1、池州学院本科毕业论文（设计）- 0 -目 录前 言-31. 数字滤波器-41.1 数字滤波器技术的发展状况-41.2 MATLAB 软件简介-51.3 数字滤波器及其 MATLAB 实现-71.4 IIR 数字滤波器的基本概念-82. IIR 数字滤波器设计方法比较-112.1 概述-112.2 四种设计方法比较-122.3 比较结果分析-143. IIR 数字滤波器的设计过程及方法-164. IIR 数字滤波器的实现方法-174.1 脉冲响应不变法-174.2 双线性变换法-194.2.1 巴特沃斯低通滤波器的设计-224.2.2 切比雪夫低通滤波器的设计-245.各种设计方法的 MATLA
2、B 实现-295.1 基于模拟低通滤波器原型的 MATLAB 实现-295.2 基于合适类型模拟滤波器的 MATLAB 实现-305.3 基于直接原型变换法的 MATLAB 实现-31池州学院本科毕业论文（设计）- 1 -6. IIR 数字滤波器应用-33结 论-36参考文献-37摘 要根据IIR数字滤波器的设计原理，提出了IIR数字滤波器的快速设计方法，并在matlab环境下做出了实现快速设计IIR 数字滤波器的设计系统.在该系统中，只需要将数字滤波器的技术性能指标根据指定的或是需要的设计方法（如双线性变换法或脉冲响应不变法等），转换为模拟滤波器的技术性能指标，根据指定的模拟滤波器设计出相应
3、的数字滤波器，该系统中指定的模拟滤波器为巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器，该系统为快速、高效地设计IIR数字滤波器提供了一个可靠而有效的工作平台.本文首先对MATLAB软件进行了介绍，并对数字滤波器在其环境下如何实现进行了介绍；其次描述了数字滤波器的基本概念，其包括系统的描述、系统的传递函数、基本结构运算单元；本文重点描述了IIR数字滤波器的设计过程及几种设计方法，并对IIR滤波器的仿真做了一些介绍。关键词：IIR数字滤波器；模拟滤波器；脉冲响应；数字频率；设计系统；双线性变换；幅频特性池州学院本科毕业论文（设计）- 2 -AbstractThe fast design method of II
4、R(Infinite Impulse response)filter is provided based on the principle of filter design, and the design system of the IIR filter worked out under the MATLAB environment. It is necessary that the parameter of digital filter is transformed to the parameter of analog filter based on the indicated method
5、 (for example, the method of double linear transform or the method of non-changing impulse response, etc.),and the digital filter is designed based on the indicated analog filter. The Butterworth filter and the Chebyshev filter(both are analog filter)are indicated. A reliable and efficient work stat
6、ion is provided in order to design filter quickly and efficiently.First this text carries on the introduction to the software of MATLAB, and describes the design of digital filter based on MATLAB ;Describes the basic concept of the digital filter the next in order, it includes the description of sys
