1、第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念自主学习知识梳理1向量的概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如速度、位移、力等(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等注意：数量可以比较大小，而向量无法比较大小2向量的几何表示(1)有向线段：带有_的线段叫做有向线段，其方向是由 _指向_，以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作 .AB 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定(2)向量的有关概念：向量 的_，也就是向量 的长度(或称模)，记作| |.长AB AB AB 度为_的向量叫做零向量，记作 0.长
2、度等于_个单位的向量，叫做单位向量(3)向量的表示法：几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向；字母表示：用一个小写的英文字母表示，或用表示向量的有向线段的_和_的字母表示(4)平行向量：方向_或_的非零向量叫做平行向量向量 a 与 b 平行，通常记为 ab.规定零向量与任何向量都_，即对于任意向量 a，都有 0a.3相等向量与共线向量(1)相等向量：_相等且方向相同的向量叫做相等向量向量 a 与 b 相等，通常记为 ab.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量(2)共线向量：任意一
3、组平行向量都可以移动到同一_ 上，因此，平行向量也叫共线向量自主探究谈谈你对平行向量、共线向量、相等向量这三个概念的认识对点讲练知识点一 向量的有关概念例 1 判断下列命题是否正确，并说明理由若 ab，则 a 一定不与 b 共线；若 ，则 A、B、C、D 四点是平行四边形AB DC 的四个顶点；在平行四边形 ABCD 中，一定有 ；若向量 a 与任一向量 b 平行，AB DC 则 a0；若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc ，则 ac.回顾归纳 对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可变式训练 1 判断下列命题是否正确，并说明
4、理由(1)若向量 a 与 b 同向，且| a|b|，则 ab；(2)若向量|a| | b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意|a| | b|，且 a 与 b 的方向相同，则 ab；(4)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反知识点二 向量的表示方法例 2 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，然后又改变方向向西偏北50走了 200 km 到达 C 点，最后又改变方向，向东行驶了 100 km 到达 D 点(1)作出向量 、 、 ； (2)求| |.AB BC CD AD 回顾归纳 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再
5、确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点变式训练 2 在如图的方格纸上，已知向量 a，每个小正方形的边长为 1.(1)试以 B 为终点画一个向量 b，使 ba；(2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c，使|c | ，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？5知识点三 相等向量与共线向量例 3 如图所示，ABC 的三边均不相等，E、F 、D 分别是 AC、AB、BC 的中点(1)写出与 共线的向量；EF (2)写出与 的模大小相等的向量；EF (3)写出与 相等的向量EF 回顾归纳 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反； (2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线变式训练 3
6、如图所示，四边形 ABCD 和 BCED 都是平行四边形，(1)写出与 相等的向量：_.BC (2)写出与 共线的向量：_.BC 1向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑2向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小如 ab 没有意义，而|a|b| 有意义3共线向量与平行向量是同一概念规定：零向量与任一向量都平行. 课时作业一、选择题1下列说法正确的有( )方向相同的向量叫相等向量；零向量的长度为 0；共线向量是在同一条直线上的向量；零向量是没有方向的向量；共线向量不一定相等；平行向量方向相同A2 个 B3 个 C4 个 D5 个2下列命题正确的是( )A若|a
7、 |b|，则 ab 或 abB向量的模一定是正数C起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量D向量 与 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在同一直线上AB CD 3下列四个命题若|a| 0，则 a0；若|a| b|，则 ab，或 ab；若 ab，则|a| |b|；若 a0，则a0.其中正确命题的个数是( )A1 B2 C3 D44下列命题正确的是( )Aa 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行二、填空题5在四边形 ABC
