1、3.2.1 几类不同增长的函数模型自主学习1结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性2能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)，了解函数模型的广泛应用1三种函数模型的性质函数性质y ax(a1) ylog ax(a1) yx n(n0)在(0，)上的增减性图象的变化 随 x 的增大逐渐变“_” 随 x 的增大逐渐趋于_ 随 n 值而不同2.指数函数 ya x(a1)，对数函数 ylog ax(a1)和
2、幂函数 yx n(n0)增长速度的比较(1)对于指数函数 ya x和幂函数 yx n(n0)在区间(0 ，)上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定范围内，a x会小于 xn，但由于_的增长快于_的增长，因此总存在一个 x0，当 xx0 时，就会有_ (2)对于对数函数 ylog ax(a1)和幂函数 yx n(n0)，在区间(0，) 上，尽管在 x 的一定范围内，log ax 可能会大于 xn，但由于_的增长慢于_的增长，因此总存在一个 x0，当 xx0 时，就会有 _对点讲练一次函数模型【例 1】为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”
3、与“如意卡”在某市范围内每月(30 天) 的通话时间 x(分)与通话费y(元) 的关系如图所示(1)分别求出通话费 y1，y 2 与通话时间 x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜变式迁移 1 商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价 20 元，茶杯每个定价 5 元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的 92%付款顾客只能任选其一某顾客需购茶壶 4 个，茶杯若干个(不少于 4 个) ，若购买茶杯数为 x 个，付款数为y(元) ，试分别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式，并讨论两种办法哪一种更省钱指数函数模型【例 2】 某化工厂生
4、产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过 0.1%，若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少 ，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？13(已知： lg 20.301 0，lg 3 0.477 1)变式迁移 2 2004 年全国人口普查时，我国人口数为 13 亿，如果从 2004 年开始按 1%的人口年增长率来控制人口增长，那么，大约经过多少年我国人口数达到 18 亿？对数函数模型的应用【例 3】 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v5log 2 ，单位是 m/s，其中 Q 表示燕子的耗氧量Q10(1)计算：燕子静止时的耗氧量是
5、多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多少？变式迁移 3 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 v (m/s)和燃料的质量 M(kg)、火箭( 除燃料外)的质量 m (kg)的关系 v2 000ln .当燃料质量是火箭质量的多少倍时，(1 Mm)火箭的最大速度可达 12 km/s?1根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型2常见的函数模型及增长特点(1)直线 ykxb (k0) 模型，其增长特点是直线上升；(2)对数 ylog ax (a1)模型，其增长缓慢；(3)指数 ya x
6、 (a1)模型，其增长迅速课时作业一、选择题1在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长 10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的 y 倍，则函数 yf(x)的图象大致为( )2能使不等式 log2xxn(2)ylog ax yx n log axy2，即如意卡便宜；23当 x96 时，y 134 时，y 1y2，优惠办法(2)省钱【例 2】 解 依题意，得 n ，2100(23) 11 000即 n .(23) 120则 n(lg 2lg 3)(1lg 2)，故 n 7.4，考虑到 nN，即至少要过滤 81 lg 2lg 3 lg 2次才能达到市场要求变式迁移 2 解 设大约
7、经过 n 年，我国人口由 2004 年的 13 亿增加到 18 亿，则 13(11%) n18.1.01 n ，1813即 nlog 1.01 1813 lg1813lg 1.01 lg 18 lg 13lg 1.01 1.255 3 1.113 90.004 332.883 733(年)即从 2004 年开始，大约经过 33 年，我国人口总数可达 18 亿【例 3】 解 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度 v0，代入题给公式可得：05log 2 ，解得 Q10.Q10即燕子静止时的耗氧量是 10 个单位(2)将耗氧量 Q80 代入题给公式得：v5log 2 5log 2815 (m/s)8
8、010即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度为 15 m/s.变式迁移 3 解 由 12 0002 000ln ，(1 Mm)即 6ln ，(1 Mm)1 e 6，利用计算器算得 402.Mm Mm即当燃料质量约是火箭质量的 402 倍时，火箭的最大速度可达 12 km/s.课时作业1D 2.D 3.A 4.B5C 设共分裂了 x 次，则有 2x4 096，2 x2 12，又 每次为 15 分钟，共 1512180 分钟，即 3 个小时6 7.y 3 y 2 y 1810解析 由题意可得，经过 5 分钟时，ae 5n a，n ln 2，令 ae tln 2 ，得12 15 15
9、a8t15，从而再经过 10 分钟后，桶 1 中的水只有 L.a89解 本金 100 万元，年利率 10%，按单利计算，5 年后的本息和是100(110%5) 150(万元 )本金 100 万元，年利率 9%，按每年复利一次计算， 5 年后的本息和是 100(19%)5153.86(万元)由此可见，按年利率 9%每年复利一次计算的比年利率 10%单利计算的更有利，5 年后多得利息 3.86 万元10解 (1)当每辆车的月租金为 3 600 元时，未租出的车辆数为 12，3 600 3 00050所以这时租出了 88 辆车(2)设每辆车的月租金定为 x 元，则租赁公司的月收益为f(x) (x150) 50，(100 x 3 00050 ) x 3 00050整理得 f(x) 162x21 000x250 (x4 050) 2307 050.150当 x4 050 时，f( x)最大，最大值为 f(4 050)307 050.答 (1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时，能租出 88 辆车；(2)当每辆车的月租金定为 4 050 元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为 307 050元