7、tem,delivering function of the system,the basic structure operation unit;This text point describes design process and several design methods of the IIR digital filter and the simulation of the IIR filter to do some introduction.Key words: IIR digital filter; analog filter; impulse response; digital
8、frequency; design system; double linear transformation; character of magnitude and frequency池州学院本科毕业论文（设计）- 3 -基于 MATLAB 的 IIR 滤波器的设计及应用前 言数字滤波器(Digital Filter)是指输入、输出都是离散时间信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。数字滤波器在数字信号处理中起着非常重要的作用，在信号的过滤、检测与参数的估计等方面，是使用最为广泛的一种线性系统。实现数字滤波器的方法有两种，一是采用计算机软件进行，就是
9、把所要完成的工作通过程序让计算机来实现；二是设计专用的数字处理硬件。这个地方主要用到的就是第一种方法。即是用 Matlab 提供的信号处理工具箱来实现数字滤波器。Matlab 信号处理工具箱提供了丰富的设计方法，可以使得繁琐的程序设计简化成函数的调用，只要以正确的指标参数调用函数，就可以正确快捷地得到设计结果。池州学院本科毕业论文（设计）- 4 -1 数字滤波器1.1 数字滤波器技术的发展状况数字滤波器是数字信号处理理论的一部分。数字信号处理主要是研究用数字或符号的序列来表示信号波形，并用数字的方式去处理这些序列，把它们改变成在某种意义上更为有希望的形式，以便估计信号的特征参量，或削弱信号中的
10、多余分量和增强信号中的有用分量。具体来说，凡是用数字方式对信号进行滤波、变换、调制、解调、均衡、增强、压缩、固定、识别、产生等加工处理，都可纳入数字信号处理领域。数字信号处理学科的一项重大进展是关于数字滤波器设计方法的研究。关于数字滤波器，早在上世纪 40 年代末期就有人讨论它的可能性问题，在 50 年代也有人讨论过数字滤波器，但直到 60 年代中期，才开始形成关于数字滤波器的一整套完整的正规理论。在这一时期，提出了各种各样的数字滤波器结构，有的以运算误差最小为特点，有的则以运算速度高见长，而有的则二者兼而有之。出现了数字滤波器的各种通近访法和实现方法，对递归和非递归两类滤波器作了全面的比较，
11、统一了数字滤波器的基本概念和理论。数字滤波器的领域的一个重要发展是对有限冲激响应(FIR)和无限冲激响应(IIR)关系的认识的转化。在初期，一般认为 IIR 滤波器比 FIR 滤波器具有更高的运算效率，因而明显的倾向前者，但当人们池州学院本科毕业论文（设计）- 5 -提出用快速傅立叶变换(FFT)实现卷积运算的概念之后，发现高阶 FIR滤波器也可以用很高的运算效率来实现，这就促使人们对高性能 FIR滤波器的设计方法和滤波器的频域设计方法进行了大量的研究，从而出现了此后数字滤波器设计中频域方法和适于方法并驾齐驱的局面。然而，这些均属数字滤波器的早期研究。早期的数字滤波器尽管在语音、声纳、地震和医
12、学的信号处理中曾经发挥过作用，但由于当时计算机主机的价格很昂贵，严重地阻碍了专用数字滤波器的发展。70 年代科学技术的蓬勃发展，数字信号处理开始与大规模和超大规模集成电路技术、微处理技术、高速数字算术单元、双极性高密度半导体存储器、电荷转移器件等新技术、新工艺结合了起来，并且引进了计算机辅助设计方法，它使数字滤波器的设计不仅仅是对相应模拟滤波器的逼近。一般说来，通过对模拟滤波器函数的变换来设计数字滤波器，很难达到逼近任意频率响应或冲激响应，而采用计算机辅助设计则有可能实现频域或时域的最佳逼近，或频域时域联合最佳逼近。这样，数字滤波器的分析与设计其内容也更既丰富起来，各种新的数字信号处理系统，也
