1、实例1.求解定解问题：0,2,0()(),sin,txxtutu解：设 ，代入方程分离变量整理得)(),(tTxXtu，代入条件边界条件有 ，0 (0)2)0X从而求得固有值 ，固有函数 ，2()ncosnnxAx1,联合 情况，可有 固有值 ，固有函数 ，2()n()2nX0,2代入固有值，并可求出 sicosnTtCtDt因此满足边界条件的解为 0(,)(i)cos22nnuxtttx代入初值条件得 ， n022123,()1()nnn从而得原问题的解： 201cosi(,)32()(3)nxtuxt n2.用分离变量法求解下列矩形域上的边值问题： 0cos0,1,1xyxyyuyu解：
2、，其中 满足常微分方程边值问题(,),()utvtw()x，解该问题得 ，cos(0)1,()xw cosx于是得 满足的定解问题：v0,0,cos1xyxyyyv设 ，代入方程分离变量整理得(,)()tXTt，代入条件边界条件有 ，0,(0)0X求得固有值为 ，故有函数为 21()n21sinnxx代入固有值求得 21)sicosnYyCyDy则得解 12(,)(in)innuxt x 代入条件 的边界条件，得到0,y6, 21(21)(3)sinnDCn从而得问题的解： 1sii62(,) 1(2)1(3)snnxyvxtn 则原问题的解为 (,),()uxtvtwx12ii61(2)1(
3、3)snnxyn cosx3.用 Fourier 变换求解半平面 上的 Dirichlet 问题：0y10,(),()limli0xyxxuRu解：对 作 Fourier 变换，记 (,)(,)()FuxyFx则有 ， 方程的通解为 2(,0)(duy (,)y()yyaeb代入条件得 ,u)ye于是，对上式作 Fourier 逆变换得 1(,)()yuxtF2*yexy2()dxy4.求解定解问题：1,0,02(0,)sintxutxt解：把问题分解为如下两个定解问题：（）0,0(,)sintxvxtt和 （）1,0,02(0,)()txwtxt用分离变量法解问题（）得解为 ，21(,)si
4、ntnvxtCex代入初值条件求得 于是 1,0,2.nC(,)it用齐次化原理求出问题（）的解为 2()01(,)sitntnwxfexd其中 ，10()()i2nnf于是 21()0()(,)sint twxexd由于 22()20 nttntedt得到 213()(,) sinntewxttx最后求得原问题的解为 (,),(,)uxtvtxt213()sinsinntt eextx5.证明：在变换 下，,txtCauchy 问题 有解的充分必要条件是 116()0,ttxtxuRtxu，其中 是任意常数，而且，如果方程有解，则解不唯一21()3uxC证明：设变换 ，代入方程化简得 ,tx
5、t32u积分求得 其中 是任意函数2(),4fg(),fg代入边界条件，可得 221303uxxC这说明如果原问题有解，则上式一定成立；反之，如果上式成立，直接验证可知 2 2(,)()()44uxtCtxtx是原问题的解因为 是任意常数，故解不唯一6. 用 Laplace 变换求解一阶偏微分方程的定解问题： ,0,(0,)txuxt解：对变量 施行 Laplace 变换，记 ，则利用变换性质，方程t (,)(,)Luxyp为 1dupx解得方程的通解为 ()(, 1)pCxux代入条件 可得(0,)p()0从而得 ,(1)1xup取逆变换得问题的解 111(,)(,) ()txtLxpLxx
6、e7.求解初值问题： 01,(,0)xyyu解：对方程积分两次得 ，(,)()uxhgyx其中 分别为 的任意函数，代入条件可得(),hxgyy10;1(0)从而得原问题的解： ,2(0)uxygh8. 求定解问题的解 fuRrrRr 20,012解：设 )(rRu代入原方程并分离变量得 ，以及 6 分)2()0)0(2Rr求得 ，2nnbansico(,1)(0以及 BrRAr,)(0从而得到解 1010 sincos2),( nnn rBrAru 其中 ， 20()Afd, cosRn 20sin)(dfRBn9.求解薄膜的恒定表面浓度扩散问题薄膜厚度为 ，杂质从两面进入薄膜，由l于薄膜周
7、围气体中含有充分的杂质，薄膜表面上的杂质浓度得以保持为恒定的，其定解问题为0N 求解20(,),txualtN(,)uxt解：作代换 ，代入定解问题得0(,)(,)uxtwt20,(,)(,taxltltxN利用分离变量法求得问题的固有值为： ，2()nl固有函数为 ， ，()sinnXxl(1,3 并代入固有值求得 ，于是2natlnTtCe21(,)siatlnwxtCexl代入条件可求得系数 0(cos1)nN则解 2012(,)(cos1)sinatlnNwxt exl2()014()i(2)katlk kel因此，0(,)(,)uxtwtN2(1)014(1)sin(2)katlk
8、kexl 0N10.求解下列定解问题： 20,1,0(,)1,2,1(,0)1txtuaxttxxu解：设 代入方程分离变量得到 ，()xtXTt 200XTa和由边界条件得 0解 )1(0得固有值 ， 固有函数2nxnXsi另求得方程的解 ，cosinnTCatDat从而得到解 1(,)siinnuxtttx代入初值条件求得 ， ，24i()n4(1)nna从而得解为 2 414(,)sico()siin() nnuxt at tx 11.求定解问题: 2,(0,)(0,),txtuAltlB12.在扇形区域内求下列定解问题： 的解2010rrrauuf解：设 )(rRu代入原方程并分离变量
