1、数学分析（上）第六章 中值定理及待定型极限51第六章 中值定理及待定型极限 （ 8 时 ） 1 中值定理 （ 3 时 ）一 极值概念：1 极值： 图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. )2. 可微极值点的必要条件:Th ( Fermat ) ( 证 )函数的稳定点, 稳定点的求法.二. 微分中值定理:1. Rolle 中值定理: 叙述为 Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性.2. Lagrange 中值定理: 叙述为 Th2. ( 证 ) 图解 .用分析方法引进辅助函数, 证明定理. 用几何直观引进辅助函数的方法参阅1P 157.Lagrange 中值定理的各种形式. 关于中值点
2、的位置.系 1 函数 在区间 I 上可导且 为 I 上的常值函数. (证)(xf ,0)(xfxf系 2 函数 和 在区间 I 上可导且g ,)(, cxgfgf .Ix系 3 设函数 在点 的某右邻域 上连续, 在 内可导. 若)(xf0)(0x)(0x存在 , 则右导数 也存在, 且有 (证)(lim00xfx f .ff但是, 不存在时, 却未必有 不存在. 例如对函数)f )(0xf. ,0,1sin(2xx虽然 不存在, 但 却在点 可导(可用定义求得 ).)0(f )(f00)(f52Th ( 导数极限定理 ) 设函数 在点 的某邻域 内连续, 在 内 )(xf0)(0x)(0x可
3、导. 若极限 存在, 则 也存在, 且 ( 证 )(lim0xfx0 .lim)(ff由该定理可见, 若函数 在区间 I 上可导, 则区间 I 上的每一点, 要么是导函数)f的连续点, 要么是 的第二类间断点. 这就是说, 当函数 在区间 I)(f (x )(xf上点点可导时, 导函数 在区间 I 上不可能有第二类间断点.)f系 4 ( 导函数的介值性 ) 若函数 在闭区间 上可导, 且fba,0)(bfa( 证 ).0),fbaTh ( Darboux ) 设函数 在区间 上可导且 . 若 为介于)xf, )(ffk与 之间的任一实数, 则 )ff .)( )(kba设 对辅助函数 , 应用
4、系 4 的结果. ( 证 ),(afkbxfxF3. Cauchy 中值定理:Th 3 设函数 和 在闭区间 上连续, 在开区间 内可导, 和 在fgba)(bafg内不同时为零, 又 则在 内至少存在一点 使)(ba).()(.)()(agbfgf证 分析引出辅助函数 . 验证 在xfF)(agbfx)(xF,ba上满足 Rolle 定理的条件, ),( )(f)(gf.0必有 , 因为否则就有 .这与条件“ 和 在 内不同时为零”0)(gffg),(ba矛盾. Cauchy 中值定理的几何意义 .53Ex 1P163 14；4P178 49，50.三. 中值定理的简单应用: ( 讲 1 时
5、 )1. 证明中值点的存在性: 参阅3 P104.例 1 设函数 在区间 上连续, 在 内可导, 则 , 使得fba)(ba)(ba.)(fblnf证 在 Cauchy 中值定理中取 .xgl)(例 2 设函数 在区间 上连续, 在 内可导, 且有 .fba)(ba0)(bfaf试证明: .0)( ),(fba2. 证明恒等式: 原理.例 3 证明: 对 , 有 .Rx2arctgxt例 4 设函数 和 可导且 又 则 .fg,0)(xf .0f )(xcfg证明 . 0) (fg例 5 设对 , 有 , 其中 是正常数. R,hx 2 |)(| Mhxfhf则函数 是常值函数. (证明 ).
6、)(f 03. 证明不等式: 原理. 参阅 3P113.例 6 证明不等式: 时 , .hharctgh21例 7 证明不等式: 对 ，有 .nn1) l(4. 证明方程根的存在性: 3P110.例 8 证明方程 在 内有实根.0cossix),(例 9 证明方程 在 内有实根.cbaba234) 1,0(54Ex 1P163164 59；4P178 53，54. 2 不定式的极限 ( 2 时 )本节内容介绍较简，必须在课后参阅4P162167.一. 型:0Th 1 ( Hospital 法则 ) ( 证 ) 应用技巧.L例 1 .coslim2xtgx例 2 .)ln(i210ex例 3 .