13、都能用专用数字硬件实时加以实现。数字信号处理理论与技术的发展，主要是由于电子计算机与大规模集成电路的大量生产和广泛应用，替代了原来的模拟信号处理中的线性滤波与频谱分析所应用的模拟计算机和分立元件 L、C、R 线性网络，高度发挥了计算技术与数字技术相结合的特色和优越性。特别是微处理器和微型计算机技术日新月异的发展，经更有利于电子仪器与电子技术应用系统朝着数字化、小型化、自动化以及多功能等方向发展，促使它们成为富有智能型的电子系统。现在，包括数字滤波在内的数字信号处理技术正以惊人的速度向纵深和高级的方向发展；据统计这种趋势还要持续一个较长的时期，未来的发展可能会比过去的进程更为激动人心，必将引起某
14、些领域的飞跃性发展。1.2 MATLAB 软件简介MATLAB 是英文 Matrix Laboratory (矩阵实验室)的缩写。它是池州学院本科毕业论文（设计）- 6 -由美国 Mathworks 公司推出的用于数值计算和图形处理的数学计算环境。在 MATLAB 环境下，用户可以集成地进行程序设计、数值计算、图形绘制、输入输出、文件管理等各项操作。它优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在同类软件中脱颖而出。MATLAB 系统最初是由 Cleve Moler 用 FORTRAN 语言设计的，现在的 MATLAB 程序是 Mathworks 公司用 C 语言开发的。它的第一版(DOS
15、 版本 1.0)发行于 1984 年；经过 20 年的不断改进，MATLAB 已经成为国际上最流行的科学与工程计算的软件工具，最流行的计算机高级编程语言了，有人称它为“第四代”计算机语言，它在国内外高校和研究部门正扮演着重要的角色。MATLAB 语言的功能也越来越强大，不断适应新的要求提出新的解决方法。可以预见，在科学运算、自动控制与科学绘图领域 MATLAB 语言将长期保持其独一无二的地位。MATLAB 语言之所以能如此迅速地普及，显示出如此旺盛的生命力，是由于它有着不同其他语言的特点。1语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。MATLAB 程序书写形式自由，利用其丰富的库函数避开了繁杂
16、的子程序编程任务，压缩了一切不必要的编纂工作。由于库函数都是由本领域的专家编写，所以用户不必担心函数的可靠性。2运算符号丰富。由于 MATLAB 是用 C 语言编写的，所以 MATLAB提供了 C 语言几乎一样多的运算符，灵活使用 MATLAB 的运算符将使程序变得极为简短。3高效方便的矩阵和数组运算。MATLAB 语言像Basic、Fortran、C 语言一样规定了矩阵的算术运算符、关系运算符、逻辑运算符、条件运算符及赋值运算符，而且这些运算符大部分可以毫无改变地照搬到数组间的运算，另外，它不需要定义数组的唯数，并给出矩阵函数、特殊矩阵函数、特殊矩阵专门的库函数，使之在求解诸如信号处理、建模
17、、系统识别、控制、优化等领域的问题时，显得大为简捷、高效、方便，这是其它高级语言所不能比拟的。在此基础上，高版本的 MATLAB 已逐步发展到科学及工程计算的其它领域。因此，不久的将来，它一定能名副其实地成为“万能演算纸式的”科池州学院本科毕业论文（设计）- 7 -学算法语言。4MATLAB 即具有结构化的控制语句，又有面向对象编成的特性。5.语法限制不严格，程序设计自由度大。为了充分利用Fortran、C 等语言的资源，包括用户已编好的 Fortran、C 语言程序，通过建立 M 文件的的形式，混合编程，方便地调用有关的Fortran、C 语言的子程序。6.程序的可移植性很好，基本上不做修改
