1、第十章 附 录10.1. R 中 Lebesgue 测度的平移不变性及 Lebesgue 不可测集定义 1设 ， 称 为 E 关于 y 的平移EyyExyEy 引理 1设 ，则 成立：F ,(1) ； (2) ； (3) yyy)(cyyc)()( )(*yEm( 据 ，10 题 ) (证略)Ch3 ,4P定理 1. (测度的平移不变性) 若 E 可测，则 也可测，且 yEmy)(证：由 ， 11 题知，E 可测 可测， 且 ,4 E*Zermelo 选择公理对于集族 ，若每个 ，则 ，可选取元素 IAAIAxLebesgue 不可测集的构造：，记 1 0, x 1,0)( Qxyyx结论：(
2、i) 且 ,EE() ,() ,1 ,0x(ii) .)()(; ,10 x, 212121 xS当 )E(xy )(y xy )( , 221121 QxQEyQ当 ，可取 ，则 21xSx若 )(1Ex ,1Q 矛盾 y)()()(221 )( 2x对 上的集族 ，每个 非空，可取 ，得集 ,0 1 ,0xE)(xEyx合 , xyF下证 F 是不可测集为此，记 ， , , 1 ,21nrrQ ) 3,2 1(n ,Frn(iii) 若 则 ,nmnmF假设 满足 从而 ，且不xFn , 则 nmrxrx Qrxmnm为 0， nmx于是， ，这样， 包含两个不同的点 和 ，与 F 的取法
3、矛盾)()(E )()(nmxEFxmxn(iv) 2 ,1F1,0 n显然， ,1 n，设 ，则 1,0y )(xyEFnrxy ,xy N,n , nn rrQx 使由于 从而 nFy ,1 nF ,0有了以上准备，易证明 F 的不可测性反证法假设 F 可测，则 也可测，且 但 nmFn互不相交，故 ， 即 1nF 3)2 ,1(m)1 ,0(1 n1 n m 31 n是常数，这不可能成立所以，F 不可测m10.2 有界变差函数与绝对连续函数定义10.2.1. 实函数 ， 的分划 ， 记 Rbaf ,:,ba bxxan210 :， 称 为 f 在分划 下对应的变差nkkkf xffV1
4、1)()()( )(fV若 ，则称 为 上的有界变差函数 ，记 ；supf f ,ba ,baBVf称 为 在 上的全变差；)( )(fbaVf f ,称 ， 为 的全变差函数ba, x),()(fxTaf f定义10.2.2. 实函数 若 对于 上任意有限个互不相交的开区间 ， , ,F 0, , ,ba )b ,(ka当 时，有 ，称 为 上的绝对连续函数(或全连续函数 )kkb)(kkkaFb)()( )(xF ,定义10.2.3. 设 ， 称 ， 为 f 的一个不定积分 （ 书上错）,aLf x,)(admf,bax194P定理10.2.1. (1) 若 ，则 有 ； 若 使得 且,b
5、BVf b, ,1,1BVf b) (a,c ,caBVf，则 ，且有 ,bcBVf a， )()(fffcaba ) byxa ),()()( Tyfffyx(2) , ,bBVfbaBf) byxa ,(Tff (3) 若 ， 则 ， 且 ，Rgf , ,g ,f , baBV ( (fVfaba； ， ； )b, x),(T )(ff ax )()(ffVababa )b, x),(T)(Tgfgf ax， ，)()() ( fVMgfVbagbafba ) b, x),(TM)()(Tfggfg f axx其中 分别为 在 上的界 说明 是一个线性空间gf ,f , , ,baBV(4
6、) 若 为 上的有界单调函数，则 ， 且 .f,ba ,f)()(afbfa(5) 若 ， 则 与 具有相同的左、右连续点 .,BVfffT(6)（Jordan分解）若 ，则存在 上的两个单增函数 ，满足 ,baBV ,ba)( xhg与 hgf定理10.2.2.( 以下函数的定义域均为 )(1) 绝对连续函数必为一致连续函数；(2) 绝对连续函数必为有界变差函数；(3) 满足Lipschite 条件的函数必为绝对连续函数；(4) L可积函数 的不定积分 为绝对连续函数，且 ；)(xf)(xF)(FVbab ,fadm(5) 绝对连续函数的线性组合与乘积为绝对连续函数；(6) 绝对连续函数的全
7、变差函数为绝对连续函数；(7) 绝对连续函数必可分解为两个单增的绝对连续函数之差引理1. (略) 引理2. R 上的有限值单调函数关于 可导.eam定理10.2.3.设 为 上的有界单增函数，在 的导数不存在的点x 处规定 为任一值，则f ,baf )(xf，且 ,Lf )()d f, bf推论若 或绝对连续函数， 则 f 在 上 存在有限导数 若在 不存在的点 处BVf ,ba.emfx规定 为任一值， 则 )(x ,aLf引理3. 若 为 上的绝对连续函数，且 ， 于 ， 则 为常值函数F,ba0)(xF.e,baF定理10.2.4.(微积分基本定理)为 上的绝对连续函数的充要条件是， 满
8、足 (x , , baLf； 而且 于 ba, x,)() x,dmfa ),()(xfF .eam ,b推论连续函数 ，对应的有限广义 测度为 ，则 为 上的绝对连续函数 baBVFSF,mF10.3 RiemannStieltjes 积分定义10.3.1 设 为 上的单增函数，对应于 的每个分划 ，记 )(x ,ba,ba bxxn10a ：设 f 在 上的有界实函数， ， )(1kkkx , kkfUn1 M),( kkfL1 m),(分别称为 f 关于 与 的 Darboux 上、下和，其中 ， ),supkxfM ),inkxfm记 ， ),(inf)(Uxdfba ),(sup)(
