1、 北京航空航天大学BEIHANG UNIVERSITY2010 2011 学 年 第 二 学 期 期 末考 试 统 一 用 答 题 册考 试 课 程 概 率 统 计 A （ A09B204A）概 率 统 计 B（ A09B204B）A（试卷共 6 页，六道题）班 级 _ 学 号 _姓 名 _ 成 绩 _考 场 教 室 _ 任 课 教 师 _题号 一 二 三 四 五五 六六 总分分数阅卷人校对人2011 年 6 月 23 日(08:00-10:00)A6-1一、单项选择题（每小题 3 分，满分 24 分）1、设随机变量 的概率密度为 , X1|,2()40xf其 它则 ( )。1P(A) 0.7
2、5 , (B) 0.5 , (C) 0.25 , (D) 0 。2、已知随机变量 的分布函数为 , ,XxbaxFrctn)(若实数 满足 ，则 （ ） 。c16c（A） ； （B） ； （C） ； （D ） 。333、设随机变量 ,则 （ ） 。)(2NX4(|)EX(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。445464、设 为任意两事件,则下列关系成立的是( ).BA(A) ； (B) ;A)()BA(C) ; (D) 。( ()B5、一盒内装有 5 个红球和 15 个白球,从中不放回取 10 次,每次取一个球,则第 5 次取球时得到的是红球的概率是（ ） 。（A） ； （B） ； （
3、C） ；（D） 。1141326、设每次试验成功的概率为 ,则在 5 次重复试验中至少失败p)0(一次的概率为（ ） 。(A) , (B) , (C) , (D) 。51p4(1)5(1)p145()Cp7、设二维随机变量 ,则 ( )。2,;3XYN2YXD(A) 13, (B) 14 , (C) 19 , (D) 37 .8、甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为（ ） 。(A)0.6, (B) , (C)0.75 , (D) 。1615A6-2二、填空题（每小题 3 分，满分 24 分）1、设总体 的概率密度为 ,
4、Xxexf,0),()(又 为来自于总体 的样本值,则参数 的极大似然估计 。nx,21X2、设 为随机事件, ,则 。BA 85.0)|(,8.)(6.)( ABPAP )|(BAP3、三门火炮同时炮击一敌舰(每炮发射一弹).设击中敌舰一、二、三发炮弹的概率分别为 0.5、0.3、0.2,而敌舰中弹一、二、三发时被击沉的概率分别为 0.3、0.6、0.8。则敌舰被击沉的概率为 。4、设 是来自正态总体 的一个样本, ,nX,21 )10(Nnm1则统计量 服从的分布为 。2211()mnkkYX5、设 是来自总体 的样本，且 ，记 ，12,nX 2,EDX11nkAX，若 是 的无偏估计量，
5、 则常数 。221()nkB212AcBc6、有 5 个独立的电子装置,它们的寿命 服从同一指数分布,543,kX其分布函数为 ，1,0xeFx将这 5 个电子装置串联组成整机,则整机寿命 的概率密度 。),min(521XY()Yfy7、设 是来自正态总体 的样本，其中 未知， 已知。X,21 (2N2欲使 的置信水平为 的置信区间的长度不超过给定 ( )，L0则样本容量 至少需取 。 其中 ， 。n01z8、设 是来自总体 的简单随机样本,129, )(2, , , ,61kYX2713k92271kSXYSYZ)(21则统计量 服从的分布为 。Z三、 （满分 16 分） 设二维随机变量
6、的概率密度为(,)YA6-3, ,231(,)(sin)xyfxyey,xy（1）求 关于 的边沿概率密度 ；,XY(Xf（2）求 关于 的边沿概率密度 ；() )Yy（3） 与 是否相互独立？ (4)利用本题结果可以用于说明概率论中一个什么样的问题？四、 （满分 16 分）设随机变量 的二阶矩 存在，YX,2(),EYA6-4证明：成立不等式 。1122|()|()()EXYEY（要求用最直接的方法给予证明，并注意分别讨论 和 的情形。 ）0X五、 （满分 8 分） （此题学过 1-9 章和 11-13 章的学生做，仅学过 1 至 9 章的学生不做）设随机过程 ,其中 和 是非零常数, 是在
7、 上服从均匀)sin()(tatXa)2,0(A6-5分布的随机变量。试求： (1)写出 的概率密度 ； （2）求 ; ()f)(tXE(3)求 ； (4)判断 是否为平稳过程？)(tXE(备用公式: )cos()cs(21sin五、 （满分 8 分） （此题仅学过 1 至 9 章的学生做；学过 1 至 9 章和 11-13 章的学生不做）设某昆虫产 个卵的概率为 ,( 为常数), .k!ke0,20k每个卵能孵化成幼虫的概率为 ,且各个卵能否孵化成幼虫是相互独立的。)10(p试求：（1）该昆虫没有后代的概率； （2）该昆虫有后代的概率。六、 （满分 12 分） （此题学过 1 至 9 章和