18、就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行。7.MATLAB 的图形功能强大。在 C 和 FORTRAN 语言里，绘图都很不容易，但在 MATLAB 里，数据的可视化非常简单。此外，MATLAB 还具有较强的编辑图形界面的能力。8. MATLAB 具有的一项重要特色是拥有功能强大的工具箱。MATLAB 包含两个部分；核心部分和各种可选的工具箱。功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能、图示建模仿真功能、文字处理功能以及与硬件实施交互功能。功能性工具箱能用于多种学科。而学科性工具箱是专业性比较强的；如 Control toolbox、 Signal processing toolbox 、 Comm
19、unication toolbox 等，这些工具箱都是由该领域内的学术水平很高的专家编写的，所以用户无需编写自己学科范围内的基础程序，而直接进行高、精、尖的研究。9.源程序的开放性。除内部函数以外，所有 MATLAB 的核心文件和工具箱文件都是可读可改变的源文件，用户可通过对源文件的修改以及加入自己的文件构成新的工具箱。MATLAB 软件自 1984 年推向市场以来，历经十几年的发展和竞争，现已成为(IEEE 评述)国际公认的最优秀的科技应用软件。它功能强大、界面友好、语言自然、开放性强的特点是它获得了对应用学科(特别是边缘学科和交叉学科)的季强是盈利，并且很快成为应用学科计算机辅助分析、设计
20、、仿真、教学乃至科技文字处理不可缺少的基础软件。在欧美等高校，MATLAB 已成为理工科高级课程的基本工具，成为攻读学位的大学生、硕士生、博士生必须掌握的技能。在设计研究单池州学院本科毕业论文（设计）- 8 -位和工业部门，MATLAB 已经成为研究和解决各种具体工程问题的一种标准软件。近年来该软件系统开始在我国国内流行。受到理工科大中专院校释省级科研人员的重视，这也是本文选择用它来设计实现数学滤波器原因所在。1.3 数字滤波器及其 MATLAB 实现数字滤波器是数字信号处理中最重要的组成部分之一。在许多科学技术领域中，广泛使用滤波器对信号进行了处理。滤波器是一种选频装置，它对某一个或几个频率
21、范围(频带)内的电信号给以很小的衰减：使这部分信号能够顺利通过，对其它频带内的电信号则给以很大的衰减，从而尽可能地阻止这部分信号的通过。通过滤波器时不经受衰减或经受很小的衰减的频带称为通带，经受的衰减超过某一规定值的频带称为阻带，位于通带和阻带之间的频带称为过渡带。于是，根据通带的不同，滤波器可分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等。此外，根据它所处理的信号型类，滤波器又可分为模拟滤波器和数字滤波器，模拟滤波器用来处理连续信号，而数字滤波器用来处理离散信号，后者是在前者基础上发展起来的。数字滤波器与模拟滤波器比较，其主要优点精度和稳定性高，系统函数容易改变，因而灵活性高，不存在阻
22、抗匹配问题，便于大规模集成，可以实现多维滤波。因此，目前在诸如通信、雷达、遥感、声纳、卫星通信、宇宙航行、测量、语言和生物医学等科学领域的信号处理中，已经运用了数字滤波技术，而且随着大规模集成电路技术和数字计算技术的发展，它的应用会越来越广泛。数字滤波器实际上就是一种数字信号处理系统的算法或设备。数字滤波器实际上是一种运算过程，数字滤波器的功能是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列，因此它本身就是一台数字式的处理设备。数字滤波器的基本原理是：先利用取样开关和模拟数字转换器将一个联系性的信号转换成数字信号。在数字计算器中完成所要求的传输函数运算之后，再通过数字模池州学院
23、本科毕业论文（设计）- 9 -拟转换器和保持电路，使信号形成最后要求的波形。数字滤波器一般可用两种方法实现：一种是根据描述数字滤波器的数字模型或信号流图，用数字硬件装配成一台专门的设备，构成专用的信号处理机，这就是硬件实现方式；另一种方法就是直接利用通用计算机，将所需要的运算编成程序来让计算机来执行，这就是软件实现方式。在硬件实现方式中，是一数字组件如延迟器、加法器和乘法器作为基本部件构成专用数字信号处理系统。不像模拟滤波器需要用电感和电容元件，因此数字信号处理机很容易用数字集成电路来制成，而且它的转移函数可变，各回路之间不存在阻抗匹配问题，因此可以很容易做成最佳冲激响应和恒定延迟的线性相移网