7、 ( 作代换 或利用等价无穷小代换直接计算. )xx1i0 xt例 4 . ( Hospital 法则失效的例 )xsinlm20L二. 型:Th 2 ( Hospital 法则 ) ( 证略 )L例 5 . 0 ,lnimx例 6 .3le註: 关于 当 时的阶.xln,例 7 . ( Hospital 法则失效的例 )xsiliLEx 1P172173 1 ，2，3；4P176177 34 ， 37.三. 其他待定型: .前四个是幂指型的. ,0,55例 8 .lnim0xx例 9 .)(sec2tg例 10 .x0li例 11 .x1例 12 .20coslimx例 13 .nn21例
8、14 设 且 求.0 ,)(xgxf .3)0( ,)(gg).0(f解 200 )(lim)(li)(lim)( xff xx .3)(1)(li21li00 gggxxEx 1P172173 1 ， 4 ，5；4P176 34 . 3 Taylor 公式 ( 3 时 )一. 问题和任务: 用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近到要求的精度.二. Taylor( 16851731 )多项式:分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式定义 Taylor 多项式 及 Maclaurin 多项式)(xPn 例 1 求函数 在点 的 Taylor 多项式. 1P174.
9、243f 0x56( 留作阅读 )三. Taylor 公式和误差估计:称 为余项. 称给出 的定量或定性描述的式)()(xPfxRnn)(xRn为函数 的 Taylor 公式.ff1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) Taylor 中值定理 :Th 1 设函数 满足条件:f 在闭区间 上 有直到 阶连续导数;,bafn 在开区间 内 有 阶导数.)(1则对 使,),(bax nnaxfaxfaxff )(!)(!2)( )(2.1)1(!nnkk0 1)1证 1P175176.称这种形式的余项 为 Lagrange 型余项. 并称带有这种形式余项的 Taylor 公)(xRn式为具 Lagra
10、nge 型余项的 Taylor 公式. Lagrange 型余项还可写为.,)()!1()( 1) nnn axafx) ,0(时, 称上述 Taylor 公式为 Maclaurin 公式, 此时余项常写为0a.,)()!()11nnn xfxR1关于 Taylor 公式中 Lagrange 型余项的进一步讨论可参阅:Alfono, G. Azpeitia, On the Lagrange remeinder of the Taylor formula.Amer. Math. Monthly, 89(1982).57Ex 1P182 1.2. 误差的定性描述( 局部性质 ) Peano 型余项
11、:Th 2 若函数 在点 的某邻域 内具有 阶导数, 且 存在, 则fa)(a1n)(afn, nxfxfxfxf !)(!2)()( 2 nx.)(证 设 , . 应用 Hospital 法则 次, PfRnn naG)()L1并注意到 存在, 就有)(af=)(lim)(li 10xRxGnaxnax )(2)1()(li)1( axnffxf nna .0)(li! )(1)( fffnax称 为 Taylor 公式的 Peano 型余项, 相应的 Maclaurin 公式的nnxR)()Peano 型余项为 . 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为具 Peano 型余nx项的
12、Taylor 公式( 或 Maclaurin 公式 ).四. 函数的 Taylor 公式( 或 Maclaurin 公式 )展开:1. 直接展开:例 2 求 的 Maclaurin 公式.xef)(解 .) 10 ( ,)!1(!12 nxnx ee例 3 求 的 Maclaurin 公式.xfsi)(58解 ,)()!12() !53sin 2xRmxxx m.10 ,sin)!12()2 Rmm例 4 求函数 的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 .lxf解 .)!( 1)0( ,)(!) 1() nfxf nnnn. 32l xx 例 5 把函数 展开成含 项的具 Pea
13、no 型余项的 Maclaurin 公式 .tgf)(5( 1P179 E5, 留为阅读. )2. 间接展开: 利用已知的展开式 , 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式.例 6 把函数 展开成含 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 .2sin)(xf14解 ,) (!75!3sin7x.) (!i 1414062x例 7 把函数 展开成含 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 .xf2cos)(6解 ,) (!64!1cos62x注意, ),(!362x0 ),(kx.) (!231)cos(1cos 65422 xx例 8 先把函数 展开成具 Pea