9、fLxdfba若 ，称之为 在 上关于 的 RiemannStieltjes 积分，)(f (x)(badffbabaf ,ba)(x并称 在 上关于 RS 可积，记为 f ,) ;, Rf定理10.3.1. 的充要条件是， ， 分划 ，使得 ); ,(bf0),(),(fLfU定理10.3.2. 若 ,则 ；并且，对于 ,对 的任一分划 baCf ) ;, (baf 0 ba， ，以及在分划 下的任一介点集 xxn10a： mx1n k1k , ,2（其中 ） ， 均有 n, 21,k ,x1k )(fxd)f( ban1kk定理10.3.3. 设 为 上的有界单调函数， 为 上的有界单增连
10、续函数，则 f ,ba)(x,ba ); ,(baRf定理10.3.4.（RS 积分的基本性质）(1) 若 ， 并且); ,(f ) ;, (f, 2121Rx)d)(xdfx)d(bababa (2) 若 ， 为常数，则 ， 并且 ) ; ,Rfc); ,(c f )(fxd c)(cfxdbaba说明 是一个线性空间 ,(b(3) 若 ， ， 则 ) ; ,(,21af )()(21xff )(xdf )(xdfba2ba1(4) 若 ，则 ， ，并且 bca ; ,，bRf ; ,(cRf; ,cRf)f(xd)(fxd)(xd ccaba (5) 若 ， ，则 ， 并且 ; ,1bRf
11、 ; ,2baRf ) ; ,(21baRf)(xd)(xd)()(x)d ba2ba12ba1 (6) 若 ， 为正常数，则 ， 并且 ; ,fc )c; ,( baRf)(fxdc)(f(x)dbaba 定理10.3.5. 设 ， ， ，则 ; ,(Rf )ba, x(, Mmxf ,MmCg ) ; ,(baRfg（ 与 的复合函数） fg定理10.3.6. 若 ，那么：) ; ,(v,bau(1) ； (2) ，且 ) ;, (vbaRu ); ,( baRu )(dux )(uxdbaba定义10.3.2 设 为 上的有界函数， 为 上的有界单增函数对应于 的任一分划 f ,bax
12、, ,，任取介点集 ，作和 ，称它为xxn10a ： , ,n21n1 k)f() ,(f关于 与 的RiemannStieltjes 积分和f设 A为实常数，若 ，对于任一分划 以及介点集 ，只要 ，就有 0 , ，则记作 f) ,( Af)( lim0定理10.3.7. 若 与 有公共的间断点 ，则 不存在fb,ac), (lim0 f定理10.3.8. (1) 若 存在，则 ，且 ), (li0 f ); ,(baRf baxdff )() ,( li0 (2) 若 (a) ，或(b) ，且在 上连续单增，则上式成立,baCf) ;, (baRf ,定义10.3.3 ，Jordan分解
13、若积分 ， 存在，定义 ,BVbaxdf)(baxdf)(bababa xdfxdfxdf )()()( 注在下述两种情形下，则上述积分必存在：(A) ， ； ,Cf ,(B) ，且 ,baBVbaC定理10.3.9. 设 ， 满足上述注的(A) 或(B)， 为 在 上的全变差函数，则 f T,baaba xdTfxdf )()(定理10.3.10. 设 ， ，则 （分部积分 , ,BVf,Cf baba xdfff )()()( 法）定理10.3.11. 若 ， 为 上有界单增函数， 则 满足 ,baCf)(x,a ,)()(abfxdfba 定理10.3.12. 若 在 上单调， 且 ，
14、则 使得f , ,BV,C,b)()()()( ffxfba定理10.3.13. 若 ， 为严格增加函数， 是 的反函数，记 则 ,Cgfgxhg,)( ,)(dbgca （换元积分法）dcba yfxf )()(定理10.3.14. 若 ，则 ，且 ,baRf; ,Rfbaba dxfxdf )(定理10.3.1510.3.16. 设 ， ， 为 在 上的全变差函数 定义 ， ,baCf ,baBVT)(x,ba 0)(aF， ， 那么：xatdtfF )()()x(1) ，且 ；,bBV ) ba, x(),()( tdTtfFxaxa(2) ； ,)0)0( fxF；bxa()() xx
15、(3) tdTtfVbaba定理10.3.17. 设 在 上有界， 为 上有界单增函数，则以下三条等价：f ,)(x ,ba(1) ); ,(bRf(2) 存在实常数 具有下列性质： ，存在 的一个分划 ，使得对 的任一加细 及分划A0 ,ba下的任一介点集 ，有 ), (Af(3) ，存在 的一个分划 ，对于 的任一加细 ，均有 0,ba ) ,() ,(0fLfU定理10.3.18. 设 ， ， 在 上一致收敛于 ，则 BV ,baCfnnf,baxaa dxfdx)()(lim定理10.3.19. 设 ， ， 于 ，且 使得 ,baCf ,BVnn ,n ,ba0k， ，那么 ，且有 kVnba)()3, 21 (,baabann xdfxdf )()()( lim