24、络。在软件实现方式中，它是借助于通用计算机机器语言、汇编语言或高级语言程序来做数字滤波器的运算过程。数字滤波器的设计与实现，通常按下属步骤进行：首先，根据不同用途提出数字滤波器的技术指标，在设计一个滤波器前，必须由一些指标，这些指标要根据应用要求确定。然后，设计一个稳定的、因果的数字模型 H(Z)来逼近所要求的技术指标；最后，设计专用的数字硬件来实现这个数字模型，或者用通用电子计算机来运行程序软件予以实现。1.4 IIR 数字滤波器的基本概念这里所讲的数字滤波器都是一个离散的 LTI 系统，离散 LTI 系统模型如图 1-1：图 1-1注：X(n)、y(n)分别是系统的输入输出序列，H(E)是
25、系统本身的特性(转移算子)。系统对于输入的离散序列 x(n)总有对应的输出 y(n)。x(n)是离池州学院本科毕业论文（设计）- 10 -散的信号,每个 x(i)可能有不同的幅值,有了前后不同幅值的变化,就可以引出离散信号的频率这一性质。数字滤波器就是对不同频率的数字信号从频域进行信号分离的时序电路或器件或一段程序。数字滤波器按功能分为低通、高通、带通、带阻、全通滤波器。()()j jnnXexe（1-1）1()()2jjnxned（1-2）由序列傅氏变换公式可知，离散信号的傅氏变化是 的函数，周期为 2 。只需研究- ，不需要在整个 轴上分析其信号。所以，:数字滤波器的通带分布如图 1-2：
26、图 1-2池州学院本科毕业论文（设计）- 11 -2.IIR 数字滤波器设计方法比较2.1 概述IIR 数字滤波器的最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。模拟滤波器设计已经有了相当成熟的技术和方法，有完整的设计公式，还有比较完整的图表可以查询，因此设计数字滤波器可以充分利用这些丰富的资源来进行。对于 IIR 数字滤波器的设计具体步骤如下：(1)按照一定的规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。(2)根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器 G(s)(G(s)是低通滤波器的传递函数)。(3)再按照一定的规则将 G(s)转换成 H(z)(H(z)是数字滤波器的传递函数)。
27、若设计的数字滤波器是低通的，上述的过程可以结束，若设计的是高通、带通或者是带阻滤波器，那么还需要下面的步骤：将高通、带通或带阻数字滤波器的技术指标转换为低通模拟滤波器的技术指标，然后设计出低通 G(s)，再将 G(s)转换为 H(z)。Matlab 信号工具箱提供了几个直接设计 IIR 数字滤波器的函数，直接调用这些函数就可以很方便地对滤波器进行设计。这里选取巴特沃斯法、切比雪夫 I、切比雪夫、椭圆法四种方法进行比较。给出用上述方法设计数字滤波器的函数如下：池州学院本科毕业论文（设计）- 12 -其中：Wp 表示通带截止频率；Ws 表示阻带截止频率；Rp 表示通带纹波系数；Rs 表示阻带纹波系
28、数；N 表示滤波器最小阶数；Wn 表示截止频率。b，a 分别表示阶次为 N+1 的数字滤波器系统传递函数的分子和分母多项式系数向量；Fs 为采样频率；n 为在区间O Fs频率范围内选取的频率点数；f 记录频率点数。n 取 2 的幂次方，可以提高运算的速度，因为 freqz 函数采用基 2 的 FFT 算法。ftype=high 时，为高通滤波器；ftype=bandpass 时，为带通滤波器；ftype=stop 时，为带阻滤波器。2.2 四种设计方法比较(1)在低通滤波器中的比较池州学院本科毕业论文（设计）- 13 -假如：Wp=20 Hz，Ws=50 Hz，Fs=200，Rp=1 dB，R
