1、2、无穷积分的性质与收敛判别1、证明定理 11.2 及其推论 1定理 11.2（比较法则）设定义在 上的两个函数 和 都在任何区间 上可),afg,ua积，且满足 ，则当 收敛时， 必收敛),(|xgf adxg)(adxf|)(|（或者，当 收敛，所以 ，当 时，有 。adAAu12 21u由于 ， ，因此更有)(|xf ),2121(|uudxg故 收敛。adxf|)(|推论 1 若 和 都在任何 上可积， ，且 ，则有fg,ua1)(xgcxgfx)(|lim（I）当 时， 与 同敛态；c0adxf|)(|a（ii）当 时，由 收敛可推知， 出收敛；gdxf|)(|（iii ）当 时，由
2、 发散可推知 也发散。cax)(a|证 （ I）因为 ，所以 存在 ，使得当cgfx)(|lim0 )(0caA时，有Axcxfc)(|0即 （*）dxgfg)(|)(|从而，若 收敛，那么 收敛。于是由adx)(Ac收敛。Axffxf |)(|)(|若 发散，则 发散，而 故agAdgc |,)(|)(0xfgc发散，即 发散。综合即知， 与dxf|)(| axf|(| ad|同敛态。adxg)(（ii）在（*）中令 ，取右半个不等式，类似可证得结论。0c（iii ）在（*）中取 ，用左半个不等式即将得证。12、设 与 是定义在 上的函数，对任何 ，它们在 上都可积。证f),aau,u明：若
3、 与 收敛，则 与 也都adx)(adxg(2adxgf)(adxgf2)(收敛。证由 及 与 收敛可知)(1|2ffgaf)(2a)(2收敛，故 也收敛。又adx)(2dxg22)(gff从而，由 ， 及 收敛知 收敛。axf)(2ax2ax)(adxgf)(23、设 ， ， 是定义在 上的三个连续函数，且成立不等式gh),证明：)()(xfxf（1）若 与 都收敛，则 也收敛；adadxg)(adxf)(（2）又若 ，则Axh)(（1）由于 ， ， 是定义在 上的三个连续函数，故fh),必在有限区间 上可积，又由 知ghf, ,ua)(xgfx)(|)(| hgxfxf 由已知，有 收敛，
4、据比较原则，知 收敛，从而adh adxhf|)(|收敛，由 收敛得 也收敛。axf)(ax)(adxf)(（2）由已知，在给 ，有MAaaagdh)()()(且 ，cMAxxlimaag)()(由迫敛性定理：。aMaAdxfdxf)(lim)(4、讨论下列无穷积分的收敛性：（1） （2） ；041x1dxe（3） ； （4） ；0xd13arctnx（5） ； （6） ；1)ln( 0)0 .(mdxn解（1）因为 ，所以积分收敛。1,34,lim34pxAx（2）因为 ， ，所以积分 收敛，从而积分01li2xe0,21xed收敛。11xdd（3）因为 ，故积分发散。1,2,lim21px
5、（4）因为 ，这时 ， 故积分收敛。arctnli3xx 2（5） 时， ，故积分发散， 时，由于1n21)l(nnx1n。0)l(im)l(lim212 nxnnx这里 ，故 时积分收敛。0,1p（6） ，这时 ， ，所以当1lili nxnmnx mnp时积分收敛，当 时积分发散。1mn5、讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛：（1） ； （2） ；sindx021)sgn(idx（3） ； （4）0coesil)(解（1） 112sinsintddx11ii2t由课本 P274 例 3 知： 是条件收敛的。1sindx（2）由于 。而 收敛，所以 绝对收0,)sg(i22x21xddx
6、021)sgn(i敛。（3）由于 在 上单调且当 时趋于零，由狄利克雷判xdA10,cos0 ,别法可知积分（3）是收敛的。又因 xx2sinl)(sinl)(col2l而 发散， 收敛，从而积分（4）不绝对收敛，因此3n)(dx32cosln)(xd（4）积分条件收敛。6、举例说明： 收敛时 不一定收敛； 绝对收敛时，adxf)(af)(2adxf)(也不一定收敛。adxf)(2解 令 ，则 收敛，),21(1,0,)(33nxnf 112|)(|ndxf但 发散。112)(ndxf7、证明：若 绝对收敛，且 ，则 必定收敛。axf)( 0)(limxfxadxf)(2证因 ，所以 当 时，
7、 ，从而在 上，09limx aA,1|),A现 绝对收敛，于是 收敛，从而 收|)(|2ffadxf)(2Axf|)(| xf(2敛，故收敛。aAaAdxfdxfdxf )()()( 2228、证明：若 是 上的单调函数，且 收敛，则 ，且,axf)( 0)(limxfx。)(10(xf证 设 单调递减，则必有 （否则，若存在 ，使 ，则当f 0)(xf bx0)(xf时， ，从而 ，发散，矛盾） 。bx0)(bxabaff由 收敛知，任给 ，存在 时adfMx,xxftftf22)()()(故当 时， ，因此 ，所以M0f 0)(limxfx，且 。)1()xgf )(lifx9、证明：若
8、 在 上一致连续，且 收敛，则 。f,Aadxf)( 0)(limxfx证因为 在 上一致连续，故任给 ，存在某个 ，使当)(a0且 时，有21,x,a|21x（1）|)(|ff又因 收敛，所以对 ，存在 ，使当 时，有adx1aMx（2）xtf)(现考虑积分 。 时，由（1）有xdtf)(xt。)(tf从而 ，即xxxdtftftf )()(（3）xxdtfdtf)(于是当 时，由（2）及（3）知Mxdtff)(1|)(| xxxdtftff )()()(。2故 xf0)(lim10、利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法。证：阿贝尔判别法： 收 敛 ） 。上 单 调 有 界 ， 则在收 敛 ，则 aa dxgfaxgdxf )(),)()(因 存 在 且 为 有 限 数 ； 于 是上 单 调 有 界 ， 从 而在 )(lim, xgAgx 收 敛 。收 敛 ， 因 而 判 别 法 知故 由上 单 调 且在上 有 界 ， 而 在收 敛 ， 所 以又 因 为 aaaa x uaa dxAgxfdAfdgfdxAgxf DirchletfFfff )()()()( ,0li),)(, )()()(