8、D 中， 且| | |，则四边形为_AB DC AB AD 6给出以下 5 个条件：ab；|a| |b|；a 与 b 的方向相反； | a|0 或|b|0； a 与 b 都是单位向量其中能使 ab 成立的是 _7下列各种情况下，向量的终点在平面内各构成什么图形把所有单位向量移到同一起点；把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；把平行于某一直线的一切向量移到同一起点_；_；_.三、解答题8. 如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且 a ， b， c.OA OB OC (1)与 a 的模相等的向量有多少个？(2)与 a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与 a 共线的向量有哪
9、些？(4)请一一列出与 a，b，c 相等的向量9已知飞机从甲地按北偏东 30的方向飞行 2 000 km 到达乙地，再从乙地按南偏东30的方向飞行 2 000 km 到达丙地，再从丙地向西南方向飞行 1 000 km 到达丁地，问2丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念答案知识梳理2(1)方向 起点 终点 (2)大小 0 1(3)起点 终点 (4) 相同 相反 平行3(1)长度 (2)直线自主探究解 任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也就是共线向量两向量平行与两向量共线实质是一样的长度相等且方向相同的向量叫做相等向量相等向量
10、一定是共线向量，而共线向量不一定是相等向量对点讲练例 1 解 两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以 a 与 b 有共线的可能，故不正确 ，A、B、C 、D 四点可能在同一条直线上，故不正AB DC 确在平行四边形 ABCD 中，| | |， 与 平行且方向相同，故 ，正AB DC AB DC AB DC 确零向量的方向是任意的，与任一向量平行，正确ab，则|a| |b|且 a 与 b 方向相同；bc，则 |b| c|且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 方向相同且模相等，故 ac，正确若 b0，由于 a 的方向与 c 的方向都是任意的，ac 可能不成立；b0 时，ac
11、成立，故不正确变式训练 1 解 (1)不正确因为向量是不同于数量的一种量它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故(1)不正确(2)不正确由| a| b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向(3)正确|a| | b|，且 a 与 b 同向由两向量相等的条件可得 ab.(4)不正确因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，则其方向不确定例 2 解 (1)向量 、 、 如图所示AB BC CD (2)由题意，易知 与 方向相反，故 与 共线，AB CD AB CD 又| | | |，AB CD 在四边形 ABCD 中，AB 綊 CD.四边形 ABCD 为平行四边形 ，| |
12、 |200 km.AD BC AD BC 变式训练 2 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量 a 平行，且长度相等( 作图略)(2)由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心，半径为 的圆5(作图略 )例 3 解 (1)因为 E、F 分别是 AC、AB 的中点，所以 EF綊 BC.又因为 D 是 BC 的中点，12所以与 共线的向量有： ， ， ， ， ， ， .EF FE BD DB DC CD BC CB (2)与 模相等的向量有： ， ， ， ， .EF FE BD DB DC CD (3)与 相等的向量有： 与 .EF DB CD 变式训练 3 (1)
13、，AD DE (2) ， ， ， ， ， ，CB AD DA DE ED AE EA 课时作业1A 与正确，其余都是错误的2C A 错误由|a| |b|仅说明 a 与 b 模相等，但不能说明它们方向的关系B 错误.0 的模|0|0.C 正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的D 错误共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 、AB 必须在同一直线上，即 A、B、C、D 四点不一定共线CD 3B 错， 正确 4C 若 b 0，则 a 与 c 不共线，A 不正确；两个相等的非零向量的始点和终点可能共线，B 不正确；若 a，b 中有一个是零向量，则 a 与 b
14、一定共线，C 正确；有相同起点的两个非零向量，若方向相同或相反，则两个向量平行，D 不正确5菱形解析 ，AB 綊 DCAB DC 四边形 ABCD 是平行四边形，| | | |，四边形 ABCD 是菱形AB AD 6解析 相等向量一定是共线向量，能使 ab；方向相同或相反的向量一定是共线向量，能使 ab；零向量与任一向量平行，能使 a b.7单位圆 相距为 2 个单位的两个点 一条直线8解 (1)与 a 的模相等的向量有 23 个(2)与 a 的长度相等且方向相反的向量有 ， ， ， .OD BC AO FE (3)与 a 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， ， ， .EF BC OD FE CB DO AO DA AD (4)与 a 相等的向量有 ， ， ；与 b 相等的向量有 ， ， ；与 c 相等的向量有EF DO CB DC EO FA ， ， .FO ED AB 9解 如图所示，A，B，C，D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，ABC 为正三角形，所以| |2 000 km.AC 又因为ACD45，| |1 000 km，CD 2所以ACD 为等腰直角三角形，所以| |1 000 km，CAD45.AD 2所以丁地在甲地的东南方向，距甲地 1 000 km.2