29、s=30 dB，分别用 Butterworth 低通滤波器、Chebyshev I 型低通滤波器、Chebyshev型低通滤波器、椭圆低通滤波器四种方法进行设计，如图 1 所示。(2)在高通滤波器中的比较假如：Wp=50 Hz，Ws=20 Hz，Fs=200，Rp=1 dB，Rs=30 dB，分别用 Butterworth 高通滤波器、Chebyshev I 型高通滤波器、Chebyshev型高通滤波器、椭圆高通滤波器四种方法进行设计，如图 2 所示。池州学院本科毕业论文（设计）- 14 -(3)在带通滤波器中的比较假如：Wp=100，200，Ws=50，250，Rp=3 dB，Rs=30 d
30、B，Fs=1 000，分别用 Butterworth 带通滤波器、 Chebyshev I 型带通滤波器、Chebyshev型带通滤波器、椭圆带通滤波器四种方法进行设计，如图 3 所示。(4)在带阻滤波器中比较假如：Wp=100，200，Ws=50，250，Rp=3 dB，Rs=30 池州学院本科毕业论文（设计）- 15 -dB，Fs=1 000，分别用 Butterworth 带阻滤波器、Chebyshev I 型带阻滤波器、Chebyshev型带阻滤波器、椭圆带阻滤波器四种方法进行设计，如图 4 所示。2.3 比较结果分析通过对各种类型的滤波器通过不同的方法进行设计，可以使一些结论得到验证
31、。利用 Butterworth 滤波器、Chebysheve I 型滤波器、Che-bysheve型滤波器、椭圆滤波器都可以进行低通、高通、带通、带阻滤波器的设计，但是各有特点。Butterworth 滤波器通带内的幅频响应曲线能得到最大限度的平滑，但牺牲了截止频率的坡度。Chebysheve I 型滤波器通带内等波纹，阻带内单调；Chebysheve型滤波器通带内单调，然而阻带内等波纹；椭圆滤波器阻带和通带内都是等波纹的，但下降的坡度更大，而且可以以更低的阶数实现和其他两类滤波器一样的性能指标。池州学院本科毕业论文（设计）- 16 -3.IIR 数字滤波器的设计过程及方法1、按设计任务，确定
32、滤波器性能要求，制定技术指标2、用一个因果稳定的离散系统的系统函数 H(z)逼近此性能指标3、利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等4、实际技术实现：软件法、硬件法或 DSP 芯片法IIR 数字滤波器的系统函数是 z 的有理函数，可表示为：（3-1）101()()1MMi ii iNNi ii icbzHzAadz系统函数的设计就是要确定系数 或者零、极点 ，以使滤波iabicd器满足给定的性能要求。这种设计一般有 3 种方法。池州学院本科毕业论文（设计）- 17 -1、零极点位置累试法。当滤波器性能未达到要求时，通过多次改变零极点的位置来达到要求。此方法只适用于简单滤波器。
33、2、用模拟滤波器理论来设计数字滤波器。在 IIR 数字滤波器的设计中较多的采用这种方法。本节将详细介绍这种方法。用计算机辅助设计，优化技术设计。4.IIR 数字滤波器的实现方法4.1 脉冲响应不变法要设计一个数字滤波器去仿真一个模拟滤波器有脉冲响应不变法和双线性变换法。其设计过程都是由给定的模拟滤波器的系统函数去变换出相应的数字滤波器的系统函数 。脉冲响应不变法()aHs ()Hz的设计过程如下：1、 已知一模拟滤波器系统函数：池州学院本科毕业论文（设计）- 18 -(设 MN) 01()()MMi ii iaNNi iiisqsHsAbp（4-1）2、 为方便求出其时域的单位脉冲响应，将上式
34、化为部分分式之和的形式： 1()NiaiAHsp（4-2）3、 由拉氏反变换得模拟滤波器在时域的单位脉冲响应： 00122()()/2()()()/()jnmsaNMjtijiaNiijcazNsXexeHcssAbsutexytxHzf1()()iptaihtLHsAu4、 由时域的数字仿真条件(即脉冲响应不变准则)可得到相应的数字滤波器的脉冲响应：(4-3)1()()()iNpnTihnTAeu5、再对两边进行 Z 变换，即可得到数字滤波器的系统函数： 1()()()iNpnTn nniHzhzeuz 1101()i iNpTni pTiniAAeez(4-4)池州学院本科毕业论文（设计）