8、11-13 章的学生作，仅学过 1 至 9 章的学生不做）传输数字 0 和 1 的通讯系统,每个数字的传输需经过若干步骤,A6-6设每步传输正确的概率为 0.95,传输错误的概率为 0.05.以 表示第 步传输出的数字,nX则 是一齐次马尔可夫链;,210,nX试求：（1）写出状态空间 和一步转移概率矩阵 ;SP（2）求两步转移概率矩阵 ; )2(P(3) 求 。0|,1nnnXXP六、 （满分 12 分） （此题仅学过 1 至 9 章的学生做，学过 1-9 章和 11-13 章的学生不作）设某种零件尺寸 ,(.2)XN今从此种一批零件中随机取 9 件,测得样本均值 ，31.4x当检验水平 时
9、，能否认为此批零件尺寸的均值为 ？05.2.5（ ， ， 961025.z64.1.z， ， ）.(8)3t 0.5(8).9txXPA6-7答案及评分细则 （2011-06-23）A 卷 一、单项选择题（每小题 3 分，满分 24 分）1、C；2、B；3、A；4、D；5、B；6、A；7、D；8、C。二、填空题（每小题 3 分，满分 24 分）1、 ， 2、 ；12min,nx 7.0)|(BAP3、0.49; 4、 ；2211(1)mnkkYXm5、 ； 6、 ；1n 5,0()yYefyF7、 ； 8、 。22114zzL(2)tB 卷一、单项选择题（每小题 3 分，满分 24 分）1、B
10、；2、A；3、D；4、C。5、C；6、B；7、A；8、D；二、填空题（每小题 3 分，满分 24 分）1、 ； 2、 。n 5,0()yYefyF3、 ； 4、 。22114zzL()t5、 ，6、 ；12min,nx 7.0)|(BAP7、0.49; 8、 ；2211()(1)mnkkYXm三、 （满分 16 分） A6-8解 （1） dyxffX),()(231sin)exyd2223(isi)xyye2210xyed， ；221xxe（2） ()(,)Yfyfxyd231(sin)xyeydx22231(sii)yxxe220yxd， ；21ye（3）因为 ，所以 与 是不相互独立(,)
11、()XYfxyfXY（4）本题提供了例子，仅有 与 的分布，不能确定 的分布，(,)或由 与 都服从一维正态分布，不能推出 服从二维正态分布。Y,四、 （满分 16 分）A6-9证明 对任意实数 ,恒有t,222() 0EYXtEXY当 时，取 ，代入上式，202t则有 ；2()YEX,()Y即得 ；1122|（或直接由判别式 ，得240bac，2()EXYEY即得 ,2于是 。 ）1122|当 时，对任意实数 ,20EXt222()YtEXtYE2tXYE恒有 ，0必有 ，自然成立 1122|综合以上情形，于是有 ，1122|EXYEY五、 （满分 8 分） （此题学过 1 至 9 章和 1
12、1-13 章的学生作，仅学过 1 至 9 章的学生不做）A6-10解 （1） 的概率密度 ，其 它,021)(f(2) )(tXEdftata)(sin()sin(， 2120d(3) )(t )(si)si( ttE dfaansin， t21)2(co210 cos2a(4) ， )(tXEa因为 是常数， 仅依赖于 ，0)(t 2()cosaEXt存在，所以 是平稳过程2tXEt六、 （满分 12 分） （此题学过 1 至 9 章和 11-13 章的学生作，仅学过 1 至 9 章的学生不做）解 (1)状态空间 =0,1, S一步转移概率矩阵 , 05.P9(2)两步转移概率矩阵; 05.
13、92)(P.5.09.(3) |,12nnnXX 0,1|0| 2nnXP|0|1nnnP. 550p五、 （满分 8 分） （此题仅学过 1 至 9 章学生做，学过 1-9 章和 11-13 章学生不做）A6-11解 设 该昆虫有后代, 该昆虫产 个卵, ,AkBk2,10易知,事件组 是一完备事件组, ,210nB, ,!)(kePk,该昆虫没有后代 每个卵都没孵化成幼虫,A, ,kkpBP)1()|(,210由全概率公式得（1） )|()(0kkkBAPAP kkpe)1(!00!)1(kkpe,ppee)1(（2）从而 . pAP)()(六、 （满分 12 分）解 (1)检验假设 ,0H5.32:(2)统计量 ,)1,(NnxU(3) 现在 , , ,93.4.计算统计量值 ,001325.0.9xun(4)对于 ，查标准正态分布表得 ,5.96.175.021z(5)因为 ，故拒绝 ，012|3.96uz0H（6） 即不能认为此批零件尺寸的均值为 32.50 。
