1、常微分方程习题集（1）（一） 、填空题1、 当 时，方程 称为恰当方程，0),(),(dyxNyxM或称全微分方程。 2、形如_的方程，称为齐次方程。3、求 满足 的解等价于求积分方程),(yxfd0)(yx_的连续解。 4、设 )(是一阶非齐次线性方程于区间 I上的任一解，)(x是其对应齐线性方程于区间 I上的一个非零解。则一阶非齐次线性方程的全部解的共同表达式为： 。5、若 为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性)(,.)(21txtn无关的充要条件是_。6、方程组 的_,称之为 的XtAd)( XtAd)(一个基本解组。7、若 是常系数线性方程组 的基解矩阵，则 = )(tAXdt
2、texp。8、方程 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。9、设 )(,21x是与二阶线性方程： )()()(21xfyaxy ，对应的齐次线性方程的基本解组，则的二阶线性方程全部解的共同表达式为： .10、形如 的方程称为欧拉方程。11、若 和 都是 的基解矩阵，则 和 具)(ttXtAd)()(tt有的关系： 。12、若向量函数 在域 上 );(ytgR，则方程组 的解 存在且惟一。00,dty13、方程 经过变换 )(1(n) nxf，可化为含有 个未知函数的一阶微分方程组。14、方程 的基本解组是 4y15、向量函数组 在区间 I 上线性相关的)(,)(,21xxnYY_条件是
3、在区间 I 上它们的朗斯基行列式 0)(xW16、若 是常系数线性方程组 的 基解矩阵,则该方)(tXtAd程满足初始条件 的解 =_0()t17、 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间n18、方程 称为黎卡提方程。19、如果 在 上： ，则方程),(yxfR存在唯一的解 定义于区间 上，连续且满),(fdxy)(xhx0足初始条件 ，其中 ， 。0(hM20、若 1，2， 是 阶齐线性方程的 个解，)txi )nn为其伏朗斯基行列式，则 满足一阶线性方程 )(tW(tW。21、方程 有只含 的积分因子的充要条件0),),(dyxNyMx是 。其积分因子为： ；有只含 的积分因子的充
4、要条件是 ，其积分因子为： 。22、方程 称为黎卡提方程，若它有一个特解 ,则经过变换 ，可化为）（ x伯努利方程。23、若 ，而 （x） 、且dxD nnnaDaDL11)( 时，则： = 。0)(Lxe124、若 是 阶非齐线形方程的一个特解， （ ）)(tn )(tin,21是其对应齐线性方程的一个基本解组，则非齐线形方程的所有解可表为 。25、如果 是 nn 矩阵， 是 n 维列向量，则它们在 )(tA)(tFa t b 上 时，方程组 满足初 )()(tFXtAd始条件 的解在 a t b 上存在唯一。)(0tX26、若 ，而 ， 是关于dxDnnnaDDL11)( )(xfk的 次
5、多项式.则当 时, 有 ，其中xk0n )(QxfLk是 的 次多项式,它是将 按 的升幂排列后用通常的多项)(Q)(式除法去除 1,在第 步上得到的商式。27、在用皮卡逐步逼近法求方程组 ， 的)()(tFXtAd)0t近似解时，则 。)(tk28、若 y=y1(x)，y=y 2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 29、线性齐次微分方程组 的一个基本解组的个数不能YxAd)(多于 个。30、二阶线性齐次微分方程的两个解 , 成为其基)(1xy)(2本解组的充要条件是 31、方程 的所有常数解是 yxtand232、方程 所有常数解是 0dcossi33、 线
6、性齐次微分方程组的解组 为基本解组)(,)(,21xxnYY的 条件是它们的朗斯基行列式 0W34、微分方程 的阶数是_)(2ydxn35、对于任意的 , ( 为某一矩形区域 ),若存在常1)(R数 使 _ ,则称 在 上关于 满)0(N ),(yxfRy足李普希兹条件.36、函数组 的伏朗斯基行列式为 。tte2,37、若矩阵 具有 个线性无关的特征向量 ，它们对应An nv,21的特征值分别为 ，那么矩阵 = 线性,21 )(t方程组 的一个基解矩阵。Xdt38、设 是方程组 的基本解矩阵， 为)(XtAd)()(t的某一解，则它的任一解都可表为 tFtA。39、方程 称为变量分离方程 ,
7、它有积分因子 。40、若 是 的基解矩阵，则向量函数)(tXtAd)(= 是 的满足初始条件 的解；)(t)(tFt0)(t向量函数 = 是 的)(t (tFXAdt满足初始条件 的解。041、方程 是 阶方程。231)(dsrsr42、方程 是 阶方程。x43、函数 满足的一阶方程是 。44、函数 满足的一阶方程是 。45、方程 的通解为 。xdy46、方程 的通解为 。0)(p47、齐次方程 经过变换 可化为变量分xg离方程。48、设 )(x是一阶线性齐次方程 于区间 I上的解。0)(yxpd若存在某点 I0，有 0)(x，则 。49、方程 yd的通解为： 。50、方程 2x的通解为： 。
8、51、方程 0y的通解为： 。52、方程 xd的通解为： 。53、方程 02y的通解为： 。54、方程 的积分因子为： 。55、方程 yxed的积分因子为： 。56、方程 的左端可以因式分解为： ，从而得到两个方程 与 ，原方程的解有 和 。57、方程 称为克莱洛方程，它的通解为：。58、设 Ix0， 是区间 I上(LH)的 n 个解，则)(,)(1xYn在区间 上线性相关的 条件是向量组)(,)(1Yn线性相关.059、设 是 (LH)的任一基本解矩阵，则 (LH)的标准基本解矩阵是 .60、 非齐线性次方程组(NH)的任意两个解之差都是 的解.（一）填空题参考答案1. , yx dtxNd
9、sMyU00 ),(),()( , 或xNyMyts00 ），（），（），（；2. )(gfdx； 3. ； 4. )(xCy；xtf0)(,)(5. 它们的朗斯基行列式 W(x)不为零； 6. n 个线性无关解；7. ,0)(ep(1xA8. ， ，fydxdpe)( ),)()( dxefeypdxp9. tttCx )()()()(0 212121 ；10. ；01 yaDyayDnnnn11. 存在非奇异矩阵 A,使得 ；IxA,2112. 连续且关于 满足李氏条件； 13. ；1)(21, nyy14. ；15. 充分； 16. ；17. ；xsin,co )(01tn18. ；)(
10、)(2xryqpy19. 连续且关于 满足李氏条件， ， ；),mi(0Mbah),(ax),(yfRy20. ；21. 只与 x 有关，)()(1tWadt； 只与 y 有关，；22. ， ；23. ；)()(2xryqxpy zx)()()(1LeDx24. ；25. 连续；26. ；1tCtn k27. ；28. ；29. ；xkk dtFtAY0 )()()(1 21xCyn30. 线性无关；31. ；,20,y32. ；33. 充要；34. 一；,2,y35. ；36. ；2121),(),( yNyxff ttttttt ee226437. ；38. ；39. ， ；nttt ee,21 )(Ct)(ygxfd140. ， t sF0)()(11 . 41.二；42.三；t dsF0)()(43. ；44. ；45. ；46. ；xdy2532ydxcxydxpcey)(47. ； 48. 则 )(在区间 I上恒等于零；49. ； 50. uc； 51. yx；52. cyx；53. cxyarot；54. 21x；55. ；ye56. 、 、 、 、 ； cx57. 、 ； 58. 充要；59. )(01；)(x)(c
