0AOB，即 23232ttt，即 420t.此时无解；5 分若 1 ，则1()tfce. 由于 AB 的中点在 y轴上，且 AOB是直角，所以 B点不可能在 x轴上，即 t. 同理有 0AB，即2321()()ttce=0，1()tce.因为函数1()tye在 t上的值域是 (0,)，所以实数 c的取值范围是 (0,).7 分（III）由方程 ()fxk，知32,(1)xe，可知 0 一
14、定是方程的根，8 分所以仅就 0x时进行研究：方程等价于2,(),1.xxke且构造函数2,(10),()xge且对于 10x且部分，函数 2()gx的图像是开口向下的抛物线的一部分，第 10 页当 12x时取得最大值 14，其值域是 1(,0)(,4；对于 部分，函数xeg，由 2()0xeg，知函数()gx在 1,上单调递增.所以，当 4k或 0时，方程 ()fxk有两个实根；当 时，方程 f有三个实根；当 1k时，方程 ()xk有四个实根. 12 分22.证明：（I）在 ABC中，由 1,3DBCEA知：ABD E，2 分即 .所以四点 ,P共圆；5 分（II）如图，连结 .在 CE中，
15、 2, 60ACD,由正弦定理知 9.8 分由四点 ,PD共圆知， PE,所以 .AC10 分23.解（I）由 )4cos(2得 cos4in.即 24sin.2 分由 c,ixy得， 20xy即 22()()8xy.所以圆 C 的直角坐标方程为 2()8y.5 分（II）直线的参数方程 4xtya可化为 xa，由圆的半径为 2知，圆心（2，-2）到直线 2y的距离为恰好为 2.8 分AB CDEP第 11 页所以 625a，解得 610a.10 分24.解：（I）由 )(xf 得， 2ax，2 分因为不等式 )(f a的解集为 10，所以0,21.a解得 a=1; 5分（II）由 1()()21gxfxmxm的定义域为 R知 ；对任意实数 x，有 20恒成立. 7 分因为 11x，所以 m,即实数 的取值范围为 2,.10 分