14、no 型余项的 Maclaurin 公式 . 利用得xf)(到的展开式, 把函数 在点 展开成具 Peano 型余项的 Taylor 公式.g5312059解 .,)1(!)nnxf !)1(0)(nfn); (32 xf 13)2(5)(513)( xxg= + nnx)( 2 )2(51 .)2(nx例 9 把函数 展开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 ，并与 的相应shx si展开式进行比较.解 ), (!21nx xe ;)(!)1(!nnx .) ( )!2(!532 121mmx xxesh 而 . ) ()!(!in 121x五. Taylor 公式应用举例:
15、 1. 证明 是无理数:e例 10 证明 是无理数.证 把 展开成具 Lagrange 型余项的 Maclaurin 公式, 有x.10 ,)!1(!312nee60反设 是有理数, 即 和 为整数), 就有 整数 + .epqe( en!1e对 也是整数. 于是, 整数 = 整数整数 = 整数.但由nq! , qpne!1因而当 时， 不可能是整数. 矛盾.,30 ,10e 3e2. 计算函数的近似值:例 11 求 精确到 的近似值.e01.解 .10 ,)!(!321ne注意到 有 . 为使 ,0 ,e )!(3 1Rn 01.)!(3n只要取 . 现取 , 即得数 的精确到 的近似值为9
16、n0.7182.!931!2e3. 利用 Taylor 公式求极限: 原理:例 12 求极限 .) 0( ,lim20axax解 ,) (lnl12ln xeaax ;) (l2l2ax. lnxxax.aaxx 22020 ln) (limli ( 1P182 E8 留给学生阅读)614 证明不等式： 原理.例 13 证明: 时, 有不等式 . 3P130 E33.0xxex1Ex 1P182 2，3 ，5 . 4 4 函数的极值与最值（ 6 时 ） 1 单调性与极值判法（ 4 时 ） 一 可微函数单调性判别法：1 单调性判法：Th 1 设函数 在区间 内可导. 则在 内 (或) 在 内)(
17、xf),(ba),(baxf),(ba( 或 ).0)xf证 ) 证 .0)(fTh 2 设函数 在区间 内可导. 则在 内 ( 或) x), ),(xf 对 有 ( 或 ; 在 内任子区间上,(baba.0(xf2. 单调区间的分离: 的升、降区间分别对应 的非负、非正值区间.f 例 1 分离函数 的单调区间.x3)更一般的例可参阅4P 147148 E13，14.二. 可微极值点判别法: 极值问题: 极值点, 极大值还是极小值, 极值是多少.1. 可微极值点的必要条件: Fermat 定理( 表述为 Th3 ).函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法 .2. 极值点的充
18、分条件: 对每个可疑点 , 用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点.Th 4 (充分条件) 设函数 在点 连续, 在邻域 和)(xf0 ) ,(0x内可导. 则,(0x 在 内 在 内 时, 为,0x,)(f ) ,xf的一个极小值点;)f 在 内 在 内 时, 为 ,(, ,(0x0)(0x62的一个极大值点;)(xf 若 在上述两个区间内同号, 则 不是极值点 .)(f 0xTh 5 (充分条件“雨水法则”)设点 为函数 的驻点且 存在.则)(xf)(0xf 当 时, 为 的一个极大值点;0xfx)(f 当 时, 为 的一个极小值点.)证法一 .)(limlim( 000 00 xfxfff
19、x 当 时, 在点 的某空心邻域内 与 异号,)(0xf 0 ,f0x证法二 用 Taylor 公式展开到二阶, 带 Peano 型余项.Th 6 (充分条件 ) 设 ,而 .则)()()( 0100 xfxff n )(0xfn 为奇数时, 不是极值点;n0x 为偶数时, 是极值点. 且 对应极小 ; 对应极大.)(fn )(f例 2 求函数 的极值. 1P190 E3325()xf例 3 求函数 的极值. 1P190 E4x423. 函数的最值: 设函数 在闭区间 上连续且仅有有限个可疑点)(f,ba. 则nx,21= ;)(ma,fb )(,)(, 21nxffxba.ii,x )(f函
20、数最值的几个特例: 单调函数的最值: 如果函数 在区间 上可导且仅有一个驻点, 则当 为极大值点时, )(xfba0x0x亦为最大值点; 当 为极小值点时, 亦为最小值点.00x 若函数 在 内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)fR值点. 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点.Ex 1P195196 1，3，4，6，7；4P175 25 ，26，27 ，28.63三. 最值应用问题:例 4 、 两村距输电线（直线）分AB别为 和 （如图） ， 长 . 现km15.CD3km两村合用一台变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长 最小.E解 设 如图
21、，并设输电线总长为 .则有x)(xL.30 ,5.11)( 22 xEBAL, 0 5.33(22令 xx , ).1)(2x .96.2x解得 和 ( 捨去 ). 答： 6四. 利用导数证明不等式:我们曾在前面简介过用中值定理或 Taylor 公式证明不等式的一些方法. 其实, 利用导数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅3 P112142 ). 本段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简单原理.1. 利用单调性证明不等式: 原理: 若 , 则对 , 有不等式 .f)(ff例 5 证明: 对任意实数 和 , 成立不等式ab. 1|1 ba证 取 在 内 . ,0)() .0( ,)( 2
