1、1函数的极值和最值及其应用函数极值的定义设函数 在 附近有定义，如果对 附近的所有的点，都有 ，则 是()fx0 0x0fxf0fx函数 的一个极大值。如果附近所有的点，都有 ，则 是函数 的 0fx一个极小值，极大值与极小值统称为极值。极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。若函数 在点 处可导，且 为 的极值点，则 .这就是说可导函数在点取f0x0xf0fx极值的必要条件是 .f函数最值的定义设函数 在 区间上有定义，如果存在一点 ，使得 不小于其他所有的fxX0xX0fx，亦即 ，f 0,fx则称 是在 上的最大值，又可记为 ；0x 0mafxfx同样使得 不大于其他所有的 ，亦
2、即 ，f fx,oX则称 是在 上的最小值，又可记为 .0xX0infxfx注意：函数 在 上未必一定有最大（小）值。fx最值和极值的联系与区别（1）极值一定是函数在某个区间内的最值；（2）极值未必是最值；（3）如果函数的最值在某个区间内取得，那么该点一定是极值点。函数极值、最值的求解方法1、降元法求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解。2例 1：已知 ，求函数 的极值。2xy2zyx解：由题设得 ，代人 得228zxx802即函数的定义域为： 2,当 时， 当 时，2xmaxzxmin0z2、转化法在函数极值法不易直接求解的情况下，应注意观察题
3、型结构，分析题设特点，把复杂的问题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解。下面二例的解法作为参考。例 2：求函数 的极小值.22105xx解：设 y令 125,zxizi则： 150yimin5y例 3：求函数 的极值sin2cox解：原函数化为： siyx，其中21sinsyx21nytany解得： 2403miax40,3y3、换元法换元法是把问题进行转化的一种常用方法。例 4：已知 ，求 的极值.21xy34zxy解：2,令 cos,sin/0xy3则 （其中 ）3cos2in17cosz2tan3minmax,17,zz例 5：求函数 的极值2sin3iyx分析：本例可通过辅助元
4、把所给函数化为二次函数：sTx，21y即把上述极值问题转化为抛物线 在 范围内求最高点和最低点的问题。3T1,此处不予以细致解答。4、判别式法若所给函数式（可加约束条件）如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则可用判别式法求函数的极值。例 6：已知 满足 ，求 的最小值.,xy2260xyxyzxy解：由 得 代人约束条件并以 为主元整理得：zz22460x解得: （1）2,1Rzz32z当且仅当 时（1）式取等号。4*3x由 的对称性知当 时， .,y2xymin32z或求函数 的最大值134627y5、不等式法例 7：已知 满足 ，求函数 的极值。,xy24690yxy2zxy解：由已知式
5、配方得： （1）22182 *xyxy4（2）21*8xy得 解得16721,xyminax7,1.z其实，函数极值的解题方法不少,如三角法、参数法,极坐标法、区间法等都有一定的技巧性.解题时应认真分析,审查题目的特征、结构、挖掘隐含条件,抓住特征,发挥联想,运用灵活多变的替代、转化,有时还需要反其常规,逆向思维,以退为进选择合理的解题方法,逐步提高解题技能,才能做到准确简捷地解题.本文就此不做具体展示。6、几何法例如：已知 ，求函数 的最小值。92075xy2244zxyxy解：本题的几何意义是在直线 上求一点 ，使得 到点92075xyQ的距离之和为最小。如图：4,0设：点 坐标为 ，直线
6、 的方程为 。由几何光学原理知12,P4,0l92075xy当点光源从 射出后，经镜面 反射到点 。这时l2P12QPM就是所求的最小值。设点 关于光线 的对称点为 ，于是 ，由2Pl1,Mxymin122Z解得110,495*24yx1120,37i2201043737zP7、导数法闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的极值，而极值又来源于 的根处的函数值。所以建议求可导函数在闭区间a，b上的最值可分以0fx5下两步步骤进行：1.求函数的导数 2.求函数在a，b内令 的 的值（称之为“驻点” ）0fx3.判断驻点左右两侧 的正负，以此判断函数曲线的走向（ 为上升，0
7、fx为下降） ，左边上升、右边下降的驻点处的函数值为极大值，反之为极小值。0fx4.如果函数驻点较多，分段讨论，并可以列表、画图表达5.求最大值，将所有极大值和函数定义域区间端点的函数值一起比较，取最大的，则为最大值。最小值亦然。例： 求函数 在闭区间-2，2上的最大值和最小值。 解：先求导425fx数得： ， 令 即， 3f 0fx340x解得 计算得： 123,0,1xx1,5,14,fff比较得ffmaxin3双根式和或差的函数的最值问题：1、求函数 的最值；329ttu2、求函数 的最值；（单调性法）3、求函数 的最值；（平方法、换元法）tt4、求函数 的最值；（分子有理化）329u5、求函数 的最值；（多种方法）tt6、求函数 的值域；527、求函数 的值域；tu8、求函数 的最值；74229、求函数 的最值；168418523xxtt