9、得 ，以及()00)0(2Rr求得固有值 固有函数 2,n()sinnb把固有值代入 的方程并由条件求解得 R0,()nnRrArB叠加得解为 0011(,) sinnnurCC 代入条件求得系数 以及 0 02()sinnfda从而得定解问题的解为 01(,)()sisin rurfa13. 用分离变量法求解下列初边值问题： 02048cos0,02,costtxtxxttuextu解：第步 边界条件齐次化设 ，其中 与 具有相同的边界条件，(,),(,)uxtvtwxt(,)xt(,)ut满足边界条件 ,wt 02,xxtt由第一个等式可设 ，将它代入第二个方程求得(,)wxt2()t()
10、0t所以， ，于是有 满足的定解问题(,)xt2,v0208cos0,02,costtxtxxttvextv第步 分离变量，求固有值问题设 代入方程分离变量得到 ，(,)()vxtXTt 020XT和由边界条件得 0()2解 ()X得固有值 ， 固有函数21n cos(21)nXx第三步 应用广义 Fourier 展开解非齐次方程对应常微分方程的初值问题关于 的方程非齐次项 显然只有一个系数 ，其它(,)vxt(,)costfxex0()8tfe同理， 展开为 ，其它0nf0()1,nx因此方程的解为 0(,)()cos2nuxtTtx系数 满足：()nTt当 时，有00028()1,()te
11、T当 时，有n20(0),()nnt解前一方程得 3tttTe第四步 利用叠加原理确定原来方程的解显然， 0(,)(2)costttvxtXx最终得到 3tttuxe14. 一根长为 的枢轴，它的初始温度为 ，其两端温度保持为 度，试求在枢l 0u0轴上温度的分布情况。解：问题归结为定解问题： 20()(1(,),023txuaxllttl设 )(),(tTxXtu代入方程并分离变量得 （4）和 （5）0)()(xX0)()(2tTat求得方程（1）的通解为 ， xBAsincos由边界条件得 ，代入通解可求得 (0)Xl，固有值0,)sinAlBl ,.210,2nln于是固有函数 ()si
12、nxBxl解方程(2)得2atlnTttCe从而得解 21(,)sitlnxuxl代入初始条件得 01(,)conul从而得 0022si41(2)ln kCxdunlk则原问题的解为 2(101 ()(,) si()atlk kuxtexl15. 在矩形域 内求 Laplace 方程的解，使之满足边界条件：0,xayb0(,),()cos,0yybuuyAB解：设拉普拉斯方程为 （1）xy令 ，代入（1）得(,)()uxyXYy（2） （3）0()0Yy由边界条件得到 ()0b在 时，方程（3）的通解为 ()cosinyAyBy代入条件得20,0,1.nBb于是有 ()cos,.nnYyAy
13、将 代入（2）得通解为b00, ,(12,.)nxnxbbXCDxeD于是有解 01(,)()cosnnxbbnuxyYyy由边界条件 01(,) 0nC01(,)cos cosnanabbnuayDyCeDAByb得 011,0,(2)2sih2sinhnABBCaabb 代入得原问题的解 i(,)cosnhxyuxyaab16. 求解定解问题22(cos)(in)(si)0,i,ixxyyyyuux其中 为充分光滑的已知函数。作代换 (),xsin,sinxyxy证明：该定解问题的解为 sin11(,)(sin)(sin)()22xyuyxyxyd解：作代换 ,代入原方程化得 ，因此原问题
14、化为0u0(1)(,)2()3xu积分得方程（1）的通解为 ， 为光滑函数12(,)()uff12,f代入条件（2） （3）解得，011()()()22xCfxd 0()()()xCfxd从而 ,代入变换式得原问题的解为1,udsin1()(sin)(sin)()2xyxyxyxy17. 求解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为0,0, tlutxux解：设 ，代入方程并分离变量得 )(),(TX（1） 和 （2）x0)()(2tTat求得方程（1）的通解为 ，xBxAxsincos由边界条件得 ，0)(lX代入通解可求得 ，0si,lB由 所以有固有值0A,.21,2nln于是固有函数 x
15、lnAxXncos)(解方程(2)得 ，tlanBetTt2)(从而得解 10cos),(ntlanlxCAtxu代入初始条件得 , ln10),(从而得 ， 20lA1)(2cos0 nlnxdlC则原问题的解为 12cos),( 2n tlannxleltxu 18. 求解混合问题： 的解0,0, 1xuAtt xt解：设 ，Atxvtu),(,代入将原问题化为：0,0,11xvxvtt xt设 代入方程分离变量得到 ，)(),(tTXtxv 0TX和由边界条件得 , 解 010)1(得固有值 ， 固有函数2n xnsi另求得方程的解 ，tDtnCTnicos从而得到解 1 sii),(nnxtttxv代入初值条件求得 ， ， ACn20n而有解 ，1sinco2),(nnxtAtxv则原问题的解为 xtvtxu),(, Axtn1sic19.利用 变换法求初值问题 的解Forie xutatsin0, 0,2解：对变量 施行傅立叶变换得x)(2dt以及 )(sin)0,(Fu求得问题的解 ，取逆变换得taet2, )(*sin),(21taeFxtu而 ，taxtae22411)(于是原问题解为 xedxettxu tatasin)sin(2),( 22420. 求解定解问题222(1)(,0)txtaux