35、- 19 -1:i ipTpTROCezze用脉冲响应不变法来设计数字滤波器，只需将给出的模拟滤波器的系统函数 化为部分分式之和的形式，找出极点 和系数 ，带()aHs ipiA入数字滤波器传函当中即可。111()()iNNia pTi iAAszpez（4-5）由上述 和 的表达式可看出： iis是模拟滤波器的一个极()aHsz点，则相应的 就是数字滤波器里的一个极点。推而广之，则ipTie可得到脉冲响应不变法下的 s 平面和 z 平面的映射关系： 令sTze， 可得 z 平面的模、幅角和 s 平面的实部、虚部jzesj之间的关系：，jTjTe图 4-1由 的周期是 2 可推得 的周期是 2
36、 /T。注意,由 的周期性可见, 必须满足模拟滤波器的最高频率或频率响应 必须在- /T, /T上严格限带的。/ms()aH4.2 双线性变换法双线性变换法的思想是：将模拟滤波器的传递函数形式化为完全以积分器（1/s）构成的网络函数形式。然后由数字网络来代替模拟池州学院本科毕业论文（设计）- 20 -积分器，从而整个滤波器网络都转化成了数字的。双线性变换法的设计过程如下：1.由积分器构成的模拟滤波器的系统函数形式：（设 M=N 以方便说明） 00()2NMjtijiaNii cssHAb（4-6）2.由传递函数得信流图：图 4-24. 积分器的数字形式推导已知： ，若积分器的输入输出为 、 ，
37、则有：()1/uts()axtayt0()()taayxd（4-7）设有 0 ,可得：1t2池州学院本科毕业论文（设计）- 21 -212100()()()ttaaaaytxdx（4-8）当 趋于 时，可得：1t21121()()()aaaytxttt（4-9）令 =nT-T， =nT，即 ，则 T 0 时，有下式成立： 1t2t12t()()()()aaaaynTxnx（4-10）令 y(n)= (nT),x(n)= (nT),得到数字式积分器的差分方程：az()1)()(2Tynxn（4-11）对数字式积分器的差分方程两边进行 Z 变换，可得数字式积分器的传递函数： 11()()()2TY
38、zzXz1()X（4-12）4.当 T 足够小的时候，信流图当中的模拟积分器传递函数就可以由数字积分器传递函数代替。从而得到性能与模拟滤波器相近数字滤波器。12Tzs（4-13）5.从而可得到模拟滤波器的复频率与数字滤波器的复频率之间的关系：或 12zsT 2/Tsz（4-14）池州学院本科毕业论文（设计）- 22 -所以，用双线性变换法来设计数字滤波器，只需将给出的模拟滤波器的系统函数 当中的 s 替换为一个关于 z 成双线性关系的网络即()aHs可。12()()azsTz（4-15）6.令 s= +j ,z=r 可得 z 平面与 s 平面的映射关系：je122Tr 22arctgarctg
39、T（4-16）即：图 4-3讨论 s 平面的虚轴与 z 平面的单位圆之间的映射关系，令 =0 可得到双线性变换法下模拟滤波器的角频率 与数字滤波器的角频率 之间的关系：或 022TarctgarctgarctgT2tgT（4-17）由关系式 rct可知 与 之间的非线性关系如图：池州学院本科毕业论文（设计）- 23 -图 4-4从而使所设计的数字滤波器的截止频率发生变化。设计当中应式子： 2tgT把已经得到的数字滤波器截止频率 预先变换为 。c4.2.1 巴特沃斯低通滤波器的设计巴特沃斯滤波器，又被称为“最平”的幅频响应滤波器。这是因为，该滤波器在通带内具有最大平坦的幅度特性，而且随着频率升高
40、呈现出单调减小的特点。N 阶低通巴特沃斯滤波器的特性函数为 221|()NcGj（ j）（4-18）其中， 为通带宽度，即截止频率。当阶次 N 增大时，滤波器的特性c曲线变得更加陡峭，其特性就越接近于理想的矩形幅频特性 。2|()|Gs巴特沃斯滤波器属于全极点设计，它的极点由下式决定。 22211| ()()NNccGssj（ j）（4-19）池州学院本科毕业论文（设计）- 24 -式中， 。所以，在 s 平面上有 2N 个极点等间隔地分布12()NpcSj在半径为 的圆周上，并且极点都是成复共轭对出现，极点位置与虚轴对称，但不在虚轴上。下面结合一个具体的实例，来说明巴特沃斯滤波器的设计过程。