22、xfxxf ) , (xf于是, 由 , 就有 , 即| |ba |( | bafba.|1|1|1|1| baC E D1km 1.5kmxAB642. 不等式原理: 4P169171.不等式原理: 设函数 在区间 上连续,在区间 内可导,)(xf) a) (a且 ; 又 则 时, (不等式原理的其他形式.)0)(xf .0)(af.0(f例 6 证明: 时, .211ln2rctgx例 7 证明: 时, .x!3six2. 利用极值证明不等式:例 8 证明: 时, .0ex1Ex 1P195196 2，5，8，9，10，11，15，17；4P177178 40，42，58，59. 5 凸性
23、 拐点 Jensen 不等式（ 2 时 ）一 凸性的定义及判定：1 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义 设函数 在区间 上连续. 若对 , 恒有)(xf,ba,21bax, 或 . 2211xf)(21ffxf则称曲线 在区间 上是凹(或凸) 的. 若在上式中, 当 时, 有严格不)(y,ba 21等号成立, 则称曲线 在区间 上是严格凹(或严格凸) 的. 凹和凸也分别称为f,上凸和下凸.凸性的几何意义: 倘有切线, 与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向.2 利用二阶导数判断曲线的凸向:Th 设函数 在区间 内存在二阶导数, 则在 内)(xf)(b
24、a),(ba 在 内严格上凸; ,0f 在 内严格下凸.,该判别法也俗称为“雨水法则”.证法一 ( 用 Taylor 公式 ) 对 设 , 把 在点),(,21bax210x)(f展开成具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式, 有0x,)()()( 0101001 xfxfff 65.20202002 )()()( xfxfxff 其中 和 在 与 之间. 注意到 , 就有1121, 于是2022010 )()()()( xfffff 若有 上式中 , 即 严格上凸. ,0)(x ,x f若有 上式中 , 即 严格下凸.f 021fff证法二 ( 利用 Lagrange 中值定理.
25、 ) 若 则有 , 不妨设,)()(x,并设 ,分别在区间 和 上应用 Lagrange 中值定理, 21x210x,01x2有,)()( ),( 1011001 fff .20222x有 又由 ，, ,1 ffx 0210xx , ， 即)(10f )(f )()(0fff， 严格下凸.2(102xf可类证 的情况.)(xf3 凸区间的分离: 的正、负值区间分别对应函数 的下凸和上凸区间.)(f )(xf二. 曲线的拐点: 拐点的定义.例 1 确定函数 的上凸、下凸区间和拐点. 4P154 E202)(xef解 的定义域为f , . 令 , 解得)(22exx 2)3()2xef 0)(f.
26、 ,0,331x在区间 内 的符号依次为) ,2 (,) ,() ,2 (,) ,( f， . 拐点为: , .3 , ,0 , , 223 ee倘若注意到本题中的 是奇函数, 可使解答更为简捷.)(xf三. Jensen 不等式及其应用:Jensen 不等式: 设在区间 上恒有 ( 或 , 则对 上的任意,ba0)xf),ba个点 , 有 Jensen 不等式:n)1(nkx66( 或 ,nkxf1)nkxf1)且等号当且仅当 时成立.n2证 令 , 把 表为点 处具二阶 Lagrange 型余项的 Taylor 公nk10)(kf0式，仿前述定理的证明，注意 即得所证.nkx10,对具体的
27、函数套用 Jensen 不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证明不等式的方法称为 Jensen 不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数的严格单调性.例 2 证明: 对 有不等式 .,Ryx )(21yxyxee例 3 证明均值不等式: 对 , 有均值不等式Rna,21.naa12 an 1 证 先证不等式 .na 2121 取 . 在 内严格上凸, 由 Jensen 不等式, 有xfl)()(f)0. k nknknknk xxfxfx1 1111 l(l由 . )(xfaaann 22 对 用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.Rna,21例 4 证明: 对
28、 , 有不等式nx21. ( 平方根平均值 )xxn22121 例 5 设 ，证明 .6zy1zyx解 取 , 应用 Jensen 不等式.2)(fJensen 不等式在初等数学中的应用举例: 参阅 荆昌汉 文: “凸( 凹)函数定理在不等式证明中的应用”,数学通讯1980.4. P39.例 6 在 中, 求证 .ABC23sinsinCBA67解 考虑函数 在xxfxxf sin . 0, sin .0 ,sin)( 区间 内凹, 由 Jensen 不等式, 有)0(.23i33)(3iCsnBiA CBAffBfAf.2ii 例 7 已知 . 求证1 ,cbacbaR.673733解 考虑函数 , 在 内严格上凸. 由 Jensen 不等式, 有)(xf)(f), 03)7()(33 cfbff. 287(77 fcafcbaf .6333 b例 8 已知 求证 . ( 留为作业 )2 ,0 ,解 函数 在 内严格下凸. 由 Jensen 不等式, 有)(xf)()(22)(33fff ,123. ,8Ex 1P204 3，5，8； P214 1，5，7；4P175176 32， 33. 参阅1P206208，4 P156159.