41、例：设计一个性能指标为：通带的截止频率 =10000rad/s，通带的c最大衰减 =3dB，阻带的截止频率 =40000rad/s,阻带的最小衰减pAs=35dB 的巴特沃斯滤波器。s解：（1）求相关参数0.10.5()Ap.6.2s（2）确定参数 Nlg()2.9spj（3）取 N=3，根据21()()a NcHssj得到 13(0.5)2csj2c33(0.5)csj所以， 的极点形式可表示为()aHs123()()aHss池州学院本科毕业论文（设计）- 25 -即满足系统性能指标的函数 ()aHs22310ss程序：Wc=10000;Ws=40000;Ap=3;As=35;Np=spt(
42、10(0.1*Ap)-1);Ns=sprt(10(0.1*As)-1);n=ceil(log10(Ns/Np)/log10(Ws/Wc);z,p,k=buttap(n);Syms rad;Hs1=k/(i*rad/Wc-p(1)/(i*rad/Wc-p(2)/(i*rad/Wc-p(3);Hs2=10*log10(abs(Hs1)2);ezplot(Hs2,-60000,60000);4.2.2 切比雪夫低通滤波器的设计切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性。它有两种形式：切比雪夫 I 型滤波器，即振幅特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的；切比雪夫 II 型滤波器，即振幅特性在阻带内
43、是等波纹的，在通带内是单调的。下面主要介绍切比雪夫 I 型滤波器的设计原理。切比雪夫 I 型滤波器的幅度平方函数为：22 21()()aNcAHj(4-20）其中， 表示通带内振幅波动的程度，它为一个小于 1 的正数，其值越大波动就越大。 为通带宽度，也是截止频率。 是切比雪夫c ()NCx池州学院本科毕业论文（设计）- 26 -多项式，定义为： 1cos(),0()(NxCxh（4-21）切比雪夫多项式的递推公式为:11()()()NxNCCx（4-22） 通过上面的介绍，可以看出确定切比雪夫滤波器需要 3 个参数： 、和 N。c（1） 的确定通带波纹定义为2maxmaxinin()()0l
44、g0lgHjHj（4-23）而又由于 2max2in()1Hj所以得到即 210lg()0.51（4-24）（2）N 的确定阶数 N 等于通带内最大和最小值个数的总和。如果 N 是奇数，则在=0 处有一最大值，如果 N 为偶数，则在 =0 处有一最小值。令阻带的截止频率为 ，阻带的容许衰减为 ，则ssA2(0)1lgassHAj池州学院本科毕业论文（设计）- 27 -（4-25）又因为 ，所以2(0)1aH220lg(1)Ncj 0.1.5()sA（4-26）所以，化简后得到NcC（4-27）又由于1,1sssNcccCh所以滤波器的阶数 N 为N 1()sch（4-28）这样， 、 和 N
45、的数值确定以后，就可以求出滤波器的极点，并确c定 了。()aHs（3）滤波器系统函数 极点的确定()aHs滤波器系统函数 的极点由下式确定：21()0Ncsj（4-29）可解得： iiisj其中， 21n()ichN池州学院本科毕业论文（设计）- 28 -1()shN由此可见，滤波器的极点分布在一个椭圆的圆周上。求得滤波器系统函数 的极点后，即可求出切比雪夫 I 型滤波器的系统函数为：()aHs1()caNiis（4-30）而切比雪夫 II 型滤波器的幅度平方函数为：22 21()()()aNsHjCA（4-31）Cheb1ap 函数：设计切比雪夫 I 型滤波器调用方式：z,p,k=cheb1ap(n,rp):返回设计的切比雪夫 I 型滤波器的零点、极点和增益。n 为滤波器的阶数。另一个输入参数 rp 为滤波器在通带内的最大衰减值。例：设计一个在阻带内的最大衰减为 0。05dB 的 5 阶切比雪夫 I 型低通模拟滤波器原型。程序：n=5;rp=0.05;z,p,k=cheb1ap(n,rp);b,a=zp2tf(z,p,k);w=logspace(-
